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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, Teil 1

Gleiches fortlaufendes Muster © Rainer Sturm / PIXELIO

In Mathematik kann eine Gleichung nicht nur für sich alleine betrachtet werden. Zwei lineare Gleichungen können beispielsweise als eine Einheit angesehen werden – und mittels eines rechnerischen Lösungsverfahrens wie das Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren gelöst werden. Was für einen Mehrwert hat das aber bzw. was soll das? Die Sinnfrage ist ja gerade in Mathe bei Schülerinnen und Schülern stets gegenwärtig. Jedes Mathematik-Stoffgebiet hat seinen Sinn – das ist das eine! Schließlich wird hierdurch etwas gelernt, was förderlich für die Hirnleistung ist! Das andere ist: Betrachtet man zwei lineare Gleichungen als eine Einheit, so kann man die jeweilige Beziehung der Gleichungen bzw. der linearen Funktionen zueinander bestimmen. Beziehung heißt hier: Schneiden sich die linearen Funktionen, verlaufen sie parallel oder sind sie gar identisch.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen, Teil 5

Bei Gleichungen in Mathe den algebraisch korrekten Weg einschlagen © M.E. / PIXELIO

Bei Gleichungen ist es als Erstes zentral, dass man jegliche Produkte richtig ausklammert. Hier ist ganz besonders Acht zu geben auf die geltende Vorzeigenregel. Wichtig ist hierbei aber auch, dass man alle Einzelterme miteinander ausmultipliziert – und keinen vergisst. Ein Vorzeichen nicht korrekt „umwandeln“ oder einen Einzelterm vergessen, passiert nämlich sehr oft. Das ist in Mathe dann immer ein Ausdruck von mangelnder Routine. Aber auch beim Zusammenfassen gleichartiger Einzelterme darf einem kein Fehler passieren. Einzelterme, die den gleichen Buchstaben und die gleiche Potenz aufweisen sowie Zahlen ohne Variable dürfen zusammengefasst werden – alles andere ist algebraisch inkorrekt und daher falsch. Entstehen hier bereits Fehler, so ärgert man sich selbst hierüber am meisten – da dies schlichtweg dumme Fehler sind.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Strahlensätzen, Teil 1

Strahlensätze – erste Darstellung

Kommen in Mathe vier Geraden vor, die in ganz bestimmter Beziehung zueinander stehen, so ergeben sich hieraus bestimmte Gesetzmäßigkeiten – die Strahlensätze. Bei den vier Geraden muss hierbei Folgendes gewährleistet sein: Zwei Geraden müssen sich in einem Punkt schneiden, die zwei anderen Geraden müssen parallel zueinander verlaufen und diese beiden Geraden jeweils schneiden. Liegt solch eine Konstellation von vier Geraden vor – dann kann man hieraus die sogenannten Strahlensätze ableiten. Bei den Strahlensätzen handelt es sich hierbei um Ähnlichkeitsverhältnisse zwischen Strecken, die mittels Quotientengleichungen wiedergegeben werden können.

Diese zwei Strahlensätze gibt es:

1. Strahlensatz:

$\frac{\overline{\mathrm{ZA}}}{\overline{\mathrm{ZA}^{\prime}}}$ = $\frac{\overline{\mathrm{ZB}}}{\overline{\mathrm{ZB}^{\prime}}}$     bzw:    

$\frac{\overline{\mathrm{ZA}}}{\overline{\mathrm{AA}^{\prime}}}$ = $\frac{\overline{\mathrm{ZB}}}{\overline{\mathrm{BB}^{\prime}}}$

2. Strahlensatz:

$\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}}}$ = $\frac{\overline{\mathrm{ZA}}}{\overline{\mathrm{Z}\mathrm{A}^{\prime}}}$

bzw:  

$\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}}}$ = $\frac{\overline{\mathrm{ZB}}}{\overline{\mathrm{Z}\mathrm{B}^{\prime}}}$

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Flächeninhalt von Vielecken, Teil 2

Ein ärmlich eingerichtetes Klassenzimmer in Brasilien © Gerhard Prantl PIXELIO

In der Realität wird man unentwegt mit Flächen konfrontiert. Schon alleine der Boden, auf dem man sich zuhause bewegt, stellt eine Fläche dar. Die Wände ebenso. Spätestens in der Schule bekommt man ein Flächen-Dé­jà-vu. Dort befindet man sich ja auch in Räumen und diese bestehen ja wie das eigene Zuhause aus Böden und Wänden. Jede ebene Abgrenzung besteht nämlich aus Flächen, die man auch – und nun kommt der Switch zu Mathe – natürlich berechnen kann. In der Mathematik nennt man eine zu berechnende Fläche Flächeninhalt. Die Berechnung des Flächeninhalts hängt hierbei maßgeblich davon ab, um welche Fläche es sich handelt. Mit der richtigen Formel, je nach Vieleck, sollte das aber in Mathe kein großes Problem darstellen, den Flächeninhalt zu berechnen. Genauso verhält es sich übrigens mit dem Umfang. Der Umfang ist ja bei der Fläche deren Begrenzung bzw. „der Weg, den man darum gehen kann“.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen, Teil 3

Algebra in Mathe © Henry Klingberg / PIXELIO

Liegt in Mathe eine quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform vor, das heißt auf diese Art: x² + px + q, dann kann man sofort ohne Probleme deren Lösung(en) ermitteln. Hierfür gibt es ja extra die p-q-Formel:

p-q-Formel

Schließlich kann man bei der Normalform den p-Wert und den q-Wert der quadratischen Gleichung sofort ablesen, so dass man daher im Nu mittels der p-q-Formel deren Lösung(en) berechnen kann. Jetzt gilt es, die Werte nur noch richtig einzusetzen. Hier muss man aber immer darauf Acht geben, dass speziell sowohl bei einem negativen p-Wert als auch negativen q-Wert die Vorzeichenregel richtig angewendet wird. Konkret heißt das, dass „–“ und „–“ „+“ ergeben, wenn entweder beim Einsetzen in die p-q-Formel der p-Wert oder der q-Wert negativ sind.

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