1. Allgemeines zu Exponentialfunktionen
Bakterielles Wachstum kann man am besten mittels einer Funktion beschreiben, und zwar mittels einer Exponentialfunktion. Eine Exponentialfunktion besitzt hierbei folgende Funktionsgleichung:
f(x) = bx oder ebenfalls g(x) = a · bx,
a ∈ ℝ, b > 0, x ∈ ℝ; a = Anfangswert, b = Wachstumsfaktor, b > 1 = exponentielles Wachstum, 0 < b > 1 = exponentieller Zerfall.
Wenn ein Vorgang durch eine Exponentialfunktion dargestellt werden kann, spricht man von einem exponentiellen Wachstum bzw. Zerfall. Deshalb nennt man Exponentialfunktionen bei ihrer Anwendung auch Wachstums- und Zerfallsfunktionen.
2. Verschiedene Graphen von Exponentialfunktionen
Folgende Eigenschaften zeigen die Graphen auf:
- Die Graphen der Exponentialfunktionen verlaufen stets oberhalb der x-Achse.
- Da b0 = 1 für alle b > 0 gilt, haben alle Exponentialfunktionen den gemeinsamen Punkt P (0|1).
- Ist b > 1 mit x2 > x1, ebenso $\mathrm{b}^{\mathrm{x}_2} > \mathrm{b}^{\mathrm {x}_1}$, dann steigt der Graph der Exponentialfunktion.
- Ist b < 1 mit x2 > x1, so ist $\mathrm{b}^{\mathrm{x}_2} < \mathrm{b}^{\mathrm{x}_1}$, weshalb der Graph der Exponentialfunktion fällt.
- Ist b > 1, dann gilt: bx → 0 für x → –$\infty$. Die x-Achse stellt hierbei die waagrechte Asymptote dar.
- Ist 0 < b < 1, dann gilt: bx → 0 für x→$\infty$. Die x-Achse stellt hierbei ebenfalls die waagrechte Asymptote dar.