1. Allgemeines zu den Grundrechenarten
Zu den Grundrechenarten zählen vier Rechenarten: die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division.
In der Grundschule beginnt man bei der Menge der natürlichen Zahlen mit der Addition. Daran anschließend tritt die Subtraktion. Diese Grundrechenart stellt die Umkehroperation der Addition dar. Als nächste Grundrechenart lernen Schülerinnen und Schüler in der Grundschule die Multiplikation und an diese Operation anknüpfend deren Umkehroperation, die Division.
1.1 Rechengesetze bei den Grundrechenarten
Damit man einfacher rechnen kann, ist es oft hilfreich, bei den Grundrechenarten auftretende Gesetzmäßigkeiten heranzuziehen. Folgende drei Gesetzmäßigkeiten sind hierbei relevant:
- das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
- das Assoziativgesezt (Verbindungsgesetz)
- Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
1.11 Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) gilt sowohl für die Addition und die Multiplikation von reelen Zahlen. Folgende Gesetzmäßigkeit existiert hier für die reellen Zahlen a, b ∈ von ℝ:
Addition:
a + b = b + a
Das Kommutativgesetz beinhaltet bei der Addition, dass die Reihenfolge der Summanden bei der Berechnung der Summe irrelevant ist.
Beispiele:
a)
3 + 5 = 5 + 3
b)
25 + 89 = 89 + 25
c)
0,57 + 1,45 = 1,45 + 0,57
Bei der Gleichung der Addition zeigt sich das Kommutativgesetz: Summand + Summand = Summe. Wie man hier sieht, bildet sich eine Summe durch das Addieren von Summanden. Die Reichenfolge der Summanden ist hierbei egal, da die Summe hierdurch stets gleichbleibt.
Beispiele:
a)
3 + 5 = 8;
5 + 3 = 8
b)
25 + 89 = 114;
89 + 25 = 114
c)
0,57 + 1,45 = 2,02;
1,45 + 0,57 = 2,02
Multiplikation:
a · b = b · a
Das Kommutativgesetz beinhaltet bei der Multiplikation, dass die Reihenfolge der Faktoren bei der Berechnung des Produktes irrelevant ist.
a)
3 · 5 = 5 · 3
b)
25 · 89 = 89 · 25
c)
0,57 · 1,45 = 1,45 · 0,57
Bei der Gleichung der Multiplikation zeigt sich ebenfalls bereits das Kommutativgesetz: Faktor · Faktor = Produkt. Hier sieht man auch schon, dass sich das Produkt durch das Malnehmen von Faktoren bildet. Die Reihenfolge der Faktoren ist hiebei egal ist, da das Produkt stets gleichbleibt.
Für die Subtraktion, der Umkehroperation der Addition, und die Division, der Umkehroperation der Multiplikation, gilt das Kommutativgesetz jedoch nicht!
Beispiele:
a)
3 · 5 = 15;
5 · 3 = 15
b)
25 · 89 = 2225;
89 · 25 = 2225
c)
0,57 · 1,45 = 0,8265;
1,45 · 0,57 = 0,8265
Subtraktion:
a – b ≠ b – a
Die Reihenfolge bei der Subtraktion, d. h. wie sich die Differenz genau aus Minuend und Subtrahend zusammensetzt, ist hier entscheidend und somit alles andere als irrelevant!
Beispiele:
a)
3 – 5 ≠ 5 – 3
b)
25 – 89 ≠ 89 – 25
c)
0,57 – 1,45 ≠ 1,45 – 0,57
Bei der Gleichung der Subtraktion wird bereits ersichtlich, dass das Kommutativgesetz hier nicht gilt: Minuend – Subtrahend = Differenz. Beim Minusrechnen ist bei einer Differenz nämlich gerade wichtig, welche Zahl der Minuend und welche Zahl der Subtrahend bildet, also die Reihenfolge ist entscheidend!
Beispiele:
a)
3 – 5 = –2;
5 – 3 = 2
b)
25 – 89 = –64;
89 – 25 = 64
c)
0,57 – 1,45 = – 0,88;
1,45 – 0,57 = 0,88
Division:
a : b ≠ b : a
Beispiele:
a)
3 : 5 = 0,6;
5 : 3 = 1,6666666 (Periode)
b)
25 : 89 = 0,28 (gerundet auf zwei Nachkommastellen);
89 : 25 = 3,56
c)
0,57 : 1,45 = 0,39 (gerundet auf zwei Nachkommastellen);
1,45 : 0,57 = 2,54 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
Bei der Gleichung der Division kann man bereits auch sehen, dass das Kommutativgesetz hier nicht gilt: Dividend : Divisor = Quotient. Beim Geteiltnehmen ist bei einer Division gerade nämlich wichtig, welche Zahl der Dividend und welche Zahl der Divisor bildet, also die Reihenfolge ist entscheidend!
1.12 Das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)
Das Assoziativgesetzt ist bei der Addition und Multiplikation bei reellen Zahlen anwendbar. Hierbei existiert folgende Gesetzmäßigkeit für die reellen Zahlen a, b, c ∈ von ℝ.
Addition:
(a + b) + c = a + (b + c)
Das Assoziativgesetz beinhaltet, dass es bei der Addition irrelevant ist, wie man die einzelnen Teilsummen bildet bzw. die Reihenfolge hierbei ist, da das Ergebnis jeweils das Gleiche bleibt.
Beispiele:
a) (3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7)
b) (25 + 89) + 112 = 25 + (89 + 112)
c) (0,57 + 1,45) + 3,76 = 0,57 + (1,45 + 3,76)
Anhand der Gleichung der Addition zeigt sich bereits die Gültigkeit des Assoziativgesetzes: Summand + Summand = Summe. Die Reihenfolge der Bildung der Teilsummen ist egal, da die Summe sich aus gleichwertigen Summanden zusammensetzt.
Beispiele:
a)
(3 + 5) + 7 = 8 + 7 = 15;
3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15
b)
(25 + 89) + 112 = 114 + 112 = 226;
25 + (89 + 112) = 25 + 201 = 226
c)
(0,57 + 1,45) + 3,76 = 2,02 + 3,76 = 5,78;
0,57 + (1,45 + 3,76) = 0,57 + 5,21 = 5,78
Multiplikation:
(a · b) · c = a · (b · c)
Das Assoziativgesetz beinhaltet, dass es bei der Multiplikation irrelevant ist, wie man die einzelnen Teilprodukte bildet bzw. die Reihenfolge hierbei ist, da das Ergebnis jeweils das Gleiche ist.
Beispiele:
a) (3 · 5) · 7 = 3 · (5 · 7)
b) (25 · 89) · 112 = 25 · (89 · 112)
c) (0,57 · 1,45) · 3,76 = 0,57 · (1,45 · 3,76)
Die Gleichung der Multiplikation zeigt bereits die Gültigkeit des Assoziativgesetzes: Faktor · Faktor = Produkt. Wie man hier sieht, bildet sich ein Produkt durch das Multiplizieren von Faktoren. Die Reihenfolge der Bildung der Teilprodukte ist hierbei egal, da das Produkt sich aus gleichwertigen Faktoren zusammensetzt.
Beispiele:
a)
(3 · 5) · 7 = 105;
3 · (5 · 7) = 105
b)
(25 · 89) · 112 = 249200
25 · (89 · 112) = 249200
c)
(0,57 · 1,45) · 3,76 = 3,10764
0,57 · (1,45 · 3,76) = 3,10764
Für die Subtraktion, der Umkehroperation der Addition, und die Division, der Umkehroperation der Multiplikation, gilt das Assoziativgesetz jedoch nicht!
Subtraktion:
(a – b) – c ≠ a – (b – c)
Das Assoziativgesetz gilt bei der Subtraktion nicht, da es hier nicht egal ist, wie man die Teildifferenzen bildet bzw. die Reihenfolge hierbei ist, da sich das Ergebnis jeweils unterscheidet.
Beispiele:
a)
(3 – 5) – 7 ≠ 3 – (5 – 7)
b)
(25 – 89) – 112 ≠ 25 – (89 – 112)
c)
(0,57 – 1,45) – 3,76 ≠ 0,57 – (1,45 – 3,76)
Die Gleichung der Subtraktion zeigt, dass das Assoziativgesetz hier nicht gilt: Minuend – Subtrahend = Differenz. Beim Minusrechnen ist gerade bei der Bildung der Teildifferenzen entscheidend, was hierbei der Minuend und was der Subtrahend ist, da das Ergebnis hiervon abhängig ist und somit sich unterscheidet.
Beispiele:
a)
(3 – 5) – 7 = –9;
3 – (5 – 7) = 5
b)
(25 – 89) – 112 = –176;
25 – (89 – 112) = 48
c)
(0,57 – 1,45) – 3,76 = –4,64;
0,57 – (1,45 – 3,76) = 2,88
Division:
(a : b) : c ≠ a : (b : c)
Bei der Division gilt das Assoziationsgesetz ebenfalls nicht, da es hier auch nicht egal ist, wie man die Teilquotienten bildet bzw. die Reihenfolge hierbei ist, da sich das Ergebnis jeweils unterscheidet.
Beispiele:
a)
(3 : 5) : 7 ≠ 3 : (5 : 7)
b)
(25 : 89) : 112 ≠ 25 : (89 : 112)
c)
(0,57 : 1,45) : 3,76 ≠ 0,57 : (1,45 : 3,76)
Die Gleichung der Divison zeigt bereits auf, dass hier das Assoziativgesetz keine Gültigkeit hat: Dividend : Divisor = Quotient. Beim Geteiltnehmen ist es gerade bei der Bildung der Teilquotienten entscheidend, was hierbei der Dividend und was der Divisor ist, da das Ergebnis hiervon abhängig ist.
Beispiele:
a)
(3 : 5) : 7 = 3 : 35;
3 : (5 : 7) = 21 : 5
b)
(25 : 89) : 112 = 25 : 9968;
25 : (89 : 112) = 2800 : 89
c)
(0,57 : 1,45) : 3,76 = 285: 2726;
0,57 : (1,45 : 3,76) = 1,478068966
1.3 Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
Mittels des Distributivgesetzes kann sowohl ein Produkt zu einer Summe oder Differenz ausmultipliziert werden als auch ein Quotient zu einer Summe oder Differenz ausdividiert werden.
Produkt und Ausmultiplizieren hin zur Summe bzw. Differenz:
a · (b + c) = a · b + a · c;
a · (b – c) ) a · b – a · c
Beispiele:
a)
3 · (5 + 7) = 3 · 5 + 3 · 7;
3 · (5 – 7) = 3 · 5 – 3 · 7
b)
25 · (89 + 112) = 25 · 89 + 25 · 112;
25 · (89 – 112) = 25 · 89 – 25 · 112
c)
0,57 · (1,45 + 3,76) = 0,57 · 1,45 + 0,57 · 3,76;
0,57 · (1,45 – 3,76) = 0,57 · 1,45 – 0,57 · 3,76
Quotient und Ausdividieren hin zur Summe bzw. Differenz:
a : (b + c) = a : b + a : c;
a : (b – c) ) a : b – a : c
Beispiele:
a)
3 : (5 + 7) = 3 : 5 + 3 : 7;
3 : (5 – 7) = 3 : 5 – 3 : 7
b)
25 : (89 + 112) = 25 : 89 + 25 : 112;
25 : (89 – 112) = 25 : 89 – 25 : 112
c)
0,57 : (1,45 + 3,76) = 0,57 : 1,45 + 0,57 : 3,76;
0,57 : (1,45 – 3,76) = 0,57 : 1,45 – 0,57 : 3,76