Ganzrationale Funktionen

1. Funktionsterme einer ganzrationalen Funktion

Der Funktionsterm einer linearen Funktion, a0 + a1x, lässt sich durch die Addition eines Vielfaches von x2 zu diesem Term hin verändern:

a0 + a1x + a2x2.

Hierdurch erhält man eine quadratische Funktion. Macht man nun mit höheren Potenzen von x auf die gleiche Weise weiter, so erhält man Terme die folgende Form vorweisen:

anxn + an– 1xn – 1 + … + a1x + a0.

Solch ein Gebilde wird als Polynom bezeichnet. Hieraus kann man unendlich viele neue Funktionen bilden.

Definition einer ganzrationalen Funktion:

Eine Funktion, bei der jedes n Є ℕ ist, und die folgende Zuordnungsvorschrift hat:

f: x[latexpage] ${\mapsto}$  anxn + an– 1xn – 1 + … + a1x + a0,

heißt ganzrationale Funktion.

Die Koeffizienten an, an– 1, …, asind hierbei reelle Zahlen. Bei an ≠ 0 hat f den Grad n bzw. handelt es sich dann um eine ganzrationale Funktion n-ten Grades.

Beispiele:

f(x) = a1x + a0 besitzt den Grad 1 bzw. es handelt sich hier um eine ganzrationale Funktion 1. Grades.

f(x) = a2x2 + a1x + a0 besitzt den Grad 2 bzw. es handelt es sich hier um eine ganzrationale Funktion 2. Grades.

f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 besitzt den Grad 3 bzw. es handelt sich hier um eine ganzrationale Funktion 3. Grades.

f(x) = anxn + an– 1xn – 1 + … + a1x + a0 besitzt den Grad n bzw. es handelt sich hier um eine ganztratione Funktion n-ten Grades.

2. Verschiedene ganzrationale Funktionen

Lineare Funktionen: ganzrationale Funktionen 1. Grades

Der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion 1. Grades ist folgender:

f(x) = a1x + a0

Es handelt sich hierbei um eine lineare Funktion.

Das Schaubild einer solchen Funktion stellt eine Gerade dar.

Beispiele:

Es diese Zuordnungsvorschrift gegeben:

Zuordnungsvorschrift einer linearen Funktion mit positiver Steigung

Die Funktionsgleichung ist hierbei folgende:

f(x) = 3x + 2

Der Graph der Funktion ist dieser:

Lineare Funktion mit positiver Steigung

Es ist diese Zuordnungsvorschrift gegeben:

Zuordnungsvorschrift einer linearen Funktion mit negativer Steigung

Die Funktionsgleichung ist hierbei folgende:

f(x) = –2x + 1

Der Graph der Funktion ist dieser:

Lineare Funktion mit negativer Steigung