Primzahlen

1. Die besondere Zahlenmenge der Primzahlen

Eine besondere Zahlenmenge innerhalb der Natürlichen Zahlen stellen die Primzahlen dar – und zwar aus zweierlei Gründen: Die Zahlenfolge der Primzahlen kann man bis heute durch keine einfache Formel wiedergeben; alle Zahlen, die keine Primzahlen sind, können in ein Produkt aus Primzahlen zerlegt werden (Primfaktorenzerlegung).

Definition Primzahlen:

Alle Natürlichen Zahlen, die nur zwei Teiler vorweisen, nennt man Primzahlen. Hierbei ist eine Primzahl nur durch 1 und sich selbst teilbar. Die Zahl 1 ist keine Primzahl.

Bei den Zahlen 1 bis 20 ergeben sich daher als Primzahlen:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Die Zahlen 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 fallen weg, da diese gerade sind und somit auch durch 2 teilbar sind; die 15, da diese auch durch 3 und 5 teilbar ist.

Die kleinste Primzahl ist folglich die 2, auch die einzige, die Gerade ist.

2. Die Primfaktorzerlegung bei Nicht-Primzahlen

Jede natürliche Zahl, die keine Primzahl ist, kann in ein Produkt aus Primzahlen zerlegt werden.

4 = 2 · 2

6 = 2 · 3

8 = 2 · 2 · 2

10 = 2 · 5

12 = 2 · 2 · 3

14= 2 · 7

15 = 3 · 5

16 = 2 · 2 · 2 · 2

18 = 2 · 3 · 3

20 = 2 · 2 · 5

Beispiel: Zerlegung der Zahl 300 in ein Produkt aus Primzahlen:

300 in Primfaktoren: 300 : 10 = 30; 30 : 10 = 3;10 = 5 = 2; 10 : 5 = 2

Wenn man 300 mit dem Teiler 10 teilt, dann erhält man 30. Den Teiler 10 kann man mit dem Teiler 5 teilen und erhält eine 2. Die 30 kann man wieder mit 10 teilen und erhält 3. Die 10 teilt man noch einmal mit 5 und erhält wiederum 2. Jetzt hat man die Zahl 300 in Primzahlen zerlegt. Die Zahl weist zweimal eine 2, eine 3 und zweimal eine 5 als Teiler in Form von Primzahlen auf.

Die Primfaktorzerlegung sieht nun folgendermaßen aus:

300 = 5 · 2 · 5 · 3 · 2 = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 = 2² · 3 · 5²

300 in Primfaktoren: 300 : 3 = 100; 100 : 10 = 10; 10 : 5 = 2; 10 : 5 = 2

Wenn man 300 mit dem Teiler 3 teilt, erhält man 100. 100 kann man mit 10 teilen und erhält 10. 10 geteilt durch 5 ergibt 2. Das gilt natürlich auch bei der zweiten Zehn: 10 geteilt 5 ist gleich 2.

Es ergibt sich diese Primfaktorzerlegung:

300 = 3 · 5 · 2 · 5 · 2 = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 = 2² · 3 · 5²

300 in Primfaktoren: 300 : 2 = 150; 150: 10 = 15; 10 : 2 = 5; 15 : 5 = 3

Wenn man 300 mit 2 teilt, erhält man 150. 150 geteilt durch 10 ist 15. 10 durch 2 = 5. Und 15 geteilt durch 5 ergibt 3.

Die Primfaktorzerlegung ist hier Folgende:

300 = 2 · 2 · 5 · 5 · 3 = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 = 2² · 3 · 5²

Wie man sieht, ergeben sich – egal, in welche Teiler man die 300 zerlegt – immer die gleichen und die gleiche Anzahl von Primzahlen und somit immer die gleiche Primfaktorzerlegung.