Kreis

1. Allgemeines zum Kreis

Geometrische Figuren wie z. B. Dreiecke, Rechtecke oder Parallelogramme zeichnet man im Fach Mathematik mit dem Geodreieck. Ganz anders verhält es sich mit Kreisen. Um einen Kreis zu zeichnen, benötigt man nämlich einen Zirkel.

Alle Kreise weisen hierbei die sogenannte Kreiszahl π auf. Diese gibt das Verhältnis zwischen dem Umfang und dem Durchmesser des Kreises wieder. π ist bei allen Kreisen gleich groß und beträgt 3,14159… Sie ist eine unendliche, nicht periodische Zahl!

Für die Kreiszahl π gilt bei Berechnungen π ≈ 3,14.

Definition eines Kreises:

Die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt (Mittelpunkt) den gleichen Abstand aufweisen, ergibt einen Kreis.

Den festen Punkt nennt man Mittelpunkt. Der Abstand zwischen Mittelpunkt und allen anderen Punkten nennt man Radius. Den doppelten Radius bezeichnet man als Durchmesser.

Der Rand des Kreises wird als Kreislinie bezeichnet und die Fläche innerhalb des Kreises als Kreisfläche.

M = Mittelpunkt

d = Durchmesser

r = Radius

2. Der Flächeninhalt des Kreises

Die Fläche eines Kreises („grün“ hervorgehoben) wird von der Kreislinie begrenzt.

Der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r wird mit folgender Formel berechnet:

A = πr²

Der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Durchmesser d wird mit dieser Formel berechnet:

A = $\frac{\mathrm{\pi}}{4}$d²

Für die Kreiszahl π gilt π ≈ 3,14.

Beispiel:

Es ist ein Kreis mit dem Radius 5 cm gegeben. Berechne den Flächeninhalt des Kreises.

Der Flächeninhalt des Kreises beträgt 78,5 cm².

$\mathrm{A} = \pi~\cdot~ r^2$

$\mathrm{A} = 3,14~\cdot~(5\mathrm{cm})^2$

$\mathrm{A} = 3,14~\cdot~25\mathrm{cm}^2$

A ≈ 78,5 cm²

Der Flächeninhalt des Kreises beträgt ca. 78,5 cm².

3. Der Umfang des Kreises

Der Umfang eines Kreises ist die Kreislinie („grün“ hervorgehoben), also die gebogene Linie, die den Kreis begrenzt.

Der Umfang eines Kreises mit dem Radius r wird mit dieser Formel berechnet:

U = 2πr

Der Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser d wird mit folgender Formel berechnet:

U = πd

Für die Kreiszahl π gilt π ≈ 3,14.

Beispiel:

Es ist ein Kreis mit dem Radius 5 cm gegeben. Berechne den Umfang des Kreises.

U = 2πr

U ≈ 2 · 3,14 · 5 cm

U ≈ 31,4 cm

Der Umfang des Kreises beträgt ca. 31,4 cm.

4. Der Flächeninhalt eines Kreisringes

Ein Kreisring stellt die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen dar. Diese Kreise weisen also den gleichen Mittelpunkt, aber unterschiedliche Radien auf. Die als „grün“ dargestellte Fläche stellt den Flächeninhalt eines Kreisringes dar.

Ein Kreisring besitzt daher einen inneren und einen äußeren Radius.

Für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreisringes gilt:

A = π · ($\mathrm r_{2}^{2}~ –~ \mathrm r_{1}^{2}$).

Beispiel:

Es ist ein Kreisring gegeben. Der äußere Radius r₂ beträgt 12 cm, der innere Radius r₁ beträgt 10 cm.

A = π · [$(\mathrm{12~cm}) ^{2} ~–~ (\mathrm{10~cm})^{2}$]

A = π · (144 cm² – 100 cm²)

A = π · 44 cm²

A ≈ 138,16 cm²

5. Fläche eines Kreissektors

Ein Kreissektor stellt einen Flächenausschnitt eines Kreises dar. Die Fläche des Kreissektors hängt vom Radius des Kreises und von der Größe des Mittelpunktswinkels ab. Je größer der Radius oder Winkel, desto größer ist die Fläche des Kreissektors.

Für den Flächeninhalt A_α eines Kreisausschnitts mit dem Radius r und dem Mittelpunktswinkel der Größe α gilt Folgendes:

A_α = πr² · $\frac{\mathrm{\alpha}}{360^\circ}$.

Beispiel:

Berechne zu dem Radius r = 3 cm und dem Mittelpunktswinkel α = 25° den Flächeninhalt A_α des Kreisausschnitts.

A_α = π · (3 cm)² · $\frac{\mathrm{25^\circ}}{360^\circ}$

A_α = π · 9 cm² · $\frac{5}{72}$

A_α ≈ 1,9625 cm²

6. Länge eines Keisbogens

Ein Kreisbogen stellt ein Teil einer Kreislinie dar, also ein Stück des Randes. Mittels eines Kreisausschnittes kann man diesen sehr schön veranschaulichen.

Liegt ein Kreisausschnitt vor, dann kann man die Länge des Kreisbogens rechnerisch bestimmen. Für die Länge b_α eines Kreisbogens mit dem Radius r und einem Mittelpunktswinkel der Größe α gilt dieses:

b_α = 2πr · $\frac{\mathrm{\alpha}}{360^\circ}$ = πr · $\frac{\mathrm{\alpha}}{180^\circ}$.

Beispiel:

Berechne zu dem Radius r = 3 cm und dem Mittelpunktswinkel α = 25° die Länge des Kreisbogens b_α.

b_α = 2π · 3 cm · $\frac{\mathrm{25^\circ}}{360^\circ}$

b_α ≈ 18,84 cm · $\frac{5}{72}$

b_α ≈ 1,308 cm (gerundet auf drei Nachkommastellen)