1. Allgemeines zu Prismen
Eine dreidimensionale Figur bezeichnet man in der Mathematik als einen Körper. Hierbei unterscheidet man Körper nach folgendem Kriterium: Sind die Grund- und Deckflächen eines Körpers ein Vieleck und zueinander kongruent/deckungsgleich/flächengleich und weisen parallele, gleich lange Seitenkanten auf, dann liegt ein sogenanntes Prisma vor. Alle anderen Körper, die dieses Kriterium nicht erfüllen, sind keine Prismen.
Definition:
Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, dessen Grund- und Deckflächen zwei zueinander parallele und deckungsgleiche Vielecke sind. Die Seitenflächen bestehen aus Parallelogrammen.
Primsen werden auch als Säulen bezeichnet.
Die bekanntesten Prismen sind: der Würfel und der Quader.
Bei einem Würfel bestehen alle Flächen aus gleich großen Vierecken; bei einem Quader aus mindestens zwei.
1.1 Der Quader
Definition:
Ein Quader ist ein geometrischer Körper, dessen Grund- und Deckflächen zwei parallele und deckungsgleiche Rechtecke vorweisen. Die Seitenflächen bestehen ebenfalls aus Rechtecken.
Ein Quader setzt sich aus rechteckigen (aber teilweise auch quadratischen) Flächen zusammen. Am Netz eines Quaders zeigt sich das noch einmal sehr deutlich.
1.2 Der Würfel
Definition:
Ein Würfel ist ein geometrischer Körper, dessen Grund- und Deckflächen zwei parallele und deckungsgleiche Quadrate vorweisen. Die Seitenflächen bestehen auch aus Quadraten.
Ein Würfel setzt sich aus sechs quadratischen Flächen zusammen. Am Netz eines Würfels kann man das noch einmal sehr deutlich sehen.
1.3 Das dreiseitige Prisma
Definition:
Ein dreiseitiges Prisma ist ein geometrischer Körper, dessen Grund- und Deckflächen zwei parallele und deckungsgleiche Dreiecke vorweisen. Die Seitenflächen bestehen aus Rechtecken.
2. Berechnungen bei Prismen
In Mathe können bei Prismen verschiedene Berechnungen durchgeführt werden. Das Volumen bzw. der Rauminhalt des Prismas kann hierbei berechnet werden, ebenso die Oberfläche und die Mantelfläche.
2.1 Volumen/Rauminhalt eines Quaders
Ein Quader besitzt die Kantenlängen a, b, c.
Das Volumen des Quaders ist:
VQ = a · b · c
Beispiel: Ein Quader mit der Kantenlänge a = 6 cm, b = 4 cm und c = 5 cm hat folgendes Volumen:
VQ = 6 cm · 4 cm · 5 cm
VQ = 120 cm³
2.2 Volumen/Rauminhalt eines Würfels
Ein Würfel besitzt die Kantenlänge a.
Das Volumen des Würfels beträgt:
VW = a · a · a
VW = a³
Beispiel: Ein Würfel mit der Kantenlänge 4 cm hat folgendes Volumen:
VW = 4 cm · 4 cm · 4 cm
VW = (4 cm)³
VW = 64 cm³
2.3 Volumen eines dreiseitigen Prismas
Ein dreieckiges Prisma besitzt die Grundseiten a, b, c und die Kantenlänge h. Bezogen auf die Grundseite c hat dieses noch die Höhe hc.
Das Volumen des dreiseitigen Prismas beträgt:
VD = AG · h
VD = $\frac{\mathrm{h_g} ~\cdot~ \mathrm{c}~\cdot~ ~ \mathrm{h}}{2}$
Beispiel: Ein dreieckiges Prisma mit der Grundseitenlänge c = 7 cm, der Höhe 4 cm und der Höhe hc = 3 cm bezogen auf die Grundseite hat folgendes Volumen:
VD = $\frac{\mathrm{3~cm} ~\cdot~ \mathrm{7~cm}~\cdot~ ~ \mathrm{ 4~cm}}{2}$
VD = $\frac{\mathrm{84~cm^3}}{2}$
VD = 42 cm3