Ab dem Zeitpunkt, wenn man sich in Mathe mit Funktionen beschäftigt, gehört das Bestimmen von deren Nullstellen unumstößlich mit dazu. Besondere Punkte bei einer Funktion sind wichtig, um deren Verlauf bzw. spezifische Eigenschaften sich vor Augen zu führen! Nullstellen, die Schnittpunkte oder Berührungspunkte mit der x-Achse sind, sind solche besonderen Punkte. Sie geben nämlich Auskunft darüber, wo die Funktion in ihrem Verlauf einen Wechsel hat bei ihrem y-Wert hinsichtlich des Vorzeichens (vom negativen zum positiven Bereich oder umgekehrt wechselt das Vorzeichen gleichermaßen, also von „–“ zu „+“ oder „+“ zu „–“) oder keinen (bei einem Berührpunkt bleibt die Funktion entweder im positiven oder negativen Bereich). Am einfachsten lassen sich hierbei rechnerisch die Nullstellen verschiedenster Funktionen mit dem sogenannten „Satz vom Nullprodukt“ ermitteln.
Bereits in der Grundschule lernt man in Mathematik bei den Rechenoperationen die Multiplikation kennen. Hierbei weiß man dann, dass eine Multiplikation ein Produkt aufweist, das aus verschiedenen Faktoren besteht. Hierbei weiß man bereits auch, dass das Produkt immer gleich null wird, wenn einer der Faktoren des Produktes gleich null ist – was der Satz vom Nullprodukt ist! Mathematisch kann man dies folgendermaßen wiedergeben:
a · b = 0 ⇔ a = 0 oder b = 0
Mathematisch kann man das noch folgendermaßen formulieren:
Wenn ein Produkt null ist, dann ist mindestens ein Faktor null.
a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
Der Satz vom Nullprodukt bei Termen
Hatte man es in der Grundschule beim Satz vom Nullprodukt ausschließlich mit Zahlen zu tun, so ändert sich das in der Mittelstufe dahingehend, dass der Satz vom Nullprodukt auch auf Terme angewendet wird.
Beispiel 1:
Es ist folgende Gleichung gegeben:
(x – 3) · (x + 4) = 0
Da hier links der Gleichung ein Produkt vorliegt und rechts der Gleichung die Zahl null steht, gilt hier ebenfalls der Satz vom Nullprodukt.
Hierbei setzt man nun schrittweise die einzelnen Faktoren des Produktes gleich null und löst die sich hierbei ergebende Gleichung nach der Variablen hin auf:
x – 3 = 0 | + 3
x = 3
oder
x + 4 = 0 | – 4
x = –4
Die Lösung der Gleichung ist x = 3 und x = –4
Mathematisch korrekt: L = {–4; 3}
Für die Funktion f(x) = (x – 3) · (x + 4) ergeben sich dadurch diese beiden Nullstellen:
N1 (–4 | 0), N2 (3 | 0).
Beispiel 2:
Es ist diese Gleichung gegeben:
(x − 2)(x + 3)(x − 7) = 0
Da hier wiederum auf der einen Seite der Gleichung nur Produkte vorliegen und auf der anderen Seite eine Null steht, gilt auch hier wiederum der Satz vom Nullprodukt.
Die Vorgehensweise ist nun die gleiche wie bei Beispiel 1. Man setzt schrittweise die einzelnen Teilprodukte gleich null und löst die Gleichung nach der Variablen hin auf.
x – 2 = 0 | + 2
x = 2
oder
x + 3 = 0 | – 3
x = –3
oder
x – 7 = 0 | + 7
x = 7
Die Lösung der Gleichung ist: L {–3; 2; 7}
Die Nullstellen der Funktion sind: N1 (–3 | 0), N2 (2 | 0), N3 (7 | 0)
Beispiel 3:
Es ist diese Bruchgleichung gegeben:
$\frac{(\mathrm x~-~1)(\mathrm x~+~4)}{\mathrm x~+~2}=0$ für x ≠ –2
Für den Satz des Nullproduktes und die Nullstellen der Bruchgleichung ist hier ausschließlich der Zähler der Bruchgleichung relevant. Denn dadurch ergibt sich folgende Gleichung: (x–1)(x+4) = 0.
Da hier der Satz des Nullproduktes vorliegt, kann man sehr schnell die Nullstellen der Bruchgleichung ermitteln.
x – 1 = 0 | + 1
x = 1
oder
x + 4 = 0 | – 4
x = –4
Die Lösung der Bruchleichung ist: L {–4; 1}
Die Nullstellen der Funktion sind: N1 (–4 | 0), N2 (1 | 0)
Beispiel 4:
Es ist diese Gleichung gegeben:
A = x · (10 − x) für x ∈ ℝ+
Mit dieser Gleichung kann man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen, und zwar in Abhängigkeit von der Variablen x. Durch die Variable x ergeben sich zwei unterschiedliche Längen für den Flächeninhalt des Rechtecks.
Zunächst bestimmt man hier die Definitionsmenge, da es sich hier um eine Flächenberechnung handelt und es eventuell deshalb eine Einschränkung des Zahlenbereiches geben könnte. Da macht man mittels einer Ungleichung.
x > 0
und
10 – x > 0 | + x
10 > x
D = {x ∈ ℝ+ | 0 < x 10}
Mit dem Satz vom Nullprodukt kann man nun feststellen, bei welchen Zahlen keine Rechteckfläche entsteht, indem man bei der gegebenen Gleichung deren Nullstellen ermittelt.
x = 0
oder
10 – x = 0 | + x
x = 10
Durch den Satz des Nullprodukts ermittelt man hier anhand der Nullstellen die beiden Randwerte, die zwischen der Definitionsmenge liegen. Da der Flächeninhalt des Rechtecks positiv sein muss, gehören die beiden Randwerte nicht zur Definitionsmenge.
Als Funktion bilden die Stellen N1 (0 | 0) und N2 (10 | 0) die beiden Grenzwerte der Funktion, denen diese sich annähert.
Beispiel 5:
Es ist eine Gewinnfunktion gegeben, mit der man beschreiben soll, ab wann ein bestimmtes Unternehmen einen Gewinn erzielt:
g(x) = x2 – 78x
Als Gewinn bezeichnet man den Erlös abzüglich Kosten. Der Erlös eines Unternehmens stellt die Einnahmen durch einen Verkauf dar; die Kosten sind die Ausgaben, die für Herstellung, Material, Personal etc. anfallen; der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Kosten. Darüber hinaus gibt es noch einen sogenannten Sättigungspunkt. Das bedeutet, dass ab einer bestimmten Verkaufsmenge auf dem Markt kein Gewinn mehr erzielt wird.
Es sollen nun anhand der Gewinnfunktion die Punkte ermittelt werden, ab wann der Gewinn jeweils null ist: zum einen, weil noch nichts verkauft worden ist, und zum anderen, weil auf dem Markt ein Sättigungspunkt erreicht wurde.
Die Funktion setzt man hierbei gleich null und bestimmt deren Nullstellen.
x2 – 78x = 0
Die Nullstellen kann man hier sehr einfach ermitteln, da man hier die Variable x ausklammern kann, wodurch man den Satz vom Nullprodukt erhält.
x(x – 78) = 0
x = 0
oder
x – 78 = 0 | + 78
x = 78
Bei der Funktion bilden die Stellen N1 (0 | 0) und N2 (78 | 0) die beiden Punkte, zwischen denen der Gewinn zu verorten ist. N1 (0 | 0) bedeutet, dass noch kein Verkauf stattgefunden hat, N2 (78 | 0) bedeutet, dass ab hier durch zahlreiche Verkäufe ein Sättigungsgrad erreicht wurde. Dazwischen liegt also der Gewinn: 0 < x < 78.
Nichtanwendbarkeit des Satz vom Nullprodukt
Der Satz vom Nullprodukt wird aber sofort hinfällig, wenn bei einer Gleichung keine Null auf einer Seite der Gleichung steht.
Beispiel 6:
(x – 3)(x + 4) = 5
Hier steht eine 5 anstatt einer 0 auf einer Seite der Gleichung, auf der anderen Seite das obige Produkt aus Beispiel 1.
Um diese Gleichung zu lösen, müsste man zuerst das Produkt ausmultiplizieren und dann mit einem Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen (mittels p-q-Formel, Mitternachtsformel oder quadratischem Ergänzen) die möglichen Lösungen ermitteln.
Verkomplizierung einer Gleichung
Beispiel 7:
Es ist folgende Gleichung gegeben:
(x – 1)(x + 2)(x + 3) = 0
Um die Nullstellen dieser Gleichung zu ermitteln, kann man hier wieder sofort den Satz des Nullproduktes anwenden. Übersieht man diese aber bzw. sieht man dies nicht und denkt, man muss hierfür die Produkte auflösen.
(x – 1)(x + 2)(x + 3) = 0
(x · x + x · 2 – 1 · x – 1 · 2)(x + 3) = 0
(x2 + 2x – x – 2)(x + 3) = 0
(x2 + x – 2)(x + 3) = 0
x2 · x + x2 · 3 + x · x + x · 3 – 2 · x – 2 · 3 = 0
x3 + 3x2 + x2 + 3x – 2x – 6 = 0
x3 + 4x2 + x – 6 = 0
Wie man hier unschwer erkennen kann, erhält man eine kubische Gleichung bzw. eine Gleichung dritten Grades, da deren höchstes Polynom die Potenz 3 aufweist. Dadurch, dass noch weitere Polynome in der Gleichung vorhanden sind, kann man nun diese Gleichung z. B. nur mittels einer Polynomdivision zu einer quadratischen Gleichung depotenzieren. Darauf kann man dann erst die p-q-Formel, die Mitternachtsformel oder das quadratische Ergänzen zur Ermittlung weiterer Nullstellen anwenden.
Wie man sieht, verkompliziert sich die Gleichung und somit die Lösungsverfahren zur Bestimmung der Nullstellen durch das Auflösen der Produkte entschieden!
Im Nu den Satz vom Nullprodukt anwenden
Mit einem „geschulten“ Auge kann man beim Satz vom Nullprodukt häufig sofort die Nullstellen bestimmen: Es ist oft nur die Negation der „konstanten“ Zahl erforderlich (wenn vor der Variablen nur der Faktor 1 steht!)!
(x – 1)(x + 2)(x + 3) = 0
x = 1
oder
x = –2
oder
x = –3
Die Nullstellen sind: N1 (1 | 0), N2 (–2 | 0), N3 (–3 | 0).