Flächeninhalt

1. Der Flächeninhalt bei Vielecken

Eine Fläche stellt in der Geometrie eine zweidimensionale Begrenzung dar, die aus mindestens drei Punkten besteht und deren Punkte der Reihe nach miteinander verbunden sind.

Die kleinste Fläche nennt man nach der Anzahl der hier vorkommenden Punkte ein Dreieck. Die nächstgrößere Fläche aufgrund vier hierfür benötigter Punkte ein Viereck. Die wiederum nächsthöhere Fläche wird wegen der hier vonnöten seienden fünf Punkte als Fünfeck bezeichnet. Alle weiteren Bezeichnungen eines x-beliebigen Vielecks hängen genauso jeweils von der Anzahl der hier vorkommenden Punkte ab.

Unabhängig davon, um welches Vieleck es sich handelt, dessen Flächeninhalt kann in Mathe jederzeit berechnet werden. Denn hierfür gibt es im Fach Mathematik klare Berechnungsmethoden.

2. Der Flächeninhalt bei einem Dreieck

Ein Flächeninhalt eines Dreiecks wird mit folgender Formel berechnet:

A_D = $\frac{\mathrm{g} ~\cdot~ \mathrm{h}}{2}$

Beispiel:

Die Grundseite g eines Dreiecks beträgt 5 cm, die Höhe h hierzu 2 cm. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dann: 

A_D = $\frac{\mathrm{5~cm} ~\cdot~ \mathrm{2~cm}}{2}$

A_D = 5 cm²

Bei der Berechnung des Flächeninhalts ist es wichtig, dass die Höhe immer rechtwinklig zur Grundseite ist und diese den gegenüberliegenden Punkt des Dreiecks berührt. Daraus ergibt sich, dass jedes Dreieck drei Grundseiten mit jeweils einer rechtwinkligen Höhe vorweist.

2.1 Der Flächeninhalt bei einem gleichseitigen Dreieck

Bei einem gleichseitigen Dreieck vereinfacht sich die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts.

Für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks gilt:

A_D = $\frac{\mathrm{g} ~\cdot~ \mathrm{h}}{2}$.

Da bei einem gleichseitigen Dreieck alle Seiten gleich lang sind, kann man mittels des Satz des Pythagoras folgende Gleichung aufstellen.

($\frac{\mathrm g}{2}$)² + h² = g²

$\frac{\mathrm g^2}{4}$ + h² = g²   | – $\frac{\mathrm g^2}{4}$

h² = $\frac{3~\cdot~\mathrm g^2}{4}$       | √

h = $\sqrt{\frac{3~\cdot~\mathrm g^2}{4}}$

h = $\frac{\sqrt{3}~\cdot~\mathrm g}{2}$

Die Gleichung kann man mittels des Einsetzungsverfahrens in die ursprüngliche Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks einsetzen – wodurch man die Variable h eliminiert.

A_D = $\frac{\mathrm{g}~\cdot~\sqrt{3}~\cdot~\mathrm{g}}{2~\cdot~2}$

A_D = $\frac{\sqrt{3}~\cdot~\mathrm{g}^2}{4}$

Beispiel:

Eine Seite eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 5 cm. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dann: 

A_D = $\frac{\sqrt{3}~\cdot~(\mathrm{4~cm})^2}{4}$

A_D = $\frac{\sqrt{3}~\cdot~\mathrm{16~cm}^2}{4}$

A_D ≈ 13,86 cm² (auf zwei Nachkommastellen gekürzt)

2.2 Der Flächeninhalt bei einem gleichschenkligen Dreieck

Bei einem gleichschenkligen Dreieck kann man die Formel des Flächeninhaltes auch ohne die Höhe h berechnen.

Für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks gilt:

A_D = $\frac{\mathrm{g} ~\cdot~ \mathrm{h}}{2}$.

Bei einem gleichseitigen Dreieck kann man mittels des Satz des Pythagoras folgende Gleichung aufstellen:

($\frac{\mathrm g}{2}$)² + h² = a²   | – $\frac{\mathrm g^2}{4}$

h² = a² – $\frac{\mathrm g^2}{4}$      | √

h = $\sqrt{\mathrm a^2-\frac{\mathrm g^2}{4}}$

Diese Gleichung kann man mittels des Einsetzungsverfahrens in die ursprüngliche Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks einsetzen. Dadurch eliminiert man die Variable h.

A_D = $\frac{\mathrm{g}~ \cdot ~\sqrt{\mathrm{a}^2-\frac{\mathrm{g}^2}{4}}}{2}$

Beispiel:

Die Grundseite eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 5 cm. Eine Seite der Katheten beträgt 7 cm. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dann: 

A_D = $\frac{\mathrm{5~\mathrm cm}~ \cdot ~\sqrt{\mathrm{(7~\mathrm cm)}^2-\frac{\mathrm{(5~\mathrm cm)}^2}{4}}}{2}$

A_D = $\frac{\mathrm{5~\mathrm cm}~ \cdot ~\sqrt{\mathrm{49~\mathrm cm}^2-\frac{\mathrm{25~\mathrm cm}^2}{4}}}{2}$

A_D = $\frac{5\,\mathrm{cm}~\cdot~\sqrt{49\,\mathrm{cm}^2-6{,}25\,\mathrm{cm}^2}}{2}$

A_D = $\frac{5\,\mathrm{cm}~\cdot~\sqrt{42,75\,\mathrm{cm}^2}}{2}$

A_D ≈ $\frac{5\,\mathrm{cm}~\cdot~6,54~\mathrm c\mathrm m^2}{2}$

A_D ≈ $\frac{32,7~\mathrm c\mathrm m^2}{2}$

A_D ≈ 16,35 cm²

3. Flächeninhalt bei einem Rechteck

Der Flächeninhalt eines Rechtecks kann man mit dieser Formel berechnen:

A_R = a · b

Beispiel:

Die Seite a eines Rechtecks beträgt 6 cm, die Seite b = 4 cm. Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich dann wie folgt:

A_R = 6 cm · 4 cm = 24 cm²

4. Flächeninhalt bei einem Quadrat

Der Flächeninhalt eines Quadrats wird auf diese Weise berechnet:

A_Q = a · a = a²

Beispiel:

Eine Seite eines Quadrats hat die Länge a = 6 cm. Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt dann: A_Q = 6 cm · 6 cm = 36 cm²

5. Flächeninhalt eines Parallelogramms

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet man wie folgt:

A_P = g · h

Beispiel:

Die Grundseite g eines Parallelogramms beträgt 5 cm, die Höhe h des Parallelogramms ist 3 cm. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist dann: A_P = 5 cm · 3 cm = 15 cm².

6. Flächeninhalt eines Trapezes

Der Flächeninhalt eines Trapezes folgendermaßen:

A_T = $\frac{(\mathrm{a} + \mathrm{c}) ~\cdot~ \mathrm{h}}{2}$

A_T = $\frac{1}{2} ~\cdot~ (\mathrm{a} ~+ ~\mathrm{c}) ~\cdot~ \mathrm{h}$

Beispiel:

Bei einem Trapez ist die Länge a = 5 cm und die Länge c = 3 cm, die Höhe h des Trapezes beträgt 4 cm. Der Flächeninhalt des Trapezes ist dann:

A_T = $\frac{1}{2} ~\cdot~ (\mathrm{5~cm} ~+ ~\mathrm{3~cm}) ~\cdot~ \mathrm{4~cm}$ = 16 cm².

7. Flächeninhalt eines Drachenvierecks

Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks berechnet man folgendermaßen:

A_Dr = $\frac{1}{2}$ · e · f

Beispiel:

Bei einem Drachenviereck betragen die Diagonalen e = 3 cm und f = 7 cm. Der Flächeninhalt des Drachenvierecks ist dann:

A_Dr = $\frac{1}{2}$ · 3 cm · 7 cm = 10,5 cm².

8. Flächeninhalt einer Raute

Der Flächeninhalt einer Raute berechnet sich wie folgt:

A_Ra = $\frac{1}{2}$ · e · f

Dadurch berechnet man den Flächeninhalt einer Raute genauso wie den Flächeninhalt eines Drachenvierecks.

Beispiel:

Bei einer Raute betragen die Diagonalen e = 6 cm und f = 4 cm. Der Flächeninhalt der Raute ist dann:

A_Ra = $\frac{1}{2}$ · 6 cm · 4 cm = 12 cm².