Wurzeln

1. Das Wurzelziehen als Gegenrechenoperation des Potenzierens

Zum Addieren gibt es in Mathe bekanntermaßen die Gegenrechenoperation, das Subtrahieren. Das Gleiche gilt für das Multiplizieren, denn hier kennt auch jeder die Gegenrechenoperation: das Dividieren. Wie sieht das nun beim Potenzieren aus? Richtig! Jeder in Mathematik nicht gänzlich auf den Kopf gefallene Schüler weiß auch, dass es hierfür eine Gegenrechenoperation gibt. Egal, ob man den Namen hierfür kennt oder nicht – gemeint ist hier: das Radizieren bzw. auf Deutsch: das Wurzelziehen.

Da eine Wurzel immer auf eine Potenz zurückgeführt werden kann, lässt sich diese neue Rechenoperation, das Radizieren/Wurzelziehen am besten aufgrund des Beziehungsverhältnisses Potenz/Wurzel erklären.

Gegeben ist folgende Potenz:                          43

Die diesen Wert hat:                                          43 = 4 4 4 = 64

Die Gegenrechenoperation ist nun hier:         

Dritte Wurzel aus 64

Bei einer Variablen/Zahl unter einer Potenz und dem Ergebnis a besteht folgende Wechselbeziehung bzw. die Möglichkeit dieser Gegenrechenoperation (veranschaulicht auf beiden Bildern).

Gleichung mit Potenz und Variable x als Basis

Variable x in Gleichung mit n-ter Wurzel separiert

Durch das Ziehen der n-ten Wurzel von a erhält man x.

Aus dieser Beziehung zwischen Potenz und Wurzel ergibt sich folgende Definition:

Es ist eine nichtnegative Zahl a gegeben (alle Zahlen größer 0).

Die n-te Wurzel (n ≥ 2) ist diejenige nichtnegative Zahl x, aus der man mit n potenziert die Zahl a erhält.

Die n-te Wurzel aus a in der Sprache der Mathematik hat die Form:

n-te Wurzel von a

.

Die Zahl n nennt man Wurzelexponent, die unter dem Wurzelzeichen stehende Zahl a bezeichnet man als Radikand.

Beispiele:

Quadratwurzel von 64

, denn 8 8 = 64   (gesprochen: die Wurzel aus 64, alternativ: die Quadratwurzel aus 64);

Kubikwurzel aus 729

, denn 9 9 9 = 729   (gesprochen: die 3. Wurzel aus 729, alternativ: die Kubikwurzel aus 729);

Vierte Wurzel aus 1296

, denn 6 6 6 6 = 1296   (gesprochen: die 4. Wurzel aus 1296);

Fünfte Wurzel von 243

, denn 3 ∙ 3 ∙ ∙ 3 ∙ 3 = 243   (gesprochen: die 5. Wurzel aus 243).

Weist die Wurzel keinen Wurzelexponenten auf, so handelt es sich immer um eine Quadratwurzel:

Schreibweise Quadratwurzel

.

1.1 Berechnung der n-Wurzel mit dem Taschenrechner

Bei Taschenrechnern für den Mathematik-Unterricht kann man die n-te Wurzel immer mit dieser Taste berechnen: 

Allgemeine Wurzelschreibweise

. Normalerweise befindet sich diese Taste auf der 2. Belegung des Taschenrechners.

Bei Taschenrechnern, die die Taste

Tastenbelegung x-te Wurzel von y

nicht vorweisen, kann man die n-te Wurzel aber auch folgendermaßen berechnen: Man gibt zuerst den Radikanden in den Taschenrechner ein und drückt als Nächstes die Taste xy. Darauf gibt man den Kehrwert des Wurzelexponenten ein – und das entweder als Bruch oder Dezimalzahl.

Beispiele: 

Sieben Hundert neunundzwanzig hoch ein Drittel

;

Tausend eine Hundert sechsundneunzig hoch ein Viertel

 oder: 12960,25 = 6

;

Zwei Hundert Dreiundvierzig hoch ein Fünftel

   oder: 2430,2 = 3

Je nach Taschenrechner ist es wichtig, um den Exponenten eine Klammer zu setzen.

2. Die Wechselbeziehung zwischen Wurzelziehen und Potenzieren

Ziehen der n-ten Wurzel und Potenzieren mit n

Das Ziehen der n-ten Wurzel wird durch die Gegenrechenoperation, durch das Potenzieren mit n, wieder aufgelöst beziehungsweise rückgängig gemacht.

Denn:

Wurzelziehen und Potenzieren

für a ≥ 0

Beispiele:

Vierte Wurzel von vier Tausend sechsundneuzig hoch vier

;

Dritte Wurzel von siebenundzwanzig hoch 3

;

Fünfte Wurzel von vier Tausend neun Hundert dreizehn hoch fünf

;

Sechste Wurzel von null Komma vierundsiebzig

.

Potenzieren mit n und Ziehen der n-ten Wurzel

Das Potenzieren von n wird durch die Gegenrechenoperation, das Ziehen der n-ten Wurzel wieder aufgelöst beziehungsweise rückgängig gemacht.

Denn:

n-te Wurzel von a hoch n gleich a

für a ≥ 0

Beispiele:

Drei hoch fünf und fünfte Wurzel

;

Sechs hoch sieben und siebte Wurzel

2.1 Die Lösungsmenge einer Gleichung der Form xn = a

Je nach Exponent in Beziehung zu a kann eine Gleichung der Form xn = a eine Lösung oder zwei Lösungen haben oder keine Lösung vorweisen.

Definition:

Für die Lösungsmenge der Gleichung xn = a gilt

bei geradem Exponenten n:        

Lösungsmenge für a größer Null

, wenn a > 0;

{0}

, wenn a = 0;

{ }

, wenn a < 0;

     bei ungeradem Exponenten:             

       

n-te Wurzel von a

, wenn a > 0;       

{0}

, wenn a = 0;

Minus n-te Wurzel von Betrag von a

,  wenn a < 0.

3. Die Erweiterung des Potenzbegriffs: auf gebrochen rationale Exponenten

Jede Wurzel kann auch als Potenz wiedergegeben werden. Hierfür ist nur eine Erweiterung des Potenz-Begriffes vonnöten, und zwar dahingehend, dass der Exponent der Potenz auch gebrochen rationale Zahlen beinhalten kann.

Definition:

Eine Potenz mit einem gebrochen rationalem Exponenten kann man zu einer Wurzel hin umwandeln. 

Wurzelgesetzt für Potenz mit Exponent als Bruchzahl

(für m Є , und n Є ℤ, n Є ℕ*}$, a > 0)

Hierbei wird der Nenner des Bruchs zum Wurzelexponenten und der Zähler des Bruchs zum Exponenten des Radikanden.

Bei m = 1 tritt dieser Sonderfall auf: 

Sonderfall Wurzelgesetz Potenz mit Exponent als Bruchzahl

.

Beispiele:

Wurzelgesetz bei Potenz mit Exponent als Bruchzahl

;

Sechs hoch zwei Drittel entspricht der Kubikwurzel von sechs im Quadrat

;

Termumformung Potenz mit negativer Bruchzahl als Exponent zur Wurzelschreibeise

;

Potenz mit Dezimalzahl als Exponent hin zur Wurzelschreibweise

.

4. Wurzelgesetze

Genauso wie bei Potenzen gibt es in Mathe zu Wurzeln Rechenoperationen, die klaren Regeln unterliegen. Diese werden als Wurzelgesetze bezeichnet. Hierbei gibt es folgende Unterteilungen:

  • Wurzelgesetz für die Multiplikation von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten
  • Wurzelgesetz für die Division von Wurzeln bei gleichem Wurzelexponenten
  • Wurzelgesetz für das Wurzelziehen einer Wurzel

4.1 Wurzelgesetz für die Multiplikation von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten

Liegt eine Multiplikation zweier Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten vor, so ergibt sich hieraus diese Gesetzmäßigkeit:

Wurzelgesetz Multiplikation Wurzel mit gleichem Wurzelexponenten

für a ≥ 0, b ≥ 0

Bei der Multiplikation zweier verschiedener Radikanden, deren Wurzelexponenten gleich sind, werden die Radikanden miteinander malgenommen. Der Wurzelexponent bleibt hierbei bestehen.

Beispiele:

Multiplikation zweier Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten

;

Malnehmen zweier Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten

4.2 Wurzelgesetz für die Division von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten

Bei einer Division zweier Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten ergibt sich folgende Gesetzmäßigkeit:

Wurzelgesetz Division mit gleichem Wurzelexponenten

für a ≥ 0, b > 0

Bei der Division zweier verschiedener Radikanden, die den gleichen Wurzelexponenten vorweisen, wird der Quotient beider Radikanden genommen bzw. der zweite Radikand durch den ersten Radikanden dividiert. Der Wurzelexponent bleibt hierbei bestehen.

Beispiele: 

Division zweier Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten

;

Division Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten

4.3 Wurzelgesetz für das Wurzelziehen aus einer Wurzel 

Zieht man aus einer Wurzel die Wurzel, so liegt folgende Gesetzmäßigkeit vor:

Wurzelgesetz Wurzel von Wurzel mit gleichem Radikand

für a ≥ 0

Bei einer Wurzel zieht man die Wurzel, indem man die Wurzelexponenten miteinander multipliziert. Der Radikand der Wurzel bleibt hierbei erhalten.

Beispiele:

Quadratwurzel von Quadratwurzel

;

Vierte Wurzel von Kubikwurzel

4.4 Sonderfälle von Wurzelgesetzen

Aus den obigen Wurzelgesetzen lassen sich folgende Sonderfälle an Wurzelgesetzen ableiten.

4.41 Das teilweise Wurzelziehen

1a)

Sonderfall Wurzel mit Potenz

(für a ≥ 0, b ≥ 0)

Beispiele:

Vierte Wurzel von zwei hoch vier mal fünf

;

Kubikwurzel von zwei hoch drei mal zwei

1b)    

Wurzel bei Quadratwurzel und Potenz im Quadrat

    (für b ≥ 0)

Beispiele:

Quadratwurzel von zwei hoch zwei mal drei

;

Quadratwurzel neu x im Quadrat

;

Quadratwurzel bei Potenz hoch zwei

;

Quadratwurzel von Potenz hoch zwei

= 6 · a · a

;

2)    

n-te Wurzel von Bruchzahl mit Nenner und Potenz mit Exponenten n

(für a ≥ 0, b > 0)

;

Wurzelgesetz Quadratwurzel Bruchzahl mit Potenz bei Zähler hoch zwei

(für b > 0)

;

Wurzelgesetz Bruchzahl mit Potenz bei Nenner hoch zwei

(für a ≥ 0, b ≠ 0)

;

3)    

Wurzelgesetz Multiplikation Wurzelexponenten und Radikand mit Exponent

(für a ≥ 0, m ∈ ℕ, k ∈ ℕ, n ∈ ℕ)