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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Ungleichungen, Teil 1


Ungleiche Verhältnisse zwischen Chef und Arbeiter © Dr. Klaus-Uwe Gerhardt PIXELIO www.pixelio.de

Neben Gleichungen gibt es in Mathematik noch sogenannte Ungleichungen. Wie der Name es schon vermuten lässt, unterscheiden sich hierbei Ungleichungen offenbar fundamental von Gleichungen, da die Vorsilbe „un“ im Deutschen immer eine Negation ausdrückt – und das demzufolge hier auch der Fall ist. Daher sind Ungleichungen definitiv keine Gleichungen – aber auch nicht komplett das Gegenteil davon.

Der zentrale Unterschied ist im Prinzip das Zeichen, das bei Ungleichungen auftritt. Denn bei einer Ungleichung wird normalerweise entweder ein „>“/„größer als“ oder ein „<“/„kleiner als“ verwendet anstatt wie bei einer Gleichung ein „=“/„gleich“. Dadurch gibt es auch im Gegensatz zu einer Gleichung niemals als Lösungsmenge eine einzige Lösung.

Bei der Ermittlung der Lösungsmenge gibt es aber eine signifikante Übereinstimmung zu Gleichungen. Sowohl Gleichungen als auch Ungleichungen löst man nämlich primär über Äquivalenzumformungen. Weiß man daher wie Äquivalenzumformungen in Mathe richtig gemacht werden, so kann man im Prinzip auch schon Ungleichungen lösen. Das ist doch super, so ökonomisch für die grauen Zellen kann nämlich Mathe auch sein!

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu binomischen Formeln, Teil 1

Das Abitur – der höchste Schulabschluss in Deutschland © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Eine überaus wichtige algebraische Gesetzmäßigkeit stellen die binomischen Formeln dar, da diese ab der 8. Klasse in Mathe immer wieder vorkommen und somit bis zum MSA oder Abi von Schülerinnen und Schülern stets abgerufen werden können müssen. Daher ist ein gewissermaßen blindes Beherrschen der binomischen Formeln Pflicht. Ansonsten ist ein Algebra-Desaster vorprogrammiert. Denn dann kann man mit hoher Wahrscheinlichkeit auch andere algebraische Umformungen nicht korrekt – wodurch sich der komplette Rechenweg verkomplizieren oder gar im schlimmsten Fall komplett falsch sein kann. Verständlicherweise frustet beides gleich stark – und vergellt einem den Spaß an Mathe gänzlich, da die Note in Mathe dann auch  „im Keller“ beziehungsweise (wie man in Berlin eher sagt) „im Souterrain“ angekommen ist. So weit sollte es in Mathematik aber erst gar nicht kommen!

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Satz des Pythagoras, Teil 2

Ein Wohnraum mit rechtwinkliger Grundfläche © CarstenWeber PIXELIO www.pixelio.de

In jedem Raum in einem häuslichen Wohnfeld (es sei denn, man wohnt im Dachgeschoss) begegnet man dem Satz des Pythagoras – und das von Zimmer zu Zimmer gleich doppelt. Normalerweise besitzen ja Räume in Wohnungen eine rechteckige Grundfläche und demzufolge auch die Form eines viereckigen Quaders. Jeder viereckige Quader beziehungsweise Raum enthält nun 2-mal den Satz des Pythagoras – auf der Grundfläche in Form der Flächendiagonalen und im Zimmer selbst in Form der Raumdiagonalen. Hat man daher die Länge und die Breite des Raumes gemessen, dann kann man zunächst über den Satz des Pythagoras die Flächendiagonale des Zimmers berechnen und im Anschluss unter Einbeziehung der Raum-Höhe die Raumdiagonale. Die jeweils ermittelten Ergebnisse lassen dann vielleicht das Zimmer größer erscheinen und man bekommt dadurch eventuell ein positiveres Raumgefühl (das war natürlich eher scherzhaft gemeint 🙂 ).

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Satz des Pythagoras, Teil 1

Die berühmte Mathe-Gesetzmäßigkeit “Satz des Pythagoras“ © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Eine Gesetzmäßigkeit aus dem Mathematik-Unterricht vergessen viele Menschen ihr Leben lang nicht mehr – den „Satz des Pythagoras“. Der Grund hierfür ist aber bestimmt nicht in einem „mathematischen“ Trauma zu finden, den diese Mathe-Gesetzmäßigkeit bei den einstigen Schülern hervorrief. Denn der Satz des Pythagoras stellt für einen „nicht gerade auf den Kopf gefallenen“ Schüler kein allzu schwieriges Mathe-Stoffgebiet dar. Demzufolge sind irgendwelche psychosomatischen „Folgeschäden“ aufgrund dieser mathematischen Gesetzmäßigkeit auf jeden Fall ausgeschlossen. Vielmehr liegt der Nichtvergessenkönnen-Grund nämlich gerade in der großen Einfachheit und Unkompliziertheit des Satzes begründet. Schließlich muss man sich beim Satz des Pythagoras nur eine überaus einprägsame Gleichung merken – und zwar a² + b² = c².

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen, Teil 3

Die richtige Lösung garantiert ein Smiley © Thomas Siepmann PIXELIO www.pixelio.de

„Die Probe aufs Exempel machen“, diese Redensart/dieses Sprichwort passt auch bestens zu Gleichungen. Bei jeder Gleichung kann man nämlich mittels des über Äquivalenzumformungen ausfindig gemachten Ergebnisses überprüfen – ob dieses auch wirklich das richtige ist! Hierzu muss man nur einfach stets „die Probe aufs Exempel machen“. Aber wie geht das nun genau bei jeder einzelnen Gleichung? Ganz einfach. Indem man jede ermittelte Lösung in die Ursprungsgleichung einsetzt. Die Ursprungsgleichung ist hierbei immer die Gleichung, an der noch keine Äquivalenzumformungen vorgenommen wurden. „Für mich ist das nicht ganz logisch, da doch eine Lösung eine Lösung ist – und deshalb eigentlich nicht falsch sein kann“, könnte hier jetzt ein „mitdenkender“ Schüler entgegenhalten. Der Mathematik-Lehrer kann zwar den Einwand seines Schülers nachvollziehen, aber trotzdem nichts gegen die Mathe-Tatsache machen, dass nicht jede ermittelte Lösung einer Gleichung auch eine wirkliche Lösung einer Gleichung ist – was demzufolge ebenso der Schüler „schlucken“ muss.