Schlagwort: Ungleichung

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Mit dem Satz vom Nullprodukt – am einfachsten Nullstellen ermitteln




Der Satz vom Nullprodukt visualisiert

Ab dem Zeitpunkt, wenn man sich in Mathe mit Funktionen beschäftigt, gehört das Bestimmen von deren Nullstellen unumstößlich mit dazu. Besondere Punkte bei einer Funktion sind wichtig, um deren Verlauf bzw. spezifische Eigenschaften sich vor Augen zu führen! Nullstellen, die Schnittpunkte oder Berührungspunkte mit der x-Achse sind, sind solche besonderen Punkte. Sie geben nämlich Auskunft darüber, wo die Funktion in ihrem Verlauf einen Wechsel hat bei ihrem y-Wert hinsichtlich des Vorzeichens (vom negativen zum positiven Bereich oder umgekehrt wechselt das Vorzeichen gleichermaßen, also von „–“ zu „+“ oder „+“ zu „–“) oder keinen (bei einem Berührpunkt bleibt die Funktion entweder im positiven oder negativen Bereich). Am einfachsten lassen sich hierbei rechnerisch die Nullstellen verschiedenster Funktionen mit dem sogenannten „Satz vom Nullprodukt“ ermitteln.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Ungleichungen, Teil 7

Die Kardinalregel bei Ungleichungen!!! © Thommy Weiss / PIXELIO

Die wichtigste Regel in Mathe beim Lösen von Ungleichungen ist (das gilt für lineare Ungleichungen und ebenso für alle anderen Ungleichungen): Bei einer Multiplikation mit einer negativen Zahl oder einer Division mit einer negativen Zahl dreht sich bei der Ungleichung das Ungleichheitszeichen um. Das ist superwichtig, es ist schließlich die Kardinalregel bei Ungleichungen. Macht man also z. B. ein „mal (–5)“ / „· (–5)“ so ändert sich beispielsweise das < hin zu >. Macht man hingegen ein „durch (–4)“ / „: (–4)“ so ändert sich ebenso beispielsweise das > hin zu <. Das sollte man bei Ungleichungen so schnell wie möglich verinnerlichen. Wendet man die Kardinalregel bei Ungleichungen nämlich nicht an – so ist auch die spätere Lösungsmenge definitiv falsch. Wenn man aber geschickt umformt, dann kann man sich einen Wechsel des Ungleichheitszeichens ersparen!

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Ungleichungen, Teil 6

Schritt für Schritt © Jan Wattjes / PIXELIO

Bei linearen Ungleichungen gilt es, Schritt für Schritt – wie übrigens auch bei allen Stoffgebieten in Mathe – die Aufgabe zu lösen. Die einzelnen Lösungsschritte sind hierbei natürlich je nach Aufgabe verschieden. Das ist natürlich ebenfalls bei allen Mathematik-Stoffgebieten so! Es gibt aber immer bei jedem Stoffgebiet Standardaufgaben. Daher auch bei linearen Ungleichungen. Eine Standardaufgabe ist hier, dass eine komplette lineare Ungleichung dasteht und man diese lösen muss. Zunächst fasst man alle gleichen Einzelterme rechts und links des Ungleichheitszeichens zusammen. Dann separiert man den Einzelterm mit der Variablen von dem Einzelterm ohne die Variable. Steht schließlich die Variable alleine, d. h. nur mit der Zahl/dem Faktor 1 vor der Variablen, auf einer Seite der Ungleichung und auf der anderen Seite der Einzelterm ohne Variable – dann hat man die lineare Ungleichung gelöst.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Ungleichungen, Teil 5

Zwei „ungleiche“ Äpfel © Gitti Moser / PIXELIO

Gegenüber Gleichungen weisen Ungleichungen nicht eine Lösung auf wie z. B. in Form einer Zahl oder mehrerer Zahlen, sondern einen Zahlenbereich. Das hat mit den unterschiedlichen Zeichen zu tun, die Gleichungen („=“) und Ungleichungen („>“, „<“, ebenso das „≥“ und das „≤“) vorweisen. Dadurch muss sich ja auch logischerweise ein Unterschied ergeben – und das natürlich ganz besonders bei der Lösung. Bei der Lösungsmenge einer Ungleichung tritt daher auch in der Regel das Ungleichheits-Zeichen wieder auf, da nur so die Lösung der Ungleichung wiedergegeben werden kann. Bei einer Gleichung hingegen ist oftmals die Angabe einer Zahl oder mehrerer Zahlen möglich. Eine oder mehrere Zahlen stehen dann ja für (gleich/„=“) das Ergebnis der Gleichung.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Ungleichungen, Teil 4



Zwei „ungleiche“ Wauwaus © Ruby Stein / PIXELIO

Lineare Gleichungen stellen Gleichungen dar, die eine Variable oder mehrere Variablen vorweisen, die die Potenz 1 besitzen, wie beispielsweise x + 7 = 0 oder 5x + 3x – 7 = 0. Bei linearen Ungleichungen verhält es sich genauso. Lineare Ungleichungen bestehen immer aus einer Variablen mit der Potenz 1, wie zum Beispiel x + 7 > 0 oder 5x + 3x > 0. Aufgrund des nahezu gleichen Aufbaus zu linearen Gleichungen löst man lineare Ungleichungen auch fast genauso auf. Das ist das Schöne an der Mathematik. Es gibt viele Stoffgebiete, die mit einem anderen zusammenhängen. Obzwar man etwas Neues lernt, „fühlt“ sich das dann in Mathe oftmals wie bereits „gelernt“ an.

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