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Auftretende Fehler bei Potenzen

Fehler bei Rechnung in Mathematik © Gaby Stein / PIXELIO

Mit Potenzen wird man in Mathematik seine ganze Schulzeit konfrontiert. Umso wichtiger ist es daher, dass man weiß, was man tut, wenn man in Aufgaben mit Potenzen konfrontiert wird.

In der Grundschule geht es zunächst darum, Potenzen aus besonderen Malaufgaben abzuleiten. Hier übt man intensiv die Multiplikation und die Potenzschreibweise. Später in der Sekundarstufe I lernt man Schritt für Schritt verschiedene Potenzgesetze kennen (genauer fünf an der Zahl). Die Potenzgesetze sind hierbei nichts anderes als Umformungen eines speziellen Terms, bei dem Potenzen auftreten. Diese treten dann auch noch in sogenannten Bruchtermen auf, wobei man wiederum bestimmte Umformungen bei diesen machen muss. Später in der Sekundarstufe II nehmen Potenzen speziell in der Analysis bei der Differential- und der Integralrechnung wiederum eine signifikante Rolle ein. Leider kann man hierbei von Anfang an auch einiges an Fehlern machen…

Exemplarisch wird hier in einer Reihe auf Fehler bei Potenzen eingegangen.

Hier sind Fehler, die im Zusammenhang mit Potenzen im Fach Mathematik beim Bewältigen von Aufgaben auftreten.

Beispiel 1:

x + x + x + x + x + x + x + x = x8

Wenn man für das x eine Zahl einsetzt, wird man sofort sehen, dass das Ergebnis nicht stimmen kann! Setzt man bspw. für x = 2 ein, ergibt sich:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +2 = 16

Bei 28 ergibt sich:

28 = 256.

Wie man unschwer erkennen kann, ist 16 alles andere als 256. Man hat hier die Addition mit der Multipliation verwechselt. Denn:

x + x + x + x + x + x + x + x = 8x und x · x · x · x · x · x · x · x = x8

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +2 = 16 und 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 28

Beispiel 2:

(5x)2 = 5x2

Auf den ersten Blick sieht das hier gar nicht nach einem Fehler aus. Die Potenz vor der Klammer tritt ja auch wieder auf, nachdem man die Klammer aufgelöst hat. Also wurde hier vielleicht gar kein Fehler gemacht?! Doch! Wir setzen wieder eine Zahl für das x ein, um zu überprüfen, ob beide Terme das gleiche Ergebnis ergeben. Für x = 2 ergibt sich:

(5 · 2)2 5 · 22

(10)² 5 · 4

100 20

Wie man unschwer erkennt, unterscheiden sich beide Ergebnisse. Folglich muss bei der Umwandlung des einen Terms in den anderen ein Fehler passiert sein – und dieser hat mit den Potenzen zu tun.

Wenn man bei (5x)2 die Klammer auflöst, muss das Potenzieren bei allem, was sich in der Klammer befindet – also beim kompletten Term im Innern – gemacht werden, also sowohl bei der konstanten Zahl als auch bei der Variablen. Daher sieht das Ergebnis folgendermaßen aus:

(5x)2 = 52x2 = 25x2

Man kann jetzt noch einmal überprüfen, ob der ausgeklammerte Term korrekt ist. Man setzt nun einfach noch einmal bei beiden Termen für x eine Zahl ein. Für x = 2 ergibt sich:

(5 · 2)2 = 25 · 22

102 = 25 · 4

100 = 100

Wie man nun unschwer erkennt, ist das Ergebnis des einen Terms gleich des anderen. Das muss auch so sein, da die Termumfomung nun korrekt ist, da die Klammer mit der Potenz richtig aufgelöst wurde.

Beispiel 3:

x8 : 4 = x2

Zugebenermaßen reibt man sich hier erst einmal die Augen, da der algebraische Fehler hier zu abwegig scheint – aber dennoch auftritt! Ganz unlogisch wurde hierbei auch nicht gedacht! Bei einer Potenz liegt ja nichts anderes als eine besondere Multiplikation vor. Demzufolge liegt es nahe, die Umkehroperation der Multiplikation, die Division, heranzuziehen, wenn man eine Potenz wieder „depotenzieren“ möchte. Hierbei muss man aber Acht geben, aus was die Potenz genau besteht – und hier aus einem Vielfachen von x. Demzufolge muss man dann auch wiederum auf die gleiche Basis, also x, zurückgreifen, wenn man diese Potenz „depotenzieren“ möchte. Mit einer „reinen“ Zahl wie hier funktioniert das nicht.

Wenn man den Rechenfehler der richtigen Rechnung gegenüberstellt, sieht man aber auch anhand des Term-Wertes bspw. bei x = 2, dass die Umformung falsch ist.

x8 : 4 x2

(2)8 : 4 (2)2

256 : 4 4

64 4

Die richtige Umformung ist natürlich:

x8 : 4 = $\frac{\mathrm{x}^8}{4}$

Jetzt kann man noch einmal überprüfen, ob die algebraische Umformung wirklich stimmt. Für x =2 lässt sich das wiederum schnell belegen.

x8 : 4 = $\frac{\mathrm{x}^8}{4}$

(2)8 : 4 = $\frac{\mathrm{2}^8}{4}$

256 : 4 = $\frac{\mathrm{256}}{4}$

64 = 64

Beispiel 4:

(5x)2 = 5x2

Hier sieht es vielleicht für viele zunächst aus, als würde hier gar kein Fehler vorliegen. Schließlich wurde die Klammer aufgelöst und die Potenz hoch zwei ist bei der Variablen erhalten geblieben. Der Schein trügt hier aber! Eine elementare algebraische Regel beim Potenzieren wurde hier nämlich missachtet! Denn: Wenn eine Potenz vor einer Klammer vorliegt und man diese auflösen möchte, muss man ALLE Teilterme innerhalb der Klammer potenzieren! Demzufolge auch die „5“!

Anhand der Term-Wertes bspw. Für x = 2 lässt sich das auch wiederum aufzeigen, dass hier nicht korrekt algebraisch umgeformt wurde.

(5x)2 5x2

(5 · 2)2 5 · 22

(10)2 5 · 4

100 20

Die korrekte algebraische Auflösung der Potenz vor der Klammer ist hierbei folgende:

(5x)2 = 52x2 = 25x2

Ebenso lässt sich hier schnell belegen, dass die algebraische Umformung nun korrekt ist, wenn man bspw. für x = 2 in die Terme einsetzt.

(5x)2 = 25x2

(5 · 2)2 = 25(2)2

102 = 25 · 4

100 = 100

Da Potenzen so bedeutsam in der Schule in Mathematik sind, gibt es hier auf dem Mathematik Nachhilfe Blog zahlreiche Übungsaufgaben für Potenzen, die man auch als PDF herunterladen kann, und zwar bei Übungsaufgaben Potenzen.

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