Magische Quadrate

Allgemeines zu magischen Quadraten

Magische Quadrate, auch Zauberquadrate genannt, tragen aus verschiedenen Gründen zu Recht diesen Namen – da sie aus mathematischer Sicht viel Exzeptionelles vorzuweisen haben und hierdurch eine gewisse Magie von ihnen ausgeht. Der sozusagen magische Kern, aus dem sich das Exzeptionelle ergibt, beinhaltet die magische Zahl. In der Mitte jedes magischen Quadrates befindet sich diese.

Eines der ältesten bekannten Zauberquadrate ist hierbei das Lo-Shu-Quadrat. Nach einer Legende erschien es vor 4000 (!) Jahren auf dem Panzer einer Schildkröte, die aus dem Fluss Lo im alten China auftauchte. Auf ihrem Panzer soll ein Zahlenmuster zu sehen gewesen sein, das das erste 3×3-Felder-Zauberquadrat (mit der magischen Zahl 15) war.

Der Name Lo-Shu-Quadrat setzt sich folgendermaßen zusammen: Lo ist der Name des Flusses, an dem die Legende sich ereignete; Shu heißt „Schrift“ oder „Aufzeichnung“. Lo-Shu-Quadrat bedeutet daher: die Schrift oder Aufzeichnung vom Fluss Lo.

Jedes magische Quadrat hat immer gleich viele Felder. Die Anzahl hängt von der Ordnung ab.

• Ein magisches Quadrat der Ordnung n hat n · n bzw. n² Felder.

Beispiele:

Magische Quadrate Ordnung 3: 3×3-Felder = 9 Felder

Magische Quadrate Ordnung 4: 4×4-Felder = 16 Felder

Magische Quadrate Ordnung 5: 5×5-Felder = 25 Felder

Ein magisches Quadrat kann daher eine beliebige Ordnung n haben. Es gibt keine Grenze nach oben. So könnte ein magisches Quadrat auch 10×10-Felder haben, 100×100-Felder, 1000×1000-Felder usw.

Ein magisches Quadrat ist hierbei so aufgebaut, dass die Zahlen in jeder Zeile, jeder Spalte und den beiden Hauptdiagonalen dieselbe Summe ergeben, die sogenannte magische Zahl oder auch magische Konstante.

Zahlenquadrate der Ordnung 3 mit Zahlreihe +1

Das kleinste magische Quadrat weist die Ordnung 3 auf. Es besitzt 9 Felder.

Die kleinste magische Zahl dieser Ordnung ist: 15.

Hierbei ergeben sich diese Lösungszahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Das magische Quadrat ist Folgendes:

Magische Summe: 15

Die nächsthöhere Zahl dieser Ordnung ist 18.

Hierbei ergeben sich die Lösungzahlen: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Das magische Quadrat ist Folgendes:

Magische Summe: 18

Die nächsthöhere Zahl dieser Ordnung ist 21.

Hierbei ergeben sich die Lösungszahlen: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

Das magische Quadrat ist Folgendes:

Magische Summe: 21

Wie man hier bereits sehen kann, ändern sich die magischen Zahlen, beginnend von der kleinsten, zur nächsthöheren um „+3“, darauf wieder um „+3“ usw.

Das liegt daran, dass man jeweils alle Zahlen beginnend vom allerersten magischen Quadrat jeweils um „+1“ erhöhen kann, um das nächste magische Quadrat zu erhalten. Jeweils „+1“ in einer Zeile, Spalte oder Hauptdiagonalen bedeutet aber bei drei Zahlen „1 + 1 + 1“ = „+3“.

Jede Zeile, Spalte oder Hauptdiagonale wird dadurch um drei größer – und dadurch wird die magische Zahl bzw. die magische Konstante jeweils um „+3“ größer.

Variationen der Zauberquadrate

Egal, welche Ordnung ein magisches Quadrat hat, die Variationen eines bestimmten Zauberquadrates (deren Grundform) betragen stets 8.

Die 8 Variationen entstehen durch die Symmetrien des Zauberquadrates.

4 Drehungen

• 0° (das originale Zauberquadrat)
• 90°
• 180°
• 270°

4 Spiegelungen

• Spiegelung an einer senkrechten Achse
• Spiegelung an einer waagrechten Achse
• Spiegelung an den beiden Hauptdiagonalen

Beispiel anhand des Zauberquadrates mit der magischen Zahl 15

4 Drehungen

0° (das originale Zauberquadrat)

Magische Summe: 15

90°-Drehung

Magische Summe: 15

180°-Drehung

Magische Summe: 15

270°-Drehung

Magische Summe: 15

4 Spiegelungen

Spiegelung an einer senkrechten Achse

Magische Summe: 15

Spiegelung an einer waagrechten Achse

Magische Summe: 15

Spiegelung an einer Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten)

Magische Summe: 15

Spiegelung an einer Hauptdiagonalen (von rechts oben nach links unten)

Magische Summe: 15

Besonderheiten:

Die Zahl 5 befindet sich immer in der Mitte.

Die ungeraden Zahlen (1, 3, 5, 7, 9) bilden immer ein Kreuz.

Die geraden Zahlen (2, 4, 6, 8) stehen immer in den Ecken.

Gesetzmäßigkeiten

Man kann die Felder eines Zauberquadrates 3. Ordnung allgemein folgendermaßen mit Buchstaben wiedergeben:

Magische Summe: S

Zeilen:

a + b + c = S

d + e + f = S

g + h + i = S

Spalten:

a + d + g = S

b + e + h = S

c + f + i = S

Diagonalen:

a + e + i = S

c + f + i = S

Besonderheit der Zahlen:

Bei einer Zahlenreihe aus 9 aufeinanderfolgenden Zahlen ist die Zahl in der Mitte immer die mittlere Zahl des magischen Quadrates, also die Zahl e.

Beispiel:

Die Zahlenreihe ist: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Die Zahl 5 befindet sich in der Mitte.

Die Zahlen a, c, g, i des Zauberquadrates sind immer gerade Zahlen und befinden sich an den Ecken.

Beispiel:

Bei der Zahlenreihe 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sind das die Zahlen 2, 4, 6, 8.

Die Zahlen b, d, e, f, h sind immer ungerade Zahlen und bilden ein Kreuz.

Bei der Zahlenreihe 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sind das die Zahlen 1, 3, 5, 7, 9.

Ferner gilt in Bezug auf die Zahl e in der Mitte des magischen Quadrates:

a + i = b + h = c + g = d + f = 2e.

Das bedeutet Folgendes: Die Mitte ergibt sich aus dem Mittelwert jedes gegenüberliegenden Paares.

e = $\frac{\mathrm{a}~+~\mathrm{i}}{2}$ oder

e = $\frac{\mathrm{b}~+~\mathrm{h}}{2}$ oder

e = $\frac{\mathrm{c}~+~\mathrm{g}}{2}$ oder

e = $\frac{\mathrm{d}~+~\mathrm{f}}{2}$ oder

Diese Regelmäßigkeit kann man auf folgende Weise begründen:

Die gegenüberliegenden Ecken a und i kann man hierbei exemplarisch für die anderen gegenüberliegenden Paare betrachten.

Die erste Zeile ist:

a + b + c = S

Die letzte Zeile ist:

g + h + i = 2

Die mittlere Spalte ist:

b + e + h = S

Die Addition der ersten und der letzten Zeile ergibt:

a + b + c + g + h + i = 2S

• Der Grund, warum man diese beiden Zeilen addiert, ist: Hier stehen genau die sechs äußeren Felder ohne die Mitte e.

Hiervon zieht man die mittlere Spalte ab:

a + b + c + g + h + i − (b + e + h) = 2S − S

a + b + c + g + h + i − b − e − h = S

a + c + g + i − e = S

• Der Grund, warum man nun hiervon die mittlere Spalte abzieht, ist: Hier sind die Felder b und h enthalten, die auch in der vorherigen Summe auftreten. Dadurch eliminiert man Variablen und vereinfacht die Gleichung.

Addiert man die beiden Hauptdiagonalen:

a + e + i ​= S und c + e + g = S

Dann ergibt sich:

a + e + i + c + e + g ​= S + S

a + c + g + i + 2 e = 2S

• Der Grund, warum man nun die beiden Hauptdiagonalen addiert, ist: Man erhält dadurch wiederum die Eckpunkte, aber zusammen mit der doppelten Mitte, also 2e.

Nun subtrahiert man die obige Gleichung von dieser.

a + c + g + i + 2e − (a + c + g + i − e) = 2S − S

a + c + g + i + 2e − a − c − g − i + e = S

3e = S

• Der Grund, warum man nun die eine Gleichung von der anderen abzieht, ist: Die beiden Gleichungen sind fast identisch, sodass man alle Variablen der Eckfelder damit eliminieren kann. Dadurch ist auch Folgendes bewiesen: Die Mitte ist immer ein Drittel der magischen Summe!

Das setzt man nun in eine der Hauptdiagonalen ein:

a + e + i ​= S

a + e + i = 3e  | – e

a + i = 2e

Der Grund, warum man nun das vorige Ergebnis in eine der Hauptdiagonalen einsetzt, ist: Dadurch wird auch Folgendes bewiesen: Die Mitte ist genau der Durchschnitt jedes gegenüberliegenden Paares!

Das Gleiche kann man nun bei den anderen gegenüberliegenden Paaren machen.

Aus dem Dargelegten folgt:

Die vier Eckpunkte ergeben immer in Bezug zur Mitte e:

a + c + g + i = 4e

Es gilt ja: a + i = 2e und c + g = 2e. Addiert man nun beide Gleichungen, so ergibt sich:

a + i + c + g = 2e + 2e

a + c + g + i = 4e

Zahlenquadrate der Ordnung 3 mit Zahlreihe +2

Zahlenquadrate der Ordnung 3 weisen auch Zahlenreihen auf, die den Abstand „+2“ aufweisen. Diese gewinnt man ganz einfach, wenn man die Zahlenreihe „+1“ eines 3×3-Felder-Zaubquadrats mit dem Faktor 2 multipliziert.

Beispiel: Die Zahlenreihe mit der niedrigsten magischen Summe, mit 15, ist: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Mit dem Faktor 2 multipliziert ergibt sich diese Zahlenreihe: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) · 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Die magische Summe wird dadurch auch um den Faktor 2 erhöht: 15 · 2 = 30.

Das magische Quadrat mit der niedrigsten magischen Konstante ist somit Folgendes:

Magische Summe: 30

Allgemein kann jedes magische Quadrat mit dem Faktor k multipliziert werden. Das liegt an der Gegenüber-Regel der Zauberquadrate. Hier gilt:

x + y = 2e

Dadurch stehen alle Felder auf diese Weise in Bezug zur Mitte.

x + y = 2e | · k

k · x + k · y = k · 2e

k · (x + y) = k · 2e

Die Gegenüber-Regel bleibt nach der Multiplikation mit einem beliebigen Faktor erhalten. Demzufolge auch alle obigen Gesetzmäßigkeiten.

Zahlenquadrate der Ordnung 3 mit dem Faktor k

Allgemein kann ein beliebiges Zauberquadrat 3. Ordnung mit einem Faktor folgendermaßen mittels Buchstaben wiedergegeben werden.

Magische Summe: k · S

Magisches Quadrat mit der magischen Zahl 15 lösen