Liegt in Mathe eine quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform vor, das heißt auf diese Art: x² + px + q, dann kann man sofort ohne Probleme deren Lösung(en) ermitteln. Hierfür gibt es ja extra die pq-Formel:
Schließlich kann man bei der Normalform den p-Wert und den q-Wert der quadratischen Gleichung sofort ablesen, so dass man daher im Nu mittels der p-q-Formel deren Lösung(en) berechnen kann. Jetzt gilt es die Werte nur noch richtig einzusetzen. Hier muss man aber immer darauf Acht geben, dass speziell sowohl bei einem negativen p-Wert als auch negativen q-Wert die Vorzeichenregel richtig angewendet wird. Konkret heißt das, dass „–“ und „–“ „+“ ergeben, wenn entweder beim Einsetzen in die pq-Formel der p-Wert oder der q-Wert negativ sind.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet quadratische Gleichungen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme mittels pq-Formel die Lösung(en) der quadratischen Gleichung. Überprüfe anhand der Probe die Ergebnisse.
a) x² + 8x + 16 = 49
b) x² – 8x + 16 = 0
c) x² – 6x + 9 = 36
d) x² – x + 0,25 = 1,44
e) y² + 16y + 64 = 7
f) x² – 1,8x + 0,81 = 0,25
g) z² – 3z + 2,25 = 5
h) z² – 5z + 6,25 = 8
i)
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle bei folgenden quadratischen Gleichungen die Lösungsmenge.
a) 50x² – 18 = 0
b) 50 – 18x² = 0
c) 4x² – 1 = 0
d) 4x² – x = 0
e) z² – 4z = 0
f) z² – 4 = 0
g) y² + 0,9y = 0
h) y² – 0,09 = 0
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge.
a) x² + (8 – x)² = (8 – 2x)²
b) (x – 1)² = 5(x² – 1)
c) (2x – 5)² – (x – 6)² = 80
d) (x – 5) (x – 6) + (x – 4) (x – 7) = 10
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung.
a) (x + 4) (x – 4) = 84
b) (x + 7) (x – 5) = 45
c) (x – 9) (x + 2) = –5,6x
d) (x – 3) (x – 4) = 1,4x
e) (3x – 2) (2x – 3) = 5(x² – 6)
f) (8 – 3y) (5y + 2) = 4y(11 – 4y)
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Quadratische Gleichungen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme mittels der pq-Formel die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung. Mache anschließend die Probe.
Die pq-Formel lautet:
a)
x² + 8x + 16 = 49 | – 49
x² + 8x – 33 = 0
Bevor man hier die pq-Formel anwenden kann, muss man die Gleichung noch dahingehend auflösen, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht. Bei der Anwendung der pq-Formel muss man Acht geben dass „–“ „–33“ = „+33“ wird.
x1,2 =– 4 ± 7
x1 = – 4 + 7 = 3
x2 = – 4 – 7 = –11
L = {–11; 3}
Probe :
(–11)² + 8(–11) + 16 = 49 <=> 121 – 88 + 16 = 49 <=> 49 = 49
(3)² + 8(3) + 16 = 49 <=> 9 + 24 + 16 = 49 <=> 49 = 49
Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Ergebnisse.
b) x² – 8x + 16 = 0
Hier muss man aufpassen, dass „–“ „–8“ = „8“ ergibt.
x1,2 =4 ± 0
x1,2 =4
L = {4}
Probe:
(4)² – 8(4) + 16 = 0
16 – 32 + 16 = 0
0 = 0
c) x² – 6x + 9 = 36 | – 36 <=>
x² – 6x – 27 = 0
Hier muss man Acht geben, dass „–“ „–6“ = „6“ ergibt und „–“ „–27“ = „27“.
x1,2 =3 ± 6
x1 = 3 + 6 = 9
x2 = 3 – 6 = –3
L = {–3; 9}
Probe:
(–3)² – 6(–3) + 9 = 36
9 + 18 + + 9 = 36
36 = 36
(9)² – 6(9) + 9 = 36
81 – 54 + 9 = 36
36 = 36
d)
x² – x + 0,25 = 1,44 | – 1,44
x² – x – 1,19 = 0
Hier muss man wiederum Acht geben, dass „–“ „–1“ = „1“ ergibt und „–“ „–1,19“ = „1,19“
x1,2 =0,5 ± 1,2
x1 = 0,5 + 1,2 = 1,7
x2 = 0,5 – 1,2 = –0,7
L = {–0,7; 1,7}
Probe:
(–0,7)² – (–0,7) + 0,25 = 1,44
0,49 + 0,7 + 0,25 = 1,44
1,44 = 1,44
(1,7)² – (1,7) + 0,25 = 1,44
2,89 – 1,7 + 0,25 = 1,44
1,44 = 1,44
e)
y² + 16y + 64 = 7 | – 7
y² + 16y + 57
(gerundet auf zwei Nachkommastellen)
(gerundet auf zwei Nachkommastellen)
L = {–10,65; –5,35} bzw.
Probe:
(–8 – $\sqrt{7}$)² + 16(–8 – $\sqrt{7}$) + 64 = 7
–57 + 64 = 7
7 = 7
(–8 + $\sqrt{7}$)² + 16(–8 + $\sqrt{7}$) + 64 = 7
–57 + 64 = 7
7 = 7
f)
x² – 1,8x + 0,81 = 0,25 | – 0,25
x² – 1,8x + 0,56 = 0
Hier muss man darauf aufpassen, dass „–“ „– 1,8“ = „+1,8“ ergibt.
x1,2 = $\frac{1,8}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{1,8}{2} \right)^2 – 0,56 }$
x1,2 =0,9 ± $\sqrt{(0,9)^2-0,56}$
x1,2 =0,9 ± $\sqrt{0,81-0,56}$
x1,2 =0,9 ± $\sqrt{ 0,25}$
x1,2 =0,9 ± 0,5
x1 = 0,9 + 0,5 = 1,4
x2 = 0,9 – 0,5 = 0,4
L = {0,4; 1,4}
Probe:
(0,4)² – 1,8(0,4) + 0,81 = 0,25
0,16 – 0,72 + 0,81 = 0,25
0,25 = 0,25
(1,4)² – 1,8(1,4) + 0,81 = 0,25
1,96 – 2,52 + 0,81 = 0,25
0,25 = 0,25
g)
z² – 3z + 2,25 = 5 | – 5
z² – 3z – 2,75 = 0
Hier muss man darauf Acht geben, dass „–“ „–3“ = „3“ ergibt und „–“ „– 2,75“ = „+2,75“.
z1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{ \left( \frac{3}{2} \right)^2 + 2.75 }$
z1,2 =1,5 ± $\sqrt{ (1.5)^2 + 2.75 }$
z1,2 =1,5 ± $\sqrt{2,25+2,75}$
z1,2 =1,5 ± $\sqrt{5}$
z1 = 1,5 + $\sqrt{5}$ = 3,74 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
z2 = 1,5 – $\sqrt{5}$ = –0,74 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
L = {–0,74; 3,74} bzw. L = {1,5 – $\sqrt{5}$; 1,5 + $\sqrt{5}$}
Probe:
(1,5 – $\sqrt{5}$)² – 3(1,5 – $\sqrt{5}$) + 2,25 = 5
2,75 + 2,25 = 5
5 = 5
(1,5 + $\sqrt{5}$)² – 3(1,5 + $\sqrt{5}$) + 2,25 = 5
2,75 + 2,25 = 5
5 = 5
h)
z² – 5z + 6,25 = 8 | – 5
z² – 5z – 1,75
Hier muss man darauf Acht geben, dass „–“ „–5“ = „+5“ und „–“ „–1,75“ = „+1,75“ ergibt.
z1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{ \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 1.75 }$
z1,2 =2,5 ± $\sqrt{(2,5)^2+1,75}$
z1,2 =2,5 ± $\sqrt{6,25+1,75}$
z1,2 =2,5 ± $\sqrt{8}$
z1 = 2,5 + $\sqrt{8}$ = 5,33 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
z2 = 2,5 – $\sqrt{8}$ = –0,33 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
L = {–0,33; 5,33} bzw. L = {2,5 – $\sqrt{8}$; 2,5 + $\sqrt{8}$}
Probe: (
2,5 – $\sqrt{8}$)² – 5(2,5 – $\sqrt{8}$) + 6,25 = 8
1,75 + 6,25 = 8
8 = 8
(2,5 + $\sqrt{8}$)² – 5(2,5 + $\sqrt{8}$) + 6,25 = 8
1,75 + 6,25 = 8
8 = 8
i)
x² + 5x + $\frac{25}{4} = \frac{81}{4}$ | – $\frac{81}{4}$
x² + 5x – 14 = 0
Hier muss man darauf Acht geben, dass „–“ „–14“ = „+14“ ergibt.
x1,2 = – $\frac{5}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{5}{2} \right)^2 + 14}$
x1,2 = – 2,5 ± $\sqrt{(2,5)^2+14}$
x1,2 = – 2,5 ± $\sqrt{6,25+14}$
x1,2 = – 2,5 ± $\sqrt{20,25}$
x1,2 = – 2,5 ± 4,5
x1 = –2,5 + 4,5 = 2
x2 = –2,5 – 4,5 = –7
L = {–7; 2}
Probe:
(–7)² + 5(–7) + $\frac{25}{4}$ = $\frac{81}{4}$
49 – 35 + $\frac{25}{4}$ = $\frac{81}{4}$
$\frac{81}{4}$ = $\frac{81}{4}$
(2)² + 5(2) + $\frac{25}{4}$ = $\frac{81}{4}$
4 + 10 + $\frac{25}{4}$ = $\frac{81}{4}$
$\frac{81}{4}$ = $\frac{81}{4}$
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme bei den quadratischen Gleichungen die Lösungsmenge.
a)
50x² – 18 = 0
Fehlt bei einer quadratischen Gleichung das lineare Glied/“bx“, so kann man immer deren Lösung(en) mittels einfachen Äquivalenzumformungen bestimmen.
50x² – 18 = 0 | + 18
50x² = 18 | : 50
x² = 0,36 | √
x1,2 = ± $\sqrt{ 0,36}$
x1,2 = ± 0,6
L = {–0,6; 0,6}
b)
50 – 18x² = 0 | + 18x²
50 = 18x² | : 18
x² = $\frac{50}{18}$ | √
x1,2 = ± $\sqrt{\frac{50}{18}}$
x1,2 = ± $\frac{5}{3}$
L = {–$\frac{5}{3}$; $\frac{5}{3}$}
c)
4x² – 1 = 0 | + 1
4x² = 1 | : 4
x² = 0,25 | √
x1,2 = ± $\sqrt{0,25}$
x1,2 = ± 0,5
L = {–0,5; 0,5}
d)
4x² – x = 0
Fehlt bei einer quadratischen Gleichung das absolute Glied/“c“, so kann man die Lösungen der quadratischen Gleichung immer mittels ausklammern/faktorisieren bestimmen.
4x² – x = 0
x · (4x – 1) = 0
x1 = 0
4x – 1 = 0 | + 1
4x = 1 | : 4
x2 = 0,25
L = {0; 0,25}
e)
z² – 4z = 0
z · (z – 4) = 0
z1 = 0
z – 4 = 0 | + 4
z = 4
z2 = 4
L = {0; 4}
f)
z² – 4 = 0 | + 4
z² = 4 | √
z1,2 = ± $\sqrt{4}$
z1,2 = ± 2
L = {–2; 2}
g)
y² + 0,9y = 0
y · (y + 0,9) = 0
y1 = 0
y + 0,9 = 0 | – 0,9
y = –0,9
y2 = –0,9
L = {–0,9; 0}
h)
y² – 0,09 = 0 | + 0,09
y² = 0,09 | √
y = ± 0,3
L = {–0,3; 0,3}
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge.
a)
x² + (8 – x)² = (8 – 2x)²
x² + (8)² + 2 · 8 · (–x) + (–x)² = (8)² + 2 · 8 · (–2x) + (–2x)²
x² + 64 – 16x + x² = 64 – 32x + 4x²
2x² + 64 – 16x = 64 – 32x + 4x² | – 64
2x² – 16x = – 32x + 4x² | – 2x²
–16x = – 32x + 2x² | + 16x
0 = –16x + 2x² | : 2
0 = –8x + x²
x · (–8 + x) = 0
x1 = 0
–8 + x = 0 | + 8
x = 8
x2 = 8
L = {0; 8}
b)
(x – 1)² = 5(x² – 1)
(x)² + 2 · x · (–1) + (–1)² = 5x² + 5 · (–1)
x² –2x + 1 = 5x² – 5 | – x²
–2x + 1 = 4x² – 5 | – 1
–2x = 4x² – 6 | + 2x
0 = 4x² + 2x – 6 | : (4)
0 = x² + 0,5x – 1,5
x1,2 = – $\frac{0,5}{2}$ ± $\sqrt{\ ({\frac{0,5}{2})^2+1,5}}$
x1,2 = –0,25 ± $\sqrt{(0,25)^2 + 1,5}$
x1,2 = –0,25 ± $\sqrt{ 0,0625+1,5}$
x1,2 = –0,25 ± $\sqrt{1,5625}$
x1,2 = –0,25 ± 1,25
x1 = –0,25 + 1,25 = 1
x2 = –0,25 – 1,25 = –1,5
L = {–1,5; 1}
c)
(2x – 5)² – (x – 6)² = 80
(2x)² + 2 · 2x · (–5) + (–5)² – [(x)² + 2 · x · (–6) + (–6)²] = 80
4x² – 20x + 25 – (x² – 12x + 36) = 80
4x² – 20x + 25 – x² + 12x – 36 = 80
3x² – 8x – 11 = 80 | – 80
3x² – 8x – 91 | : 3
x² – $\frac{8}{3}$ – $\frac{91}{3}$
x1,2 = $\frac{4}{3} \pm \sqrt{\left( \frac{4}{3} \right)^2 + \frac{91}{3}}$
x1,2 = $\frac{4}{3} \pm \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{91}{3}}$
x1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\ {\frac{289}{9}}}$
x1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\frac{17}{3}$
x1 = $\frac{4}{3}$ + $\frac{17}{3}$ = 7
x2 = $\frac{4}{3}$ – $\frac{17}{3}$ = –$\frac{13}{3}$
L = {–$\frac{13}{3}$; 7}
d)
(x – 5) (x – 6) + (x – 4) (x – 7) = 10
x · x + x · (–6) + (–5) · x + (–5) · (–6) + x · x + x · (–7) + (–4) · x + (–4) · (–7) = 10
x² – 6x – 5x + 30 + x² – 7x – 4x + 28 = 10
2x² – 22x + 58 = 10 | – 10
2x² – 22x + 48 = 0 | : 2
x² – 11x + 24 = 0
x1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt\ ({\frac{11}{2})^2-24}$
x1,2 = 5,5 ± $\sqrt{\ 30,25-24}$
x1,2 = 5,5 ± $\sqrt{\ 6,25}$
x1,2 = 5,5 ± 2,5
x1 = 5,5 + 2,5 = 8
x2 = 5,5 – 2,5 = 3
L = {3; 8}
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung.
a)
(x + 4) (x – 4) = 84
x · x + 4 · (–4) = 84
x² – 16 = 84 | + 16
x² = 100 | √
x1,2 =± $\sqrt{100}$
x1,2 =± 10
L = {–10; 10}
b)
(x + 7) (x – 5) = 45
x · x + x · (–5) + 7 · x + 7 · (–5) = 45
x² – 5x + 7x – 35 = 45
x² + 2x – 35 = 45 | – 45
x² + 2x – 80 = 0
x1,2 = – $\frac{2}{2}$ ± $\sqrt\ ({\frac{2}{2})^2+80}$
x1,2 = –1 ± $\sqrt{1+80}$
x1,2 = –1 ± $\sqrt{81}$
x1,2 = –1 ± 9
x1 = –1 + 9 = 8
x2 = –1 – 9 = –10
L = {–10; 8}
c) (x – 9) (x + 2) = –5,6x
x · x + x · 2 + (–9) · x + (–9) · 2 = –5,6x
x² + 2x – 9x – 18 = –5,6x
x² – 7x – 18 = –5,6x | + 5,6x
x² – 1,4x – 18 = 0
x1,2 = $\frac{1.4}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{1.4}{2} \right)^2 + 18}$
x1,2 = 0,7 ± $\sqrt{0,49+18}$
x1,2 = 0,7 ± $\sqrt{18,49}$
x1 = 0,7 + 4,3 = 5
x2 = 0,7 – 4,3 = –3,6
L = {–3,6; 5}
d)
(x – 3) (x – 4) = 1,4x
x · x + x · (–4) + (–3) · x + (–3) · (–4) = 1,4x
x² – 4x – 3x + 12 = 1,4x
x² – 7x +12 = 1,4x | – 1,4x
x² – 8,4x +12 = 0
x1,2 = $\frac{8,4}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{8,4}{2} \right)^2 – 12}$
x1,2 = 4,2 ± $\sqrt{17,64-12}$
x1,2 = 4,2 ± $\sqrt{ 5,64}$
x1 = 4,2 + $\sqrt{5,64}$
x2 = 4,2 – $\sqrt{5,64}$
L = {4,2 – $\sqrt{5,64}$; 4,2 + $\sqrt{5,64}$}
e)
(3x – 2) (2x – 3) = 5(x² – 6)
3x · 2x + 3x · (–3) + (–2) · 2x + (–2) · (–3) = 5 · x² + 5 · (–6)
6x² – 9x – 4x + 6 = 5x² – 30
6x² –13x + 6 = 5x² – 30 | – 5x²
x² –13x + 6 = –30 | + 30
x² –13x + 36 = 0
x1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\ (\frac{13}{2})^2-36}$
x1,2 = 6,5 ± $\sqrt{42,25-36}$
x1,2 = 6,5 ± $\sqrt{6,25}$
x1,2 = 6,5 ± 2,5
x1 = 6,5 + 2,5 = 9
x2 = 6,5 – 2,5 = 4
L = {4; 9}
f) (8 – 3y) (5y + 2) = 4y(11 – 4y)
8 · 5y + 8 · 2 + (–3y) · 5y + (–3y) · 2 = 4y · 11 + 4y · (–4y)
40y + 16 – 15y² – 6y = 44y – 16y²
34y + 16 – 15y² = 44y – 16y² | + 16y²
34y + 16 + y² = 44y | – 44y
–10y + 16 + y² = 0
y1,2 = $\frac{10}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{10}{2} \right)^2 – 16}$
y1,2 = 5 ± $\sqrt{25-16}$
y1,2 = 5 ± $\sqrt{9}$
y1,2 = 5 ± 3
y1 = 5 + 3 = 8
y2 = 5 – 3 = 2
L = {2; 8}