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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen, Teil 4


Veranschaulichung einer Gleichung – eine gleichgewichtige © Wippe Sabrina Haselbach / Pixelo

Gleichungen nehmen in der Schule in der Mathematik eine große Wichtigkeit ein, da diese untrennbar mit Funktionen verbunden sind. Und Funktionen bzw. später in der Oberstufe das nur um Funktionen kreisende Teilgebiet Analysis sind häufig Prüfungsthema im schriftlichen Mathe-Abitur. Daher sollte man möglichst fit sein bei Gleichungen, dann wird man auch fit sein bei Funktionen – und irgendwann die schriftliche Abschlussprüfung in Mathematik ohne große Probleme Aufgabe für Aufgabe gut meistern.

Das Wichtigste bei Gleichungen sind hierbei die sogenannten Äquivalenzumformungen, das heißt, eine Gleichung dahingehend zu verändern, dass die Aussage/das Wertverhältnis der Ursprungsgleichung/Ausgangsgleichung unverändert bleibt. Hat man das einmal gut verinnerlicht, dann wird man irgendwann auch wissen, wann eine ebenfalls notwendigerweise zu tätigende Umformung bei einer Gleichung KEINE Äquivalenzumformung (wie beispielsweise das Quadrieren) mehr ist.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Ungleichungen, Teil 2



Justitia © Florentine / PIXELIO

Die Negation von etwas kann es doch nicht geben! Oder doch? Frosch und Nicht-Frosch. Zwerg und Nicht-Zwerg. Husten und Nicht-Husten. Bei Substantiven trifft das bei dem Negationspartikel „nicht“ sowohl als auch zu. Hä? Denn entweder es gibt das eine oder es gibt das eine nicht. Formallogisch gibt es aber beides. Lust und Unlust. Selbstständigkeit und Unselbstständigkeit. Echtheit und Unechtheit. Bei der Vorsilbe „un“, die das Gegenteil von etwas zum Ausdruck bringt, ist das ebenso der Fall. Beide Partikel bringen etwas zum Ausdruck, das das Gegenteil von etwas Bestimmtem ist und deshalb das ursprünglich Gemeinte negiert. Daher ist eine Ungleichung definitiv keine Gleichung!!! Sie ist nämlich eine Nicht-Gleichung bzw. eine Un-Gleichung. Dennoch gibt es in der Mathematik zweifelsohne Ungleichungen. Formallogisch wäre daher nun ein für alle Mal geklärt, dass eine Ungleichung genauso wie alles andere, was ein Negationspartikel als Wortbestandteil hat, zwar das Gegenteil von etwas ist, aber dennoch existiert. Ein Nicht-Mathe-Thema wäre hier auch ein für allemal geklärt. 🙂

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck, Teil 1

Rechtwinkliges Dreieck mit Längen- und Winkelangabe

Stehen in Mathe Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck an der Tagesordnung und man muss hierfür nicht den Satz des Pythagoras heranziehen, so hat man das Stoffgebiet Trigonometrie vor der Brust. Mithilfe der trigonometrischen Beziehungen lassen sich nämlich auch die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Im Gegensatz zu dem Satz des Pythagoras macht man das aber entweder mittels zweier Seitenlängen oder zusammen mit einem Winkel und einer Seitenlänge des Dreiecks. Aber im Prinzip ist das Stoffgebiet ähnlich schwer bzw. leicht (wenn man in Mathematik nicht gänzlich auf den Kopf gefallen ist ;-)). Man muss nur die trigonometrischen Beziehungen anwenden – und am besten auch noch auswendig können. Folgende drei trigonometrischen Beziehungen gibt es hierbei:

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Ungleichungen, Teil 1


Ungleiche Verhältnisse zwischen Chef und Arbeiter © Dr. Klaus-Uwe Gerhardt / PIXELIO

Neben Gleichungen gibt es in Mathematik noch sogenannte Ungleichungen. Wie der Name es schon vermuten lässt, unterscheiden sich hierbei Ungleichungen offenbar fundamental von Gleichungen, da die Vorsilbe „un“ im Deutschen immer eine Negation ausdrückt – und das demzufolge hier auch der Fall ist. Daher sind Ungleichungen definitiv keine Gleichungen – aber auch nicht komplett das Gegenteil davon.

Der zentrale Unterschied ist im Prinzip das Zeichen, das bei Ungleichungen auftritt. Denn bei einer Ungleichung wird normalerweise entweder ein „>“/„größer als“ oder ein „<“/„kleiner als“ verwendet, anstatt wie bei einer Gleichung ein „=“/„gleich“. Dadurch gibt es auch im Gegensatz zu einer Gleichung niemals als Lösungsmenge eine einzige Lösung.

Bei der Ermittlung der Lösungsmenge gibt es aber eine signifikante Übereinstimmung mit Gleichungen. Sowohl Gleichungen als auch Ungleichungen löst man nämlich primär über Äquivalenzumformungen. Weiß man daher, wie Äquivalenzumformungen in Mathe richtig gemacht werden, so kann man im Prinzip auch schon Ungleichungen lösen. Das ist doch super, so ökonomisch für die grauen Zellen kann nämlich Mathe auch sein!

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungen, Teil 1

Heute Nachhilfe! © flown / PIXELIO

Hat man verstanden, wie man lineare Gleichungen korrekt löst, dann wird man auch mit ziemlicher Sicherheit schwierigere Gleichungen in Mathe „knacken“ können. Das Entscheidende beim schrittweisen Lösen von Gleichungen beherrscht man dann nämlich schon – die sogenannten Äquivalenzumformungen. Das sind bei einer Gleichung Umformungen, bei denen sich die Lösungsmenge der Ursprungsgleichung/Ausgangsgleichung nicht ändert. Löst man derart eine lineare Gleichung auf, so weiß man dann auch, das eindeutige Ergebnis zu „interpretieren“, sprich, welche Art von Lösung genau vorliegt. Und das wird einem ebenso bei allen weiteren Gleichungen äußerst hilfreich sein! Schließlich muss man in höheren Klassenstufen oftmals verschiedene Gleichungen gleichsetzen – was ein notwendiges Bestimmungsmerkmal von Schnittpunkten bei unterschiedlichen Funktionen ist! Daher wird man sich in Mathe bis zum Abitur mit Gleichungen „herumschlagen“ müssen, da sich speziell in der Oberstufe bei der Analysis alles um Funktionen dreht.

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