Die Terminologie in der Mathematik ist sehr wichtig. Was? Die Terminologie! Was? Das Fachvokabular? Was? Das Fachvokabular? Was? Die speziellen Wörter, die man im Fach Mathematik verwendet! Ach so! Versteht man wirklich gleich so oft bei bestimmten/speziellen Wörtern, die im Mathe-Unterricht gebräuchlich sind, BAHNHOF, dann sollte man schleunigst diesbezüglich seine überfälligen Hausaufgaben nachholen. Dann hat man nämlich schon Lücken im Fach Mathematik aufgebaut, die das Verständnis des weiteren dort behandelten Lernstoffes erschweren. Ein Beispiel gefällig: Schüler und Schülerinnen müssen beispielsweise wissen, was ein Parameter ist (was schon wirklich gut ist, ist: Wenn man auch den eher selten verwendeten Fachbegriff bzw. Fachwort Formvariable kennt 😉 ). Nur dann kann man sich ja auch etwas unter diesem Fachvokabular vorstellen – und schließlich gezielt eine Aufgabe lösen!
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet „Formvariablen“
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib die Lösungsmenge der Gleichung an. Hierbei ist x die Lösungsvariable.
a) sx – r = 0
b) m – n = 8(x + n)
c) 5y – x = 4x – y
d) sx = t + 4 für (x ≠ 0)
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. x ist hierbei die Lösungsvariable.
a) $\frac{\text{r}}{\text{sx}}$ = t
b) r – $\frac{\text{s}}{\text{x}}$ = t
c) $\frac{\mathrm{8s}}{\mathrm{3s~-~x}}$ = 1
d) $\frac{\text{s}}{\text{x}}$ – $\frac{\text{t}}{\text{x}}$ = 12
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib an, für welchen Wert der Formvariablen die Gleichung $\frac{\mathrm{x~-~s}}{\mathrm{x~+~s}}$ = $\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}$ folgende Lösungen hat.
a) L = {4}
b) L = { } bzw. L = Ø
c) L = ℚ \ {1}
d) L = {–6}
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Jede Gleichung soll nach der dort vorkommenden Variable hin aufgelöst werden. Was muss über eine mögliche Formvariable gesagt werden?
a) rx + x = t
b) rx + rs = st
c) rx + sx = t
d) r + sx = t
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet „Gleichungen mit Parametern“
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Gleichung nach der Lösungsvariablen hin auf. x ist die Lösungsvariable.
a)
sx – r = 0 | + r
sx = r | : s
x = $\frac{\text{r}}{\text{s}}$ für s ≠ 0
L = {$\frac{\text{r}}{\text{s}}$}
b)
m – n = 8(x + n)
m – n = 8x + 8n | – 8n
m – 9n = 8x | : 8
x = $\frac{\mathrm{m~-~9n}}{\mathrm{8}}$
L = {$\frac{\mathrm{m~-~9n}}{\mathrm{8}}$}
c)
5y – x = 4x – y | + x
5y = 5x – y | + y
6y = 5x | : 5
x = $\frac{\mathrm{6y}}{\mathrm{5}}$
L = {$\frac{\mathrm{6y}}{\mathrm{5}}$}
d)
sx = t + 4 für (x ≠ 0)
sx = t + 4 | : s
x = $\frac{\mathrm{t~+~4}}{\mathrm{s}}$ für s ≠ 0; t ≠ –4
L = {$\frac{\mathrm{t~+~4}}{\mathrm{s}}$}
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle für die Gleichung die Lösungsmenge. Die Lösungsvariable ist hierbei x.
a)
$\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{sx}}$ = t | · x
$\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{s}}$ = t · x | : t
x = $\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{st}}$ für s ≠ 0; t ≠ 0
L = {$\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{st}}$}
b)
r – $\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{x}}$ = t | · (–1)
r – $\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{x}}$ = –t | + r
$\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{x}}$ = r – t | · x
s = (r – t ) · x | : (r – t )
$\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{r-t}}$ = x
x = $\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{r-t}}$ für r ≠ t
L = {$\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{r-t}}$}
c)
$\frac{\mathrm{8s}}{\mathrm{3s~-~x}}$ = 1 | · (3s –x)
8s = 1 · (3s – x)
8s = 3s – x | – 3s
5s = –x | · (–1)
x = –5s für s ≠ 0
L = {–5s}
d)
$\frac{\text{s}}{\text{x}}$ – $\frac{\text{t}}{\text{x}}$ = 12 | · x
s – t = 12x | : 12
x = $\frac{\mathrm{s~-~t}}{\mathrm{12}}$ für s ≠ t
L = {$\frac{\mathrm{s~-~t}}{\mathrm{12}}$}
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme, für welchen Wert der Formvariablen die Gleichung $\frac{\mathrm{x~-~s}}{\mathrm{x~+~s}}$ = $\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}$ die angegebenen Lösungen hat.
für x ≠ –s und x ≠ 0
a)
L = {4}
$\frac{\mathrm{4~-~s}}{\mathrm{4~+~s}}$ = $\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}$ | · (4 + s)
4 – s = $\frac{\text{1}}{\text{4}}$ · (4 + s)
4 – s = 1 + $\frac{\text{1}}{\text{4}}$s | + s
4 = 1 + $\frac{\text{5}}{\text{4}}$s | – 1
3 = $\frac{\text{5}}{\text{4}}$s | : $\frac{\text{5}}{\text{4}}$
s = $\frac{\text{12}}{\text{5}}$
b)
L = { } bzw. L = Ø
Es soll keine Lösung bei der Gleichung existieren. Das passiert genau dann, wenn nach der Umformung die sich ergebende quadratische Gleichung keine Lösung ergibt.
$\frac{\mathrm{x~-~s}}{\mathrm{x~+~s}}$ = $\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}$ | · (x + s) · x
(x – s) · x = 1 · (x + s)
x² – xs = x + s
Das ist bspw. bei s = –1 der Fall.
x2 – x · (–1) = x – 1
x2 + x = x – 1 | – x
x2 = –1 | √
x = nicht defniert in ℝ
c)
L = ℚ \ {1}
Hier schaut man sich diese quadratische Gleichung genauer an:
x² – sx = x + s
Die quadratische Gleichung hat höchstens 0, 1 oder 2 Lösungen. Daher kann sie niemals unendlich viele Lösungen besitzen. Die geforderte Lösungsmenge enthält jedoch unendlich viele Zahlen, also kann kein Wert von s diese Lösungsmenge erzeugen. Das bestätigt auch bereits die Aufgabe zuvor, da hier mit s = –1 ein Wert gefunden wurde, dass die quadratische Gleichung keine Lösung liefert und nicht unendlich viele.
d)
L = {–6}
$\frac{\mathrm{-6~-~s}}{\mathrm{-6~+~s}}$ = $\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{-6}}$ | · (–6 + s)
–6 – s = –$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}$ · (–6 + s)
–6 – s = 1 – $\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}$s | + s
–6 = 1 + $\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}$s | – 1
–7 = $\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}$s | : $\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}$
s = –$\frac{\mathrm{42}}{\mathrm{5}}$
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Die Gleichung soll jeweils nach der dort vorkommenden Variablen hin aufgelöst werden. Welche Aussagen muss man über eine Formvariable machen?
a)
rx + x = t
x ist die Lösungsvariable:
rx + x = t
x · (r + 1) = t | : (r + 1)
x = $\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{r~+~1}}$
für r ≠ –1
L = {$\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{r~+~1}}$}
r ist die Lösungsvariable:
rx + x = t | – x
rx = t – x | : x
r = $\frac{\mathrm{t~-~x}}{\mathrm{x}}$
r = $\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{x}}$ – 1
für x ≠ 0
L = {$\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{x}}$ – 1}
t ist die Lösungsvariable:
rx + x = t
t = rx + x
L = {rx + x}
b)
rx + rs = st
r ist die Lösungsvariable:
rx + rs = st
r · (x + s) = st | : (x + s)
r = $\frac{\mathrm{st}}{\mathrm{x~+~s}}$
für x ≠ –s
L = {$\frac{\mathrm{st}}{\mathrm{x~+~s}}$}
s ist die Lösungsvariable:
rx + rs = st | – rs
rx = st – rs
rx = s · (t – r) | : (t – r)
s = $\frac{\mathrm{rx}}{\mathrm{t~-~r}}$
für r ≠ t
L = {$\frac{\mathrm{rx}}{\mathrm{t~-~r}}$}
t ist die Lösungsvariable:
rx + rs = st | : s
t = $\frac{\mathrm{rx~+~rs}}{\mathrm{s}}$
t = $\frac{\mathrm{rx}}{\mathrm{s}}$ + r
für s ≠ t
L = {$\frac{\mathrm{rx~+~rs}}{\mathrm{s}}$}
x ist die Lösungsvariable:
rx + rs = st | – rs
rx = st – rs | : r
x = $\frac{\mathrm{st~-~rs}}{\mathrm{r}}$
x = $\frac{\mathrm{st}}{\mathrm{r}}$ – s
für r ≠ 0
L = {$\frac{\mathrm{st}}{\mathrm{r}}$ – s}
c)
rx + sx = t
r ist die Lösungsvariable:
rx + sx = t | – sx
rx = t – sx | : x
r = $\frac{\mathrm{t~-~sx}}{\mathrm{x}}$
r = $\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{x}}$ – s
für x ≠ 0
L = {$\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{x}}$ – s}
s ist die Lösungsvariable:
rx + sx = t | – rx
sx = t – rx | : x
s = $\frac{\mathrm{t~–~rx}}{\mathrm{x}}$
s = $\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{x}}$ – r
für x ≠ 0
L = {$\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{x}}$ – r}
t ist die Lösungsvariable:
rx + sx = t
t = rx + sx
L = {rx + sx}
x ist die Lösungsvariable:
rx + sx = t
x · (r + s) = t | : (r + s)
x = $\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{r~+~s}}$
für r ≠ –s
L = {$\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{r~+~s}}$}
d)
r + sx = t
r ist die Lösungsvariable:
r + sx = t | – sx
r = t – sx
L = {t – sx}
s ist die Lösungsvariable:
r + sx = t | – r
sx = t – r | : x
s = $\frac{\mathrm{t~-~r}}{\mathrm{x}}$
für x ≠ 0
L = {$\frac{\mathrm{t~-~r}}{\mathrm{x}}$}
t ist die Lösungsvariable:
r + sx = t
t = r + sx
L = {r + sx}
x ist die Lösungsvariable:
r + sx = t | – r
sx = t – r | : s
x = $\frac{\mathrm{t~-~r}}{\mathrm{s}}$
für s ≠ 0
L = {$\frac{\mathrm{t~-~r}}{\mathrm{s}}$}
Hier gibt es die Aufgaben inkl. Lösungen als PDF zum Herunterladen: