In Mathe können Gleichungen nicht nur eine Variable vorweisen, sondern auch zwei (oder noch mehr). Solch eine Gleichung nennt man dann Gleichung mit Parameter oder Formvariable. Hierbei ist es wichtig zu wissen: Was ist die Lösungsvariable und was ist die Formvariable? Davon hängt ja entscheidend ab, nach welcher Variablen hin man die Gleichung auflösen muss (klingt logisch, oder?). Bei Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts von Vielecken oder dem Volumen von Prismen muss man mittels Äquivalenzumformungen die Gleichung immer nach der Lösungsvariablen hin umformen. Das ist dann später eine praktische Anwendung von Gleichungen mit Parametern/Formvariablen. Hier zeigt sich aber dann auch: Jede Variable kann die Lösungsvariable sein. Je nach Aufgabenstellung kann das deshalb variieren. 😉
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet „Gleichungen mit Parametern“
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung. x ist die Lösungsvariable.
a) 4x – t = 0
b) x + t = 2x – t
c) 9x – 63t = 0
d) ${\frac{\mathrm x}{5}}$ – ${\frac{\mathrm t}{6}}$ = 0
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Gleichung jeweils nach einer Variablen auf.
a) 4x + 2a = b
b) ${\frac{\mathrm x}{5}}$ + t = ${\frac{\mathrm x}{4}}$ + s
c) ${\frac{\mathrm x}{\mathrm y}}$ – 4z = 0 (y ≠ 0 und z ≠ 0)
d) a – b = b – x
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Setze in die Parametergleichung r · x + s = t für r = 3, s = 2 und t = 6 ein [r = 0; s = 5; t = 5]. ein. Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung.
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Es ist die Gleichung ${\frac{\mathrm t}{\mathrm x~-~\mathrm t}}$ = ${\frac{1}{\mathrm x}}$ gegeben (x ≠ 0; x ≠ t). Für welchen Wert der Formvariablen ergibt sich folgende Lösungsmenge?
a) {7}
b) {0,5}
c) {2}
d) ℚ
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet „Parametergleichungen/Formvariablengleichungen“
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. x ist bei der Gleichung die Lösungsvariable.
a)
4x – t = 0 | + t
4x = t | : 4
x = ${\frac{\mathrm t}{4}}$
L = {${\frac{\mathrm t}{4}}$}
Siehe hierzu auch ergänzend unter dem Reiter „Gleichungen mit Parametern“ die dort gemachten Ausführungen an.
b)
x + t = 2x – t | – x
t = x – t | + t
2t = x
L = {2t}
c)
9x – 63t = 0 | + 63t
9x = 63t | : 9
x = 7t
L = {7t}
d)
${\frac{\mathrm x}{5}}$ – ${\frac{\mathrm t}{6}}$ = 0 | + ${\frac{\mathrm t}{6}}$
${\frac{\mathrm x}{5}}$ = ${\frac{\mathrm t}{6}}$ | · 5
x = ${\frac{5\mathrm t}{6}}$
L = {${\frac{5\mathrm t}{6}}$}
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Die Gleichung soll jeweils nach einer Variablen hin aufgelöst werden.
a)
4x + 2a = b
Hier kann die Gleichung nach x, nach a und b umgeformt werden.
Nach der Variablen x hin:
4x + 2a = b | – 2a
4x = –2a + b | : 4
x = ${\frac{-2\mathrm a~+~\mathrm b}{4}}$
x = –${\frac{\mathrm a}{2}}$ + ${\frac{\mathrm b}{4}}$
Nach der Variablen a hin:
4x + 2a = b | – 4x
2a = b – 4x | : 2
a = ${\frac{\mathrm b~-~4\mathrm x}{2}}$
a = ${\frac{\mathrm b}{2}}$ – 2x
Nach der Variablen b hin:
b = 2a + 4x
b)
${\frac{\mathrm x}{5}}$ + t = ${\frac{\mathrm x}{4}}$ + s
Diese Gleichung kann nach der Variablen x, nach s und t umgeformt werden.
Nach der Variablen x:
${\frac{\mathrm x}{5}}$ + t = ${\frac{\mathrm x}{4}}$ + s | – ${\frac{\mathrm x}{5}}$
t = ${\frac{\mathrm x}{20}}$ + s | – s
–s + t = ${\frac{\mathrm x}{20}}$ | · 20
x = –20s + 20t
Nach der Variablen s:
${\frac{\mathrm x}{5}}$ + t = ${\frac{\mathrm x}{4}}$ + s | – ${\frac{\mathrm x}{4}}$
s = t – ${\frac{\mathrm x}{20}}$
Nach der Variablen t:
${\frac{\mathrm x}{5}}$ + t = ${\frac{\mathrm x}{4}}$ + s | – ${\frac{\mathrm x}{5}}$
t = s + ${\frac{\mathrm x}{20}}$
c)
${\frac{\mathrm x}{\mathrm y}}$ – 4z = 0 (y ≠ 0 und z ≠ 0)
Diese Gleichung kann man nach x, y und z auflösen.
Nach x aufgelöst:
${\frac{\mathrm x}{\mathrm y}}$ – 4z = 0 | + 4z
${\frac{\mathrm x}{\mathrm y}}$ = 4z | · y
x = 4z · y
x = 4yz
Nach y hin aufgelöst:
${\frac{\mathrm x}{\mathrm y}}$ – 4z = 0 | + 4z
${\frac{\mathrm x}{\mathrm y}}$ = 4z | · y
x = 4z · y | : 4z
y = ${\frac{\mathrm x}{4\mathrm z}}$
Nach z hin aufgelöst:
${\frac{\mathrm x}{\mathrm y}}$ – 4z = 0 | + 4z
${\frac{\mathrm x}{\mathrm y}}$ = 4z | : 4
z = ${\frac{\mathrm x}{4\mathrm y}}$
d)
a – b = b – x
Diese Gleichung kann man nach a, b und x auflösen.
Nach x aufgelöst:
a – b = b – x | – b
a – 2b = –x | · (–1)
x = –a + 2b
Nach a hin aufgelöst:
a – b = b – x | + b
a = 2b – x
Nach b hin aufgelöst:
a – b = b – x | + b
a = 2b – x | + x
a + x = 2b | : 2
b = ${\frac{\mathrm a~+~\mathrm x}{2}}$
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: In die Parametergleichung r · x + s = t soll für r = 3, s = 2 und t = 6 ein [r = 0; s = 5; t = 5]. eingesetzt werden. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
r = 3, s = 2; t = 6:
3 · x + 2 = 6 | – 2
3x = 4 | : 3
x = ${\frac{4}{3}}$
L = {${\frac{4}{3}}$}
r = 0; s = 5; t = 5:
0 · x + 5 = 5
5 = 5 | – 5
0 = 0
Die Gleichung ist immer wahr!
L = ℚ
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Für die Gleichung ${\frac{\mathrm t}{\mathrm x~-~\mathrm t}}$ = ${\frac{1}{\mathrm x}}$ (x ≠ 0; x ≠ t) soll die Formvariable ermittelt werden. Folgende Lösungsvariable ist jeweils gegeben:
a) {7}
b) {0,5}
c) {2}
d) ℚ
a) {7}
${\frac{\mathrm t}{7~-~\mathrm t}}$ = ${\frac{1}{7}}$ | · (7 – t) · 7
t · 7 = 1 · (7 – t)
7t = 7 – t | + t
8t = 7 | : 8
t = ${\frac{7}{8}}$
Für t = ${\frac{7}{8}}$ ergibt sich bei der Gleichung die Lösung L = {7}.
b) {0,5}
${\frac{\mathrm t}{0,5~-~\mathrm t}}$ = ${\frac{1}{0,5}}$ | · (0,5 – t) · 0,5
t · 0,5 = 1 · (0,5 – t)
0,5t = 0,5 – t | + 7
1,5t = 0,5 | : 1,5
t = ${\frac{1}{3}}$
Bei t = ${\frac{1}{3}}$ ist die Lösung der Gleichung L = {0,5}.
c)
{2}
${\frac{\mathrm t}{2~-~\mathrm t}}$ = ${\frac{1}{2}}$ | · (2 – t) · 2
t · 2 = 1 · (2 – t)
2t = 2 – t | + t
3t = 2 | : 3
t = ${\frac{2}{3}}$
Für t = ${\frac{2}{3}}$ ergibt sich die Lösung L = {2}.
d)
ℚ
Hier muss man sich zuerst überlegen, wann die Lösungsmenge der Gleichung ℚ ist. Die notwendige Bedingung hierfür muss sein, dass sich rechts und links der Gleichung jeweils eine Null ergibt. Nur dann ist ja die Gleichung immer wahr. Hierfür muss ein t gefunden werden, sodass das zutrifft.
${\frac{\mathrm t}{\mathrm x~-~\mathrm t}}$ = ${\frac{1}{\mathrm x}}$ (x ≠ 0; x ≠ t)
Die Gleichung kann man nun zu einem Produkt umformen:
${\frac{\mathrm t}{\mathrm x~-~\mathrm t}}$ = ${\frac{1}{\mathrm x}}$ | · (x – t) · x
t · x = 1 · (x – t)
t · x = x – t
Damit die Gleichung gleich null wird, muss, wie gesagt, die Gleichung rechts und links des Gleichheitszeichens null werden.
Das kann man dann so schreiben:
t · x = 0 und x – t = 0
Die beiden Gleichungen kann man nun nach t hin auflösen.
t · x = 0 und x – t = 0 | + t
t · x = 0 und t = x
Das Produkt auf der linken Seite der Gleichung ist gleich null, wenn einer der beiden Faktoren gleich null ist. In der Sprache der Mathematik ist das ein Oder, das heißt, dass entweder ein Faktor oder ein anderer Faktor gleich null sein kann. Auf die gesamte Gleichung bezogen ergibt sich dadurch folgende Bedingung.
t = 0 oder x = 0 und t = x
Wie man sieht, erfüllt zwar die Zahl 0 die Bedingung, aber die Zahl null gehört nicht zur Definitionsmenge der Gleichung. Außerdem gilt zudem in der Definitionsmenge x ≠ t, weswegen man überhaupt keine Bedingung zur Erfüllung der Gleichung findet! Daher ergibt sich, dass es kein t gibt, sodass die Gleichung die Lösungsmenge ℚ aufweist.
Hier gibt es die Aufgaben inkl. Lösungen als PDF zum Herunterladen: