Bei der Berechnung von Flächen (dem Flächeninhalt) bei Vielecken muss man immer auf zwei Aspekte besonders Acht geben. Der erste und wichtigste Aspekt hierbei ist: die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Vielecks korrekt anzuwenden. Konkret heißt das beispielsweise, bei einem Dreieck, einem Parallelogramm oder einem Trapez die Werte korrekt in die Gleichung einzutragen. Der zweite wichtige Aspekt hierbei ist: Bevor man die Werte in die Flächeninhalts-Formel einträgt, muss man diese eventuell ALLE auf die gleiche Einheit bringen/umrechnen. Konkret heißt das, dass alle Größen beispielsweise die Einheit cm oder m vorweisen. Eigentlich ist die Berechnung eines Flächeninhalts in Mathe nicht schwer. Dennoch bleibt es ein Mathematik-Stoffgebiet – und deshalb treten hier auch immer (vor allem bei diesen beiden genannten Aspekten) Fehler auf!
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet: „Flächeninhalt von Vielecken“
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wandle die Einheit jeweils in die nächstkleinere Einheit um.
a) 0,74 ha
b) 6,64 a
c) 32,08 km²
d) 55,87 m²
e) 6,98 ha
f) 0,04 dm²
g) 25,54 km²
h) 5,07 cm²
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ein Teppich auf dem Boden hat die Länge 1,80 m und die Breite 70 cm.
a) Wie kann man den Flächeninhalt des Teppichs berechnen?
b) Berechne den Flächeninhalt auf zwei Arten (in m² und in cm²).
c) Berechne den Umfang des Teppichs.
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ein Parallelogramm ABCD soll in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden (Einheit 1 cm, waagrecht und senkrecht). Der Flächeninhalt des Parallelogramms soll anschließend berechnet werden, ohne dass man die Längen des Parallelogramms abmisst.
A (3 | 6)
B (1 | 2)
C (5 | 2)
D (7 | 6)
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die fehlende Größe des Trapezes.
a)
Seitenlänge a: 3,6 cm
Seitenlänge c: 2,4 cm
Höhe h: 6 cm
Flächeninhalt AT: ?
b)
Seitenlänge a: 4 cm
Seitenlänge c: 10 cm
Höhe h: ?
Flächeninhalt AT: 112 cm²
c)
Seitenlänge a: 7 cm
Seitenlänge c: ?
Höhe h: 6 cm
Flächeninhalt AT: 60 cm²
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet: „Flächeninhalt bei Vielecken“
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Die Einheit soll jeweils in die nächstkleinere Einheit umgewandelt werden.
a)
0,74 ha
0,74 ha (mal 100) = 74 a
Siehe hierzu auch ergänzend unter dem Reiter „Umrechnen von Größen“ die dort gemachten Ausführungen an.
b)
6,64 a
6,64 a (mal 100) = 664 m²
c)
32,08 km²
32,08 km² (mal 100) = 3208 ha
d)
55,87 m²
55,87 m² (mal 100) = 5587 dm²
e)
6,98 ha
6,98 ha (mal 100) = 698 a
f)
0,04 dm²
0,04 dm² (mal 100) = 4 cm²
g)
25,54 km²
25,54 km² (mal 100) = 2554 ha
h) 5,07 cm²
5,07 cm² (mal 100) = 507 mm²
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Auf einem Boden liegt ein Teppich mit der Länge 1,8 m und der Breite 70 cm.
a) Auf welche Weise kann man den Flächeninhalt des Teppichs berechnen?
b) Der Flächeninhalt des Teppichs soll auf zwei Arten berechnet werden (in m² und cm²).
c) Der Umfang des Teppichs soll berechnet werden.
a) Bei dem Teppich handelt es sich um ein Rechteck. Den Flächeninhalt eines Rechtecks kann man immer wie folgt berechnen:
AR = a · b
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist Länge mal Breite.
Siehe hierzu auch unter dem Reiter „Flächeninhalt“ 3. „Flächeninhalt bei einem Rechteck“ ergänzend an.
b) Um den Flächeninhalt in m² oder in cm² berechnen zu können, muss man jeweils eine der beiden Größen umrechnen.
Der Flächeninhalt in m²:
b = 70 cm (durch 10 = 7 dm durch 10) = 0,7 m
AR = 1,8 m · 0,7 m
AR = 1,26 m²
Der Flächeninhalt in cm²:
a = 1,8 m (mal 10 = 18 dm mal 10) = 180 cm
AR = 180 cm · 70 cm
AR = 12600 cm²
c) Der Umfang des Teppichs setzt sich bei einem Rechteck immer folgendermaßen zusammen:
UR = a + a + b + b
UR = 2a + 2b
UR = 2 · 1,8 m + 2 · 0,7 m
UR = 3,6 m + 1,4 m
UR = 5 m
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Es soll ein Parallelogramm ABCD in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden (Einheit in cm, 1 cm waagrecht, 1 cm senkrecht). Anschließend soll der Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet werden, aber ohne die Strecken abzumessen.
A (3 | 6)
B (1 | 2)
C (5 | 2)
D (7 | 6)
Den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet man wie folgt:
AP = g · h
Auf das Parallelogramm im Koordinatensystem bezogen entspricht g der Strecke BC/ $\overline{\mathrm B\mathrm C}$ und h entspricht der Höhe des Parallelogramms.
Aus dem eingezeichneten Parallelogramm kann man jeweils $\overline{\mathrm B\mathrm C}$ und h berechnen.
Hierbei muss man bei $\overline{\mathrm B\mathrm C}$ die beiden x-Koordinaten der Punkte C und B voneinander abziehen:
$\overline{\mathrm B\mathrm C}$ = 5 cm – 1 cm
$\overline{\mathrm B\mathrm C}$ = 4 cm
Darüber hinaus muss man für h die y-Koordinaten von A und B oder D und C voneinander abziehen:
h = 6 cm – 2 cm
h = 4 cm
Jetzt kann man den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen:
AP = g · h
AP = 4 cm · 4 cm
AP = 16 cm²
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne jeweils die fehlende Größe bei einem Trapez.
a)
Seitenlänge a: 3,6 cm
Seitenlänge c: 2,4 cm
Höhe h: 6 cm
Flächeninhalt AT: ?
Hier ist der Flächeinhalt des Trapezes gesucht. Dieser berechnet sich wie folgt:
AT = ${\frac{1}{2}}$ · (a + c) · h
AT = ${\frac{1}{2}}$ · (3,6 cm + 2,4 cm) · 6cm
AT = 18 cm²
b)
Seitenlänge a: 4 cm
Seitenlänge c: 10 cm
Höhe h: ?
Flächeninhalt AT: 112 cm²
Hier ist die Höhe h des Trapezes gesucht. Die Formel muss man daher zunächst nach der Höhe h hin umformen.
AT = ${\frac{1}{2}}$ · (a + c) · h | · 2
AT · 2 = (a + c) · h | : (a + c)
h = ${\frac{\mathrm A_{\mathrm T}\ {\cdot}~2}{\mathrm a~+~\mathrm c}}$
h = ${\frac{112~\mathrm c\mathrm m^2\ {\cdot}~2}{4~\mathrm c\mathrm m~+~10~\mathrm c\mathrm m}}$
h = 16 cm
c)
Seitenlänge a: 7 cm
Seitenlänge c: ?
Höhe h: 6 cm
Flächeninhalt AT: 60 cm²
Hier ist die die Seitenlänge c des Trapezes gesucht. Hier muss man ebenfalls zunächst die Formel nach der Seitenlänge c hin umformen.
AT = ${\frac{1}{2}}$ · (a + c) · h | · 2
AT · 2 = (a + c) · h | : h
${\frac{\mathrm A_{\mathrm T}\ {\cdot}~2}{\mathrm h}}$ = a + c | – a
c = ${\frac{\mathrm A_{\mathrm T}\ {\cdot}~2}{\mathrm h}}$ – a
c = ${\frac{60~\mathrm c\mathrm m^2\ {\cdot}~2}{6~\mathrm c\mathrm m}}$ – 7 cm
c = 13 cm
Die Aufgaben inkl. Lösungen gibt es hier als PDF zum Herunterladen: