Bei einem Bruchterm in Mathe ist oftmals die Definitionsmenge – die Menge aller für den Bruchterm zulässigen Zahlen – eingeschränkt. Das liegt an dem Bruch, den Bruchterme vorweisen. Ist nämlich eine oder mehrere Variablen bei dem Bruchterm im Nenner befindlich, so besteht je nach eingesetzter Zahl die „Gefahr“, dass der Nenner gleich null wird. Bereits beim Bruchrechnen hat man im Fach Mathematik aber bereits gelernt: Der Nenner eines Bruchs darf niemals gleich null werden! Daher müssen bei Bruchtermen bei der Definitionsmenge alle Zahlen ausgeschlossen werden, die den Nenner des Bruchs gleich null werden lassen. Klingt logisch, oder? Die genaue Definitionsmenge ermittelt man nun, indem man den Nenner wie eine Gleichung auffasst – und die man gleich null setzt. Alle Ergebnisse, die nun die Gleichung erfüllen, müssen bei der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Klingt ebenfalls logisch, oder?
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Bruchterme
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne den Wert des Bruchterms für alle aufgelisteten Zahlen. Ermittle auch die Definitionsmenge.
a) [latexpage] ${\frac{12}{(x~-~7)}}$; die Werte für x sind 10; 9; 8; 7; 6; 5; 3,5
b) [latexpage] ${\frac{8x}{(2x~-~6)}}$; die Werte für x sind –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5,5
c) [latexpage] ${\frac{x\ {\cdot}\ (x~+~1)}{(x~-~1)}}$; die Werte für x sind 2; 1; 0; –1; –2; –3; 4; 2,5
d) [latexpage] ${\frac{a~+~6}{(a~-~8)}}$; die Werte für a sind –1; 0; 1; 2; 3; 4
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib an, für welche x der Bruchterm nicht definiert ist. Bestimme die Definitionsmenge.
a) [latexpage] ${\frac{10x~+~6}{(3x~+~15)}}$
b) [latexpage] ${\frac{4a}{12~-~3\ {\cdot}\ (a~+~2))}}$
c) [latexpage] ${\frac{18}{16~+~8\ {\cdot}\ (x~-~5))}}$
d) [latexpage] ${\frac{4a}{-a~-~(3~-~a)~+~5}}$
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Kürze den Bruchterm so weit wie möglich.
a) [latexpage] ${\frac{18xy}{99x}}$
b) [latexpage] ${\frac{26ab}{39a}}$
c) [latexpage] ${\frac{8yb}{80bx}}$
d) [latexpage] ${\frac{24pq}{30qs}}$
e) [latexpage] ${\frac{26x^2y}{78x^3}}$
f) [latexpage] ${\frac{19abc}{57a^2b}}$
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Kürze den Bruchterm. Forme den Term aber vorher durch Anwendung einer binomischen Formel um.
a) [latexpage] ${\frac{a^2~-~2ab~+~b^2}{a~-~b}}$
b) [latexpage] ${\frac{x^2~-~10x~+~25}{x~-~5}}$
c) [latexpage] ${\frac{x^2~-~y^2}{(x~+~y)^2}}$
d) [latexpage] ${\frac{4a^2~-~9b^2}{4a^2~+~12ab~+~9b^2}}$
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Bruchterme
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne den Wert des Bruchterms für die angegebenen Zahlen. Bestimme ebenso die Definitionsmenge.
a) [latexpage] ${\frac{12}{(x~-~7)}}$; die Werte für x sind 10; 9; 8; 7; 6; 5; 3,5
für x = 10: ${\frac{12}{(10~-~7)}}$ = ${\frac{12}{3}}$ = 4
für x = 9: ${\frac{12}{(9~-~7)}}$ = ${\frac{12}{2}}$ = 6
für x = 8: ${\frac{12}{(8~-~7)}}$ = ${\frac{12}{1}}$ = 12
für x = 7: ${\frac{12}{(7~-~7)}}$ = ${\frac{12}{0}}$ = nicht definiert
für x = 6: ${\frac{12}{(6~-~7)}}$ = ${\frac{12}{-1}}$ = –12
für x = 5: ${\frac{12}{(5~-~7)}}$ = ${\frac{12}{-2}}$ = –6
für x = 3,5: ${\frac{12}{(3,5~-~7)}}$ = ${\frac{12}{-3,5}}$ = –3,43 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
Zur Ermittlung der Definitionsmenge bei Bruchtermen siehe auch unter Gleichungen/Bruchterme 1.1 Die Definitionsmenge bei Bruchtermen an
Definitionsmenge:
x – 7 = 0 | + 7 <=>
x = 7
D = {x Є ℚ Ι x ≠ 7} oder D = ℚ \ {7}
b) [latexpage] ${\frac{8x}{(2x~-~6)}}$; die Werte für x sind –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5,5
für x = –1: ${\frac{8\ {\cdot}\ (-1)}{(2\ {\cdot}\ (-1)~-~6)}}$ = ${\frac{-8}{(-2~-~6)}}$ = ${\frac{-8}{-8}}$ = 1
für x = 0: ${\frac{8\ {\cdot}\ (0)}{(2\ {\cdot}\ (0)~-~6)}}$ = ${\frac{0}{(0~-~6)}}$ = ${\frac{0}{6}}$ = 0
für x = 1: ${\frac{8\ {\cdot}\ (1)}{(2\ {\cdot}\ (1)~-~6)}}$ = ${\frac{8}{(2~-~6)}}$ = ${\frac{8}{-4}}$ = –2
für x = 2: ${\frac{8\ {\cdot}\ (2)}{(2\ {\cdot}\ (2)~-~6)}}$ = ${\frac{16}{(4~-~6)}}$ = ${\frac{16}{-2}}$ = –8
für x = 3: ${\frac{8\ {\cdot}\ (3)}{(2\ {\cdot}\ (3)~-~6)}}$ = ${\frac{24}{(6~-~6)}}$ = ${\frac{24}{0}}$ = nicht definiert
für x = 4: ${\frac{8\ {\cdot}\ (4)}{(2\ {\cdot}\ (4)~-~6)}}$ = ${\frac{32}{(8~-~6)}}$ = ${\frac{32}{2}}$ = 16
für x = 5,5: ${\frac{8\ {\cdot}\ (5,5)}{(2\ {\cdot}\ (5,5)~-~6)}}$ = ${\frac{44}{(11~-~6)}}$ = ${\frac{44}{5}}$ = 8,8
Definitionsmenge:
2x – 6 = 0 | + 6 <=>
2x = 6 | : 2 <=>
x = 3
D = {x Є ℚ Ι x ≠ 3} oder D = ℚ \ {3}
c) [latexpage] ${\frac{x\ {\cdot}\ (x~+~1)}{(x~-~1)}}$; die Werte für x sind 2; 1; 0; –1; –2; –3; 4; 2,5
für x = 2: ${\frac{2\ {\cdot}\ (2~+~1)}{(2~-~1)}}$ = ${\frac{2\ {\cdot}\ (3)}{1}}$ = ${\frac{6}{1}}$ = 6
für x = 1: ${\frac{1\ {\cdot}\ (1~+~1)}{(1~-~1)}}$ = ${\frac{1\ {\cdot}\ (2)}{0}}$ = ${\frac{2}{0}}$ = nicht definiert
für x = 0: ${\frac{0\ {\cdot}\ (0~+~1)}{(0~-~1)}}$ = ${\frac{0\ {\cdot}\ (1)}{-1}}$ = ${\frac{0}{-1}}$ = 0
für x = –1: ${\frac{-1\ {\cdot}\ (-1~+~1)}{(-1~-~1)}}$ = ${\frac{-1\ {\cdot}\ (0)}{-2}}$ = ${\frac{0}{-2}}$ = 0
für x = –2: ${\frac{-2\ {\cdot}\ (-2~+~1)}{(-2~-~1)}}$ = ${\frac{-2\ {\cdot}\ (-1)}{-3}}$ = ${\frac{2}{-3}}$ = –${\frac{2}{3}}$
für x = –3: ${\frac{-3\ {\cdot}\ (-3~+~1)}{(-3~-~1)}}$ = ${\frac{-3\ {\cdot}\ (-2)}{-4}}$ = ${\frac{6}{-4}}$ = –1,5
für x = 4: ${\frac{4\ {\cdot}\ (4~+~1)}{(4~-~1)}}$ = ${\frac{4\ {\cdot}\ (5)}{3}}$ = ${\frac{20}{3}}$ = 6${\frac{2}{3}}$
für x = 2,5: ${\frac{2,5\ {\cdot}\ (2,5~+~1)}{(2,5~-~1)}}$ = ${\frac{2,5\ {\cdot}\ (3,5)}{1,5}}$ = ${\frac{8,75}{1,5}}$ = 5,83 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
Definitionsmenge:
x – 1 = 0 | + 1 <=>
x = 1
D = {x Є ℚ Ι x ≠ 1} oder D = ℚ \ {1}
d) [latexpage] ${\frac{a~+~6}{(a~-~8)}}$; die Werte für a sind –1; 0; 1; 2; 3; 4
a = –1: ${\frac{-1~+~6}{(-1~-~8)}}$ = ${\frac{5}{-9}}$ = –${\frac{5}{9}}$
a = 0: ${\frac{0~+~6}{(0~-~8)}}$ = ${\frac{6}{-8}}$ = –${\frac{3}{4}}$
a = 1: ${\frac{1~+~6}{(1~-~8)}}$ = ${\frac{7}{-7}}$ = –${\frac{7}{7}}$ = –1
a = 2: ${\frac{2~+~6}{(2~-~8)}}$ = ${\frac{8}{-6}}$ = –${\frac{8}{6}}$ = –${\frac{4}{3}}$ = –1${\frac{1}{3}}$
a = 3: ${\frac{3~+~6}{(3~-~8)}}$ = ${\frac{9}{-5}}$ = –${\frac{9}{5}}$ = –1${\frac{4}{5}}$
a = 4: ${\frac{4~+~6}{(4~-~8)}}$ = ${\frac{10}{-4}}$ = –${\frac{10}{4}}$ = –2${\frac{2}{4}}$
Definitionsmenge:
a – 8 = 0 | + 8 <=>
a = 8
D = {a Є ℚ Ι a ≠ 8} oder D = ℚ \ {8}
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: An welcher Stelle ist der Bruchterm nicht definiert? Gib die Definitionsmenge an.
a) [latexpage] ${\frac{10x~+~6}{(3x~+~15)}}$
3x + 15 = 0 | – 15 <=>
3x = –15 | : 3 <=>
x = –5
D = {x Є ℚ Ι x ≠ –5} oder D = ℚ \ {–5}
b) [latexpage] ${\frac{4a}{12~-~3\ {\cdot}\ (a~+~2))}}$
12 – 3 · (a +2) = 0 <=>
12 – 3a – 6 = 0 <=>
6 – 3a = | + 3a <=>
6 = 3a | : 3 <=>
2 = a
D = {a Є ℚ Ι a ≠ 2} oder D = ℚ \ {2}
c) [latexpage] ${\frac{18}{16~+~8\ {\cdot}\ (x~-~5))}}$
16 + 8 · (x – 5) = 0 <=>
16 + 8x – 40 = 0 <=>
–24 + 8x = 0 | + 24 <=>
8x = 24 | + 8 <=>
x = 3
D = {x Є ℚ Ι x ≠ 3} oder D = ℚ \ {3}
d) [latexpage] ${\frac{4a}{-a~-~(3~-~a)~+~5}}$
–a – (3 – a) + 5 = 0 <=>
–a – 3 + a + 5 = 0 <=>
2 = 0
Es gibt hier kein a, bei dem der Bruchterm nicht definiert ist. Demzufolge gibt es keine Einschränkung in der Lösungsmenge.
D = ℚ
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Kürze den Bruchterm. Es soll die einfachste Form hierbei entstehen.
Zum Kürzen von Bruchtermen siehe auch unter Gleichungen/Bruchterme 2. Das Kürzen von Bruchtermen an.
a) [latexpage] ${\frac{18xy}{99x}}$ (für x ≠ 0)
Hier kann man das x und die die Zahl 9 ausklammern.
[latexpage] ${\frac{9x\ {\cdot}\ (2y)}{9x \ {\cdot}\ (11)}}$
Daher ist bei dem Bruchterm der Kürzungsfaktor „9x“
[latexpage] ${\frac{2y}{11}}$
b) [latexpage] ${\frac{26ab}{39a}}$ (für a ≠ 0)
Hier kann man das a und die Zahl 13 ausklammern.
[latexpage] ${\frac{13a\ {\cdot}\ (2b)}{13a \ {\cdot}\ (3)}}$
Der Kürzungsfaktor ist daher hier „13a“.
[latexpage] ${\frac{2b}{3}}$
c) [latexpage] ${\frac{8yb}{80bx}}$ (für b ≠ 0; x ≠ 0)
Hier kann man das b und die Zahl 8 ausklammern.
[latexpage] ${\frac{8b\ {\cdot}\ (y)}{8b \ {\cdot}\ (10x)}}$
Der Kürzungsfaktor ist hier „8b“.
[latexpage] ${\frac{y}{10x}}$
d) [latexpage] ${\frac{24pq}{30qs}}$ (für q ≠ 0; s ≠ 0)
Hier kann man das q und die Zahl 6 ausklammern.
[latexpage] ${\frac{6q\ {\cdot}\ (4p)}{6q \ {\cdot}\ (5s)}}$
Die Kürzungsfaktor ist hier „6q“.
[latexpage] ${\frac{4p}{5s}}$
e) [latexpage] ${\frac{26x^2y}{78x^3}}$ (für x ≠ 0)
Hier kann man ein x² und die Zahl 13 ausklammern.
[latexpage] ${\frac{13x^2\ {\cdot}\ (2y)}{13x^2 \ {\cdot}\ (6x)}}$
Der Kürzungsfaktor ist daher hier „13x²„.
[latexpage] ${\frac{2y}{6x}}$
f) [latexpage] ${\frac{19abc}{57a^2b}}$ (für a ≠ 0; b ≠ 0)
Hier kann man ein ab und die Zahl 19 ausklammern.
[latexpage] ${\frac{19ab\ {\cdot}\ (c)}{19ab \ {\cdot}\ (3a)}}$
Der Kürzungsfaktor ist hier „19ab“.
[latexpage] ${\frac{c}{3a}}$
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Forme den Bruchterm mittels Anwendung einer binomischen Formel um. Kürze diesen dann.
Zum Umformen von binomischen Formeln siehe auch unter Gleichungen das Unterstoffgebiet Binomische Formeln an.
a) [latexpage] ${\frac{a^2~-~2ab~+~b^2}{a~-~b}}$ (für a ≠ b)
Hier liegt die 2. binomische Formel im Nenner des Bruchterms vor.
[latexpage] ${\frac{(a~-~b)^2}{a~-~b}}$
[latexpage] ${\frac{(a~-~b)\ {\cdot}\ (a~-~b)}{a~-~b}}$
a – b
b) [latexpage] ${\frac{x^2~-~10x~+~25}{x~-~5}}$ (für x ≠ 5)
Im Zähler liegt hier wiederum die 2. binomische Formel vor.
[latexpage] ${\frac{(x~-~5)^2}{x~-~5}}$
[latexpage] ${\frac{(x~-~5)\ {\cdot}\ (x~-~5)}{x~-~5}}$
x – 5
c) [latexpage] ${\frac{x^2~-~y^2}{(x~+~y)^2}}$ (für x ≠ –y oder y ≠ –x)
Im Zähler liegt die 3. Binomische Formel vor, im Nenner die 1. Binomische Formel.
[latexpage] ${\frac{(x~+~y)\ {\cdot}\ (x~-~y)}{(x~+~y)^2}}$
[latexpage] ${\frac{(x~+~y)\ {\cdot}\ (x~-~y)}{(x~+~y)\ {\cdot}\ (x~+~y)}}$
[latexpage] ${\frac{x~-~y}{x~+~y}}$
d) [latexpage] ${\frac{4a^2~-~9b^2}{4a^2~+~12ab~+~9b^2}}$ (für a ≠ –1,5b oder b ≠ ${\frac{2}{3}}$a)
Im Zähler liegt die 3. Binomische Formel vor, im Nenner die 1. Binomische Formel.
[latexpage] ${\frac{(2a~+~3b)\ {\cdot}\ (2a~-~3b)}{(2a~+~3b)^2}}$
[latexpage] ${\frac{(2a~+~3b)\ {\cdot}\ (2a~-~3b)}{(2a~+~3b)\ {\cdot}\ (2a~+~3b)}}$
[latexpage] ${\frac{2a~-~3b}{2a~+~3b}}$