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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen, Teil 2

Mitternacht © Simone Hainz / PIXELIO

Wenn ehemalige Schülerinnen und Schüler zu einer ganz bestimmten späteren Uhrzeit an Mathematik denken müssen – dann hat dies meist einen bestimmten Grund: Sie erinnern sich der großen Wichtigkeit einer Formel aus ihrem damaligen Mathe-Unterricht – und zwar an die sogenannte Mitternachtsformel. Jeder, der früher Abitur gemacht hat, musste sich nämlich von seinem Mathe-Lehrer immer wieder gebetsmühlenartig anhören: „Diese Formel ist so wichtig, dass ihr sie sogar zu Mitternacht (und natürlich auch noch zu späterer Stunde 😉 ) auswendig vorsagen können müsst (und das, egal, wie euer geistiges und körperliches Befinden zu dieser Uhrzeit gerade ist 😉 )!“ Die Ergänzungen in der Klammer sind natürlich von mir spaßeshalber hinzugefügt worden, die Aussage des Lehrers entspricht jedoch einer wortwörtlichen Wiedergabe aus dem Mathe-Unterricht der Jahrzehnte vor dem 21. Jahrhundert. Denn noch vor der Schulreform und der damit einhergehenden Reform des Mathematik-Unterrichts hatte die Mitternachtsformel, mit der man die Lösungsmenge jeder quadratischen Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 (a, b, x ∈ und a ≠ 0) bestimmen kann, einen extrem hohen Stellenwert. Inzwischen sieht das jedoch fundamental anders aus!

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen, Teil 1

Nachdenklich den Mathe-Unterricht verfolgend © Xenia Kehnen / PIXELIO

Hat man gedacht: „Zum Glück habe ich das Mathe-Stoffgebiet lineare Gleichungen (und Funktionen) endlich hinter mir“, so muss man beim nächsten darauf aufbauenden sicherlich ordentlich schlucken – quadratische Gleichungen (und Funktionen). Denn der Schwierigkeitsgrad bei diesem Stoffgebiet ist auch um einiges höher im Vergleich zu linearen Gleichungen und Funktionen. Das liegt an der höheren Potenz, dem „hoch 2“, das eine Variable bei einer quadratischen Gleichung (und Funktion) immer vorweist. Jetzt könnte aber ein mitdenkender Schüler entgegenhalten: „Da ja gegenüber linearen Gleichungen (und Funktionen) die Potenz nur um eins zunimmt, kann doch an sich der Schwierigkeitsgrad nicht enorm viel höher sein!“ Hier ist zu entgegnen: „Das stimmt auch an sich, dass diese Gleichungen (und Funktionen) für einen in Mathe nicht auf den Kopf gefallenen Schüler kein allzu großes Problem darstellen, da die Verkomplizierung zu linearen Gleichungen (und Funktionen) sich auch in Grenzen hält.“

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungen, Teil 1

Heute Nachhilfe! © flown / PIXELIO

Hat man verstanden, wie man lineare Gleichungen korrekt löst, dann wird man auch mit ziemlicher Sicherheit schwierigere Gleichungen in Mathe „knacken“ können. Das Entscheidende beim schrittweisen Lösen von Gleichungen beherrscht man dann nämlich schon – die sogenannten Äquivalenzumformungen. Das sind bei einer Gleichung Umformungen, bei denen sich die Lösungsmenge der Ursprungsgleichung/Ausgangsgleichung nicht ändert. Löst man derart eine lineare Gleichung auf, so weiß man dann auch, das eindeutige Ergebnis zu „interpretieren“, sprich, welche Art von Lösung genau vorliegt. Und das wird einem ebenso bei allen weiteren Gleichungen äußerst hilfreich sein! Schließlich muss man in höheren Klassenstufen oftmals verschiedene Gleichungen gleichsetzen – was ein notwendiges Bestimmungsmerkmal von Schnittpunkten bei unterschiedlichen Funktionen ist! Daher wird man sich in Mathe bis zum Abitur mit Gleichungen „herumschlagen“ müssen, da sich speziell in der Oberstufe bei der Analysis alles um Funktionen dreht.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen, Teil 3

Die richtige Lösung garantiert ein Smiley © Thomas Siepmann / PIXELIO

„Die Probe aufs Exempel machen“, diese Redensart/dieses Sprichwort passt auch bestens zu Gleichungen. Bei jeder Gleichung kann man nämlich mittels des über Äquivalenzumformungen ausfindig gemachten Ergebnisses überprüfen – ob dieses auch wirklich das richtige ist! Hierzu muss man nur einfach stets „die Probe aufs Exempel machen“. Aber wie geht das nun genau bei jeder einzelnen Gleichung? Ganz einfach. Indem man jede ermittelte Lösung in die Ursprungsgleichung einsetzt. Die Ursprungsgleichung ist hierbei immer die Gleichung, an der noch keine Äquivalenzumformungen vorgenommen wurden. „Für mich ist das nicht ganz logisch, da doch eine Lösung eine Lösung ist – und deshalb eigentlich nicht falsch sein kann“, könnte hier jetzt ein „mitdenkender“ Schüler entgegenhalten. Der Mathematik-Lehrer kann zwar den Einwand seines Schülers nachvollziehen, aber trotzdem nichts gegen die Mathe-Tatsache machen, dass nicht jede ermittelte Lösung einer Gleichung auch eine wirkliche Lösung einer Gleichung ist – was demzufolge ebenso der Schüler „schlucken“ muss.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen, Teil 2

Eine Balkenwaage als Symbol für eine Gleichung © Helmut J. Salzer / PIXELIO

Im Fach Mathematik müssen zum Lösen von Gleichungen fast immer Äquivalenzumformungen angewendet werden. Das sind Umformungen, wobei sich die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung nicht ändert. Bei allen Grundrechenarten, „+“, „–“, „·“ und „:“, ist das auf jeden Fall gegeben, wenn hierbei immer nur gleiche Variablen und „nackte“ Zahlen zusammengefasst werden oder die „nackte“ Zahl von der Variable entfernt wird.

Entscheidend bei Äquivalenzumformungen ist nun vor allem, dass jede Äquivalenzumformung einen Schritt näher zur Lösung der Gleichung führen soll. Schließlich tickt in Mathe bei jeder Klassenarbeit und später auch ganz besonders im Abitur stets die Uhr, so dass man eigentlich immer ein Zeitproblem hat, wenn man nicht schnellstmöglich zielgerichtet Aufgaben löst.