Es gibt für Schülerinnen und Schüler in Mathematik nichts Schlimmeres, als während einer Unterrichtsstunde in Anführungszeichen nur Bahnhof zu verstehen. Ist das bei den anderen Anwesenden in der Klasse gar nicht der Fall, so ist das für einen selbst supersuperunangenehm. Man erachtet sich nämlich sogleich als zu blöd. Für eine sensible Kinderpsyche ist das alles andere als gut. Daher sollte man unbedingt in Mathe aufpassen, dass dieses absolute Negativ-Phänomen möglichst eine Ausnahme bleibt. Ansonsten kann es wirklich schnell der Fall sein, dass man dauerhaft den Anschluss verliert – und im Mathematik-Unterricht nur noch Bahnhof versteht. Bruchterme stellen hierbei häufig ein Stoffgebiet dar, das einem oftmals anfangs Schwierigkeiten bereitet, besonders wenn man sich in der Grundschule beim Bruchrechnen schon schwer getan hat. Der „Bahnhof“ verflüchtigt sich auch hier, je mehr Aufgaben man zu diesem Stoffgebiet gelöst hat!
Aufgaben zum Stoffgebiet Mathe-Stoffgebiet „Bruchterme“
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle für die angegebenen Einsetzungen, falls möglich, den Wert des Bruchterms. Für welches x oder y ist der Term nicht definiert?
a) ${\frac{\mathrm x~+~\mathrm y}{\mathrm x^2~-~2\mathrm x\mathrm y~+~\mathrm y^2}}$ x = 3; y = 3 und x = 3; y = –3
b) ${\frac{\mathrm x^2~+~\mathrm y^2}{\mathrm x^2~-~\mathrm y^2}}$ x = 3; y = –1 und x = –2; y = 2,5
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Schreibe korrekt in der Sprache der Mathematik, welche Zahlen nicht zur Menge der rationalen Zahlen dazugehören.
a) die Zahlen 3 und 7
b) die Zahlen –2, 0, 3
c) die Menge aller natürlichen Zahlen
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Kürze den Bruchterm so weit wie möglich.
a) ${\frac{57\mathrm a\mathrm b^2\mathrm c}{76\mathrm a^2\mathrm b\mathrm c}}$
b) ${\frac{38\mathrm x^2\mathrm y^2\mathrm z^2}{95\mathrm x\mathrm y\mathrm z}}$
c) ${\frac{\mathrm x(\mathrm y~-~\mathrm z)}{\mathrm y~-~\mathrm z}}$
d) ${\frac{6\mathrm x^2\mathrm y\mathrm z}{90\mathrm x\mathrm y\mathrm z}}$
e) ${\frac{75\mathrm a^2\mathrm b\mathrm z}{45\mathrm a\mathrm b\mathrm c}}$
f) ${\frac{\mathrm a\mathrm b^2(\mathrm a~-~\mathrm b)}{\mathrm a\mathrm b^2(\mathrm a~+~\mathrm b)}}$
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Potenz mittels einer Multiplikation auf.
a) $({\frac{\mathrm a}{2})^2}$
b) $({\frac{\mathrm x}{-\mathrm y})^2}$
c) $({\frac{-2\mathrm a}{\mathrm b})^2}$
d) $({\frac{\mathrm x~+~\mathrm y}{\mathrm x~-~\mathrm y})^2}$
e) $({\frac{4\mathrm u\mathrm v}{7\mathrm a})^2}$
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet „Bruchterme“
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme für die angegebenen Einsetzungen, wenn möglich, den Bruchterm-Wert. Gib ebenso an, für welches x und y der Bruchterm nicht definiert ist.
a)
${\frac{\mathrm x~+~\mathrm y}{\mathrm x^2~-~2\mathrm x\mathrm y~+~\mathrm y^2}}$ x = 3; y = 3 und x = 3; y = –3
Für x = 3; y = 3 gilt: ${\frac{3~+~3}{3^2~-~2\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}\ 3~+~3^2}}$ = ${\frac{6}{9~-~18~+~9}}$ = ${\frac{6}{18~-~18}}$
Da hier der Nenner null wird, ist der Bruchterm hier nicht definiert in ℚ. Daher liefert der Term für die Einsetzungen x = 3 und y = 3 keinen Wert.
Für x = 3; y = –3 gilt: ${\frac{3~+~(-3)}{3^2~-~2\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}\ (-3)~+~(-3)^2}}$ = ${\frac{0}{9~+~18~+~9}}$ = ${\frac{0}{36}}$ = 0
Bei x = 3 und y = –3 ist der Wert des Bruchterms 0.
Um die Definitionsmenge eines Bruchterms zu ermitteln, muss man seinen Nenner gleich null setzen.
Zur Bestimmung der Definitionsmenge eines Bruchterms siehe auch unter dem Reiter „Bruchterme“ 1.1 „Die Definitionsmenge bei Bruchtermen“ an.
x² – 2xy + y² = 0
Diesen Term kann man nur auflösen, wenn man hier erkennt, dass eine binomische Formel vorliegt. Binomische Formeln können ja in der aufgelösten und unaufgelösten Form auftreten. Hier liegt die 2. Binomische Formel in der aufgelösten Form vor.
(x – y)² = 0 | √
x – y = 0 | + y
x = y
D = {(x, y) Є ℚ2 | x ≠ y}
b)
${\frac{\mathrm x^2~+~\mathrm y^2}{\mathrm x^2~-~\mathrm y^2}}$ x = 3; y = –1 und x = –2; y = 2,5
Für x = 3; y = –1 gilt: ${\frac{(3)^2~+~(-1)^2}{(3)^2~-~(-1)^2}}$ = ${\frac{9~+~1}{9~-~1}}$ = ${\frac{10}{8}}$ = 1,25
Bei x = 3 und y = –1 hat der Bruchterm den Wert 1,25.
Für x = –2; y = 2,5 gilt: ${\frac{(-2)^2~+~(2,5)^2}{(-2)^2~-~(2,5)^2}}$ = ${\frac{4~+~6,25}{4~-~6,25}}$ = ${\frac{10,25}{-2,25}}$ ≈ –4,56 (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
Bei x = –2 und y = 2,5 hat der Bruchterm den Wert –4,56.
Definitionsmenge:
x² – y² = 0 | + y²
x² = y² | √
x = ± y
x = y
x = –y
Das reicht aus, um die Definitionsmenge eindeutig zu bestimmen.
D = {(x, y) Є ℚ2 | x ≠ y; x ≠ –y}
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib in der Mathematik-Sprache richtig wieder, welche Zahlen nicht zur Menge der rationalen Zahlen dazugehören.
a)
die Zahlen 3 und 7
ℚ \ {3; 7}
b)
die Zahlen –2, 0, 3
ℚ \ {–2; 0; 3}
c)
die Menge aller natürlichen Zahlen
ℚ \ ℕ
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Gib den Bruchterm in der einfachsten Form wieder, indem dieser so weit wie möglich gekürzt wird.
a)
${\frac{57\mathrm a\mathrm b^2\mathrm c}{76\mathrm a^2\mathrm b\mathrm c}}$ (für a, b, c ≠ 0)
Beim Kürzen müssen Zahlen im Zähler und Nenner den gleichen Faktor vorweisen und Buchstaben jeweils gleich sein. Hier kann man den Bruch durch den Faktor 19 kürzen sowie ein a, ein b und ein c herauskürzen.
${\frac{57\mathrm a\mathrm b^2\mathrm c}{76\mathrm a^2\mathrm b\mathrm c}}$ = ${\frac{3\mathrm b}{4\mathrm a}}$
Zum Kürzen von Bruchtermen siehe auch unter dem Reiter „Bruchterme“ 2. „Das Kürzen von Bruchtermen“ an.
b)
${\frac{38\mathrm x^2\mathrm y^2\mathrm z^2}{95\mathrm x\mathrm y\mathrm z}}$ (für x, y, z ≠ 0)
Diesen Bruchterm kann man mit dem Faktor 19 kürzen sowie die Buchstaben x, y und z.
${\frac{38\mathrm x^2\mathrm y^2\mathrm z^2}{95\mathrm x\mathrm y\mathrm z}}$ = ${\frac{2}{5}}$xyz
c)
${\frac{\mathrm x(\mathrm y~-~\mathrm z)}{\mathrm y~-~\mathrm z}}$ (für y ≠ z)
Hier kann man das „y – z“ herauskürzen.
${\frac{\mathrm x(\mathrm y~-~\mathrm z)}{\mathrm y~-~\mathrm z}}$ = x
d)
${\frac{6\mathrm x^2\mathrm y\mathrm z}{90\mathrm x\mathrm y\mathrm z}}$ (für x, y, z ≠ 0)
Hier kann man den Bruchterm mit dem Faktor 6 kürzen sowie die Buchstaben x, y und z.
${\frac{6\mathrm x^2\mathrm y\mathrm z}{90\mathrm x\mathrm y\mathrm z}}$ = ${\frac{1}{15}}$x
e)
${\frac{75\mathrm a^2\mathrm b\mathrm z}{45\mathrm a\mathrm b\mathrm c}}$ (für a, b, c ≠ 0)
Diesen Bruchterm kann man mit dem Faktor 15 kürzen sowie die Buchstaben a und b.
${\frac{75\mathrm a^2\mathrm b\mathrm z}{45\mathrm a\mathrm b\mathrm c}}$ = ${\frac{5\mathrm a\mathrm z}{3\mathrm c}}$
f)
${\frac{\mathrm a\mathrm b^2(\mathrm a~-~\mathrm b)}{\mathrm a\mathrm b^2(\mathrm a~+~\mathrm b)}}$ (für a, b ≠ 0; a ≠ –b)
Hier kann man das „ab²“ herauskürzen.
${\frac{\mathrm a\mathrm b^2(\mathrm a~-~\mathrm b)}{\mathrm a\mathrm b^2(\mathrm a~+~\mathrm b)}}$ = ${\frac{\mathrm a~-~\mathrm b}{\mathrm a~+~\mathrm b}}$
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wende zum Auflösen der Potenz eine Multiplikation an.
a)
$({\frac{\mathrm a}{2})^2}$ = ${\frac{\mathrm a}{2}}$ · ${\frac{\mathrm a}{2}}$ = ${\frac{\mathrm a^2}{4}}$
Zur Multiplikation von Bruchtermen siehe auch unter dem Reiter „Bruchterme“ 4. „Das Multiplizieren von Bruchtermen“ an.
b)
$({\frac{\mathrm x}{-\mathrm y})^2}$ (für y ≠ 0)
$({\frac{\mathrm x}{-\mathrm y})^2}$ = ${\frac{\mathrm x}{(-\mathrm y)}}$ · ${\frac{\mathrm x}{(-\mathrm y)}}$ = ${\frac{\mathrm x^2}{\mathrm y^2}}$
c)
$({\frac{-2\mathrm a}{\mathrm b})^2}$ (für b ≠ 0)
$({\frac{-2\mathrm a}{\mathrm b})^2}$ = ${\frac{(-2\mathrm a)}{\mathrm b}}$ · ${\frac{(-2\mathrm a)}{\mathrm b}}$ = ${\frac{4\mathrm a^2}{\mathrm b^2}}$
d)
$({\frac{\mathrm x~+~\mathrm y}{\mathrm x~-~\mathrm y})^2}$ (für x ≠ y)
Hier liegt im Zähler die 1. Binomische Formel vor und im Nenner die 2. Binomische Formel.
$({\frac{\mathrm x~+~\mathrm y}{\mathrm x~-~\mathrm y})^2}$ = ${\frac{(\mathrm x~+~\mathrm y)}{(\mathrm x~-~\mathrm y)}}$ · ${\frac{(\mathrm x~+~\mathrm y)}{(\mathrm x~-~\mathrm y)}}$ = ${\frac{\mathrm x^2~+~2\mathrm x\mathrm y~+~\mathrm y^2}{\mathrm x^2~-~2\mathrm x\mathrm y~+~\mathrm y^2}}$
e)
$({\frac{4\mathrm u\mathrm v}{7\mathrm a})^2}$ (für a ≠ 0)
$({\frac{4\mathrm u\mathrm v}{7\mathrm a})^2}$ = ${\frac{4\mathrm u\mathrm v}{7\mathrm a}}$ · ${\frac{4\mathrm u\mathrm v}{7\mathrm a}}$ = ${\frac{16\mathrm u^2\mathrm v^2}{49\mathrm a^2}}$
Die Aufgaben inkl. Lösungen gibt es hier als PDF zum Herunterladen: