1. Allgemeines zum Dreisatz und proportionalen Zuordnungen
Eine Gesetzmäßigkeit aus der Schulzeit vom Mathe-Unterricht vergessen viele Schulabgänger ihr Leben lang nicht mehr – den Dreisatz. Das hat einen einfachen Grund: Im Alltag treten des Öfteren Situationen auf (wie beispielsweise die Berechnung von Jahreszinsen oder ein Rabatt auf ein Kleidungsstück), in denen der Dreisatz zum Zuge kommen kann, um schnellstmöglich rechnerisch zur gewünschten Problemlösung zu gelangen.
Bei einem Dreisatz liegt immer eine proportionale Zuordnung vor. Anhand eines Beispiels soll dieses Begriffspaar „proportionale Zuordnung“ erläutert werden.
Beispiele für eine proportionale Zuordnung
a) In einem Geschäft für Süßigkeiten kann man selbst die gewünschte Menge an Süßigkeiten für sich bestimmen. Hierbei kosten 100 g 1,5 €. Alle anderen Gewichtsmengen/Preise verhalten sich proportional zu dieser Zuordnung. Anhand dieser Zuordnung kann man nun berechnen, was 200 g, 50 g, 300 g und 60 g an Süßigkeiten jeweils kosten. Hierfür schreibt man zunächst die Anfangszuordnung hin. Darauf nimmt man beide Größen mit 2-mal, um die Kosten für 200 g zu berechnen. Anschließend teilt man beide Größen durch 4, um zu berechnen, was 50 g an Süßigkeiten ausmachen. Daraufhin multipliziert man beide Größen mit 6. Dadurch kann man ermitteln, was 300 g an Süßigkeiten kosten. Danach teilt man beide Größen durch 5, um zu berechnen, was 60 g an Süßigkeiten kosten.
100 g – 1,5 € | · 2
200 g – 3 € | : 4
50 g – 0,75 € | · 6
300 g – 4,5 € | : 5
60 g – 0,90 €
Aufgrund der Berechnung weiß man nun, dass 200 g Süßigkeiten 3 €, 50 g Süßigkeiten 0,75 €, 300 g Süßigkeiten 4,5 € und 60 g Süßigkeiten 0,90 € kosten.
b) Aus Äpfeln kann man alkoholhaltigen Most herstellen. Hat man 50 kg Äpfel, so kann man 15 Flaschen Most hieraus erzeugen.
Bestimme die Menge an Flaschen Most, die man aus 40 kg Äpfeln, 30 kg, 70 kg, 80 kg sowie 15 kg Äpfeln erzeugen kann.
50 kg – 15 Fl. | : 10
5 kg – 1,5 Fl. | · 8
40 kg – 12 Fl.
5 kg – 1,5 Fl. | · 6
30 kg – ´ 9 Fl.
5 kg – 1,5 Fl. | · 14
70 kg – 21 Fl.
5 kg – 1,5 Fl. | · 16
80 kg – 24 Fl.
5 kg – 1,5 Fl. | · 3
15 kg – 4,5 Fl.
Um schnellstmöglich alle gesuchten Größen zu bestimmen, ist es oftmals sinnvoll, die Anfangszuordnung mittels Dreisatz auf eine Zuordnung hin zu verändern, von der man alle weiteren gesuchten Größen problemlos berechnen kann.
Bestimmung einer proportionalen Zuordnung:
Eine Zuordnung ist immer dann proportional, wenn sie zweierlei Regeln erfüllt:
- Wird eine Ausgangsgröße verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, …) so verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, …) sich auch stets die zugeordnete Größe.
- Wird eine Ausgangsgröße halbiert (gedrittelt, geviertelt, …) so halbiert sich (drittelt, viertelt, …) auch immer die zugeordnete Größe.