Bei Bruchgleichungen gibt es normalerweise immer eine Lösung (in Form einer Zahl). Die Betonung liegt auf „normalerweise“. Es gibt hier nämlich auch Ausnahmen – wie so oft in Mathe. Eine Ausnahme ist hierbei, wenn die Lösung der Bruchgleichung gleich der Zahl ist, die bei der Definitionsmenge ausgeschlossen worden ist. Dann ist die Lösungsmenge eine leere Menge. Eine weitere Ausnahme stellt dar, wenn alle Variablen sich eliminieren und die sich ergebende Gleichung wahr ist. Dann ist die Lösungsmenge die Menge aller rationalen (ab einer höheren Klassenstufe reellen) Zahlen – ohne die Zahl(en), die bei der Definitionsmenge ausgeschlossen worden sind. Bruchgleichungen sind also – trotz Ausnahmen (bzw. gerade trotz Ausnahmen) – weiterhin logisch. Das muss auch so sein – sie gehören ja auch zur Mathematik.
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet „Bruchgleichungen“
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der Bruchgleichung.
a) ${\frac{12}{7~-~2\mathrm x}}$ = 12
b) ${\frac{1}{1~-~2\mathrm x}}$ = 1
c) ${\frac{-12}{2~+~6\mathrm x}}$ = 6
d) ${\frac{4\mathrm x~-~4}{\mathrm x~-~1}}$ = 3
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle bei den Bruchgleichungen die Lösungsmenge.
a) ${\frac{2}{\mathrm x^2~+~1}}$ = ${\frac{4}{2\mathrm x^2~+~\mathrm x}}$
b) ${\frac{3}{\mathrm x~-~2}}$ = ${\frac{12}{2\mathrm x~+~7}}$
c) ${\frac{1}{1~-~\mathrm x}}$ = ${\frac{-1}{3~-~\mathrm x}}$
d) ${\frac{\mathrm x~+~1}{\mathrm x~+~3}}$ = ${\frac{\mathrm x~-~3}{\mathrm x~+~1}}$
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ein Schiff mit Getreide wird mittels zweier Fördergebläse entladen. Die zwei Fördergebläse benötigen hierfür 3 Stunden. Eines der Fördergebläse ist doppelt so schnell wie das andere. Wie viel an Zeit (in Stunden) benötigt jeweils ein Fördergebläse für sich alleine? (Anmerkung: Zur Lösung der Aufgabe ist die physikalische Formel der Arbeit (W) heranzuziehen. Diese ist W = P · t. Die Leistung (P) mal der Zeit (t) entspricht der verrichteten Arbeit.)
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der Bruchgleichung.
a) ${\frac{5}{\mathrm x~-~6}}$ + ${\frac{8}{\mathrm x~+~6}}$ = = ${\frac{21}{\mathrm x^2~-~36}}$
b) ${\frac{2}{3~-~\mathrm a}}$ + ${\frac{12}{9~-~\mathrm a^2}}$ = = ${\frac{7}{3~+~\mathrm a}}$
c) ${\frac{3}{\mathrm s~-~2}}$ + ${\frac{4}{\mathrm s~+~2}}$ = = ${\frac{12}{\mathrm s^2~-~4}}$
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet „Bruchgleichungen“
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der Bruchgleichungen.
a)
${\frac{12}{7~-~2\mathrm x}}$ = 12
Definitionsmenge:
7 – 2x = 0 | + 2x
7 = 2x | : 2
x = 3,5
D = {x Є ℚ | x ≠ 3,5} oder D = ℚ \ {3,5}
Zur Bestimmung der Definitionsmenge bei Bruchgleichungen siehe auch unter „Bruchterme“ den Reiter 1.1 „Die Definitionsmenge bei Bruchtermen“ an.
Lösungsmenge:
${\frac{12}{7~-~2\mathrm x}}$ = 12 | · (7 – 2x)
12 = 12 · (7 – 2x) | : 12
1 = 1 · (7 – 2x)
1 = 7 – 2x | – 7
–6 = –2x | : (–2)
x = 3
L = {3}
Zum Lösen einer Bruchgleichung siehe auch unter dem Reiter „Bruchgleichungen“ 3. „Die Lösungsmenge einer Bruchgleichung“ an.
b)
${\frac{1}{1~-~2\mathrm x}}$ = 1
Definitionsmenge:
1 – 2x = 0 | + 2x
1 = 2x | : 2
x = 0,5
D = {x Є ℚ | x ≠ 0,5} oder D = ℚ \ {0,5}
Lösungsmenge:
${\frac{1}{1~-~2\mathrm x}}$ = 1 | · (1 – 2x)
1 = 1 · (1 – 2x)
1 = 1 – 2x | – 1
0 = –2x | : (–2)
x = 0
L = {0}
c)
${\frac{-12}{2~+~6\mathrm x}}$ = 6
Definitionsmenge:
2 + 6x = 0 | – 2
6x = –2 | : 6
x = –${\frac{1}{3}}$
D = {x Є ℚ | x ≠ –${\frac{1}{3}}$} oder D = ℚ \ {–${\frac{1}{3}}$}
Lösungsmenge:
${\frac{-12}{2~+~6\mathrm x}}$ = 6 | · (2 + 6x)
–12 = 6 · (2 + 6x)
–12 = 12 + 36x | – 12
–24 = 36x | : 36
x = –${\frac{2}{3}}$
L = {–${\frac{2}{3}}$}
d)
$\frac{4~\mathrm{x}~-~4}{\mathrm{x}~-~1}$ = 3
Definitionsmenge:
x – 1 = 0 | + 1
x = 1
D = {x Є ℚ | x ≠ 1} oder D = ℚ \ {1}
Lösungsmenge:
${\frac{4\mathrm x~-~4}{\mathrm x~-~1}}$ = 3 | · (x – 1)
4x – 4 = 3 · (x – 1)
4x – 4 = 3x – 3 | – 3x
x – 4 = –3 | + 4
x = 1
Da die Zahl 1 im Definitionsbereich ausgeschlossen wurde, weist diese Bruchgleichung keine Lösung auf.
L = { } bzw. L = Ø
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme bei der Bruchgleichung die Lösungsmenge.
a)
${\frac{2}{\mathrm x^2~+~1}}$ = ${\frac{4}{2\mathrm x^2~+~\mathrm x}}$
Definitionsmenge:
x² + 1 = 0 | – 1
x² = –1 | √
x = nicht definiert in ℚ (n. d. in ℚ)
Bei diesem Bruchterm liegt also keine Einschränkung der Definitionsmenge vor.
D = ℚ
2x² + x = 0
x · (2x + 1) = 0
Ein Produkt ist gleich null, wenn einer der beiden Faktoren gleich null ist.
x = 0
2x + 1 = 0 | – 1
2x = –1 | : 2
x = –0,5
D = {x Є ℚ | x ≠ –0,5; 0} oder D = ℚ \ {–0,5; 0}
Lösungsmenge:
${\frac{2}{\mathrm x^2~+~1}}$ = ${\frac{4}{2\mathrm x^2~+~\mathrm x}}$ | · (x² + 1) · (2x² + x)
2 · (2x² + x) = 4 · (x² + 1) | : 2
2x² + x = 2 · (x² + 1)
2x² + x = 2x² + 2 | – 2x²
x = 2
L = {2}
b)
${\frac{3}{\mathrm x~-~2}}$ = ${\frac{12}{2\mathrm x~+~7}}$
Definitionsmenge:
x – 2 = 0 | + 2
x = 2
2x + 7 = 0 | – 7
2x = –7 | : 2
x = –3,5
D = {x Є ℚ | x ≠ –3,5; 2} oder D = ℚ \ {–3,5; 2}
Lösungsmenge:
${\frac{3}{\mathrm x~-~2}}$ = ${\frac{12}{2\mathrm x~+~7}}$ | · (x – 2) · (2x + 7)
3 · (2x + 7) = 12 · (x – 2) | : 3
2x + 7 = 4 · (x – 2)
2x + 7 = 4x – 8 | – 2x
7 = 2x – 8 | + 8
15 = 2x | : 2
x = 7,5
L = {7,5}
c)
${\frac{1}{1~-~\mathrm x}}$ = ${\frac{-1}{3~-~\mathrm x}}$
Definitionsmenge:
1 – x = 0 | + x
x = 1
3 – x = 0 | + x
x = 3
D = {x Є ℚ | x ≠ 1; 3} oder D = ℚ \ {1; 3}
Lösungsmenge:
${\frac{1}{1~-~\mathrm x}}$ = ${\frac{-1}{3~-~\mathrm x}}$ | · (1 – x) · (3 – x)
1 · (3 – x) = (–1) · (1 – x)
3 – x = –1 + x | + x
3 = –1 + 2x | + 1
4 = 2x | : 2
x = 2
L = {2}
d)
${\frac{\mathrm x~+~1}{\mathrm x~+~3}}$ = ${\frac{\mathrm x~-~3}{\mathrm x~+~1}}$
Definitionsmenge:
x + 3 = 0 | – 3
x = –3
x + 1 = 0 | – 1
x = –1
D = {x Є ℚ | x ≠ –1; –3} oder D = ℚ \ {–1; –3}
Lösungsmenge:
${\frac{\mathrm x~+~1}{\mathrm x~+~3}}$ = ${\frac{\mathrm x~-~3}{\mathrm x~+~1}}$ | · (x + 3) · (x + 1)
(x + 1) · (x + 1) = (x – 3) · (x + 3)
x² + 2x + 1 = x² – 9 | – x²
2x + 1 = –9 | – 1
2x = –10 | : 2
x = –5
L = {–5}
Siehe ergänzend zur Auflösung von binomischen Formeln unter dem Reiter „Binomische Formeln“ die dortigen Ausführungen an.
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Es wird ein Getreideschiff mittels zweier Fördergebläse entladen. Beide Fördergebläse benötigen hierzu 3 Stunden. Ein Fördergebläse ist hierbei doppelt so schnell wie das andere. Wie viel an Zeit benötigt (in Stunden) ein Fördergebläse für sich alleine? (Anmerkung: Bei Lösung der Aufgabe liegt die physikalische Formel der Arbeit (W) zugrunde. Diese ist W = P · t. Die Arbeit (W) ist gleich der vollbrachten Leistung (P) während einer bestimmten Zeit (t).)
Die Arbeit W ist in dieser Aufgabe: Das Entladen 1 Schiffes.
Die Leistung P setzt sich aus der Leistung beider Fördergebläse zusammen, die jeweils eine bestimmte Zeit über im Einsatz sind:
P = P1 · t + P2 · t.
Außerdem arbeitet ein Fördergebläse doppelt so schnell wie das andere: P1 = ${\frac{1}{2}}$ · P2.
Aus der Formel W = P · t ergibt sich daher, schrittweise:
1 = P · t (da 1 Schiff entladen wird bzw. 1 Arbeit durch die zwei Fördergebläse verrichtet wird)
1 = P1 · t + P2 · t (da die Leistung P sich aus den beiden Leistungen der Fördergebläse zusammensetzt)
1 = ${\frac{1}{2}}$ · P2 · t + P2 · t (da das eine Fördergebläse doppelt so schnell wie das andere ist, kann man dadurch die Gleichung hin zu einer „Unbekannten“ bzw. einer vollbrachten Leistung eines Fördergebläses vereinfachen)
1 = ${\frac{1}{2}}$ · P2 · 3 + P2 · 3 (die Zeit zum Entladen des 1 Schiffes beträgt 3 Stunden)
1 = ${\frac{1}{2}}$ · $\frac{1}{\mathrm{t}_{\mathrm{\scriptscriptstyle 2}}}$ · 3 + $\frac{1}{\mathrm{t}_{\mathrm{2}}}$ · 3 (P2 = ${\frac{\mathrm W}{\mathrm t_2}}$; P2 = ${\frac{1}{\mathrm t_2}}$, die vollbrachte Leistung eines Fördergebläses zu einer bestimmten Zeit entspricht der Entladung 1 Schiffes/der 1 vollbrachten Arbeit. Diese Formel löst man nach P hin auf und setzt diese in die Gleichung ein.)
Die nun sich ergebende Bruchgleichung löst man nach der Variablen hin auf (t > 0).
1 = ${\frac{1}{2}}$ · ${\frac{1}{\mathrm t_2}}$ · 3 + ${\frac{1}{\mathrm t_2}}$ · 3 | · t2
t2 = ${\frac{1}{2}}$ · 1 · 3 + 1 · 3
t2 = 1,5 + 3
t2 = 4,5
P1 = ${\frac{1}{2}}$ · P$_2$
${\frac{1}{\mathrm t_1}}$ = ${\frac{1}{2}}$ · ${\frac{1}{\mathrm t_2}}$
${\frac{1}{\mathrm t_1}}$ = ${\frac{1}{2}}$ · ${\frac{1}{4,5}}$
t1 = 2 · 4,5
t1 = 9
Ein Fördergebläse (das Schnellere) benötigt für das alleinige Entladen des Schiffes 4,5 Stunden. Das andere Fördergebläse (das langsamere) benötigt für sich alleine 9 Stunden.
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle für die Bruchgleichung die Lösungsmenge.
a)
${\frac{5}{\mathrm x~-~6}}$ + ${\frac{8}{\mathrm x~+~6}}$ = = ${\frac{21}{\mathrm x^2~-~36}}$
Definitionsmenge:
x – 6 = 0 | + 6
x = 6
x + 6 = 0 | – 6
x = –6
Der andere Nenner (x² – 36) ist die aufgelöste Form der 3. Binomischen Formel und das Produkt der beiden anderen Nenner. Daher ist hierin die Definitionsmenge der anderen beiden Terme enthalten.
D = {x Є ℚ | x ≠ –6; 6} oder D = ℚ \ {–6; 6}
Lösungsmenge:
Der Hauptnenner ist hier: (x – 6) · (x + 6)
${\frac{5}{\mathrm x~-~6}}$ + ${\frac{8}{\mathrm x~+~6}}$ = = ${\frac{21}{\mathrm x^2~-~36}}$ | · (x – 6) · (x + 6)
5 · (x + 6) + 8 · (x – 6) = 21
5x + 30 + 8x – 48 = 21
13x – 18 = 21 | + 18
13x = 39 | : 13
x = 3
L = {3}
b)
${\frac{2}{3~-~\mathrm a}}$ + ${\frac{12}{9~-~\mathrm a^2}}$ = = ${\frac{7}{3~+~\mathrm a}}$
Definitionsmenge:
3 – a = 0 | + a
a = 3
3 + a = 0 | – 3
a = –3
Wie bei der Aufgabe a) ist der Nenner „9 – a²“ die aufgelöste Form der 3. Binomischen Formel der anderen beiden Nenner. Daher weist er die gleiche Definitionsmenge auf.
D = {a Є ℚ | a ≠ –3; 3} oder D = ℚ \ {–3; 3}
Lösungsmenge:
Der Hauptnenner ist hier: (3 – a) · (3 + a)
${\frac{2}{3~-~\mathrm a}}$ + ${\frac{12}{9~-~\mathrm a^2}}$ = = ${\frac{7}{3~+~\mathrm a}}$ | · (3 – a) · (3 + a)
2 · (3 + a) + 12 = 7 · (3 – a)
6 + 2a + 12 = 21 – 7a
18 + 2a = 21 – 7a | + 7a
18 + 9a = 21 | – 18
9a = 3 | : 3
a = ${\frac{1}{3}}$
L = {${\frac{1}{3}}$}
c) ${\frac{3}{\mathrm s~-~2}}$ + ${\frac{4}{\mathrm s~+~2}}$ = = ${\frac{12}{\mathrm s^2~-~4}}$
Definitionsmenge:
s – 2 = 0 | + 2
s = 2
s + 2 = 0 | – 2
s = – 2
Wie bei den Aufgaben a und b liegt bei dem Nenner „s² – 4“ die 3. Binomische Formel in der aufgelösten Form vor. Daher sind hier die beiden anderen Nenner von der Definitionsmenge her mitenthalten.
D = {s Є ℚ | s ≠ –2; 2} oder D = ℚ \ {–2; 2}
Lösungsmenge:
Der Hauptnenner ist hier: (s – 2) · (s + 2)
${\frac{3}{\mathrm s~-~2}}$ + ${\frac{4}{\mathrm s~+~2}}$ = = ${\frac{12}{\mathrm s^2~-~4}}$ | · (s – 2) · (s + 2)
3 · (s + 2) + 4 · (s – 2) = 12
3s + 6 + 4s – 8 = 12
7s – 2 = 12 | + 2
7s = 14 | : 2
s = 2
Da die Zahl 2 im Definitionsbereich ausgeschlossen wurde, weist diese Bruchgleichung keine Lösung auf.
L = { } bzw. L = Ø
Die Aufgaben inkl. Lösungen gibt es hier als PDF zum Herunterladen: