In den neueren STARK MSA-Prüfungsvorbereitungsbänden für Mathematik sind verschiedene Aufgaben zu Stoffgebieten mit einem (Doppel-)Sternchen versehen. Solche Aufgaben sind schwieriger als die anderen – daher die Extrahervorhebung mittels Sternchen. Ein alter Lateiner könnte nun auch sagen: „Per aspera ad astra.“ Je schwieriger die zu lösenden Aufgaben sind, desto einfacher fallen einem die leichten – und umso mehr bekommt man einen Eindruck davon, was wirklich im Leben zählt, um das Leben auch wirklich schätzen zu lernen. Wenn man an die geistigen Grenzen geht (ebenso an die körperlichen), dann zeigt sich einem erst, wie wirklich schön ein Leben – ohne Strapazen ist! Wobei wir wieder bei den STARK MSA-Prüfungsvorbereitungsbänden wären, denn es gibt dort nicht nur Sternchen-Aufgaben, sondern beispielsweise mit Bruchtermen sogar ein Sternchen-Stoffgebiet – zur Strapazierung der grauen Mathe-Zellen.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Bruchterme
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme bei folgendem Bruchterm [latexpage] ${\frac{x}{(x~+~4)\ {\cdot}\ (x~-~2)}}$ die Werte bei x = –4; x = 0, x = 2,5; x = 3; x = 7. Begründe, warum der Bruchterm bei x = 2 und x = –4 nicht definiert ist, bei x = 0 aber sehr wohl.
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne bei diesem Bruchterm ${\frac{x~+~2}{x^2~+~1}$ die Werte bei x = –3; x = –2,5; x = 0; x = 4,5; x = 5. Lege dar, warum es hier keine Einschränkung im Definitionsbereich gibt.
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib eine Bedingung an, wann der Bruchterm jeweils nicht definiert ist.
a) ${\frac{5}{5~-~x}$ + ${\frac{x}{2~-~x}$
b) ${\frac{4x~+~1}{2x}$ · ${\frac{x}{x~+~x}$
c) –${\frac{y}{x}$ + ${\frac{x}{x~-~y}$
d) ${\frac{x~-~1}{x^2~-~1}$ · ${\frac{3x}{1~+~x}$
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne den Wert des Terms. Gib ebenso eine Bedingung an, wann der Term nicht definiert ist.
a) [latexpage] ${\frac{x}{x~+~y}$ für x = –4 und y = –2,5
für x = –1 und y = 1,5
für x = 2 und y = –3
b) [latexpage] ${\frac{3y~-~1}{(y~+~2)\ {\cdot}\ (x~-~1)}$ für x = –2 und y = 2
für x = 2,5 und y = 0,5
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Bruchterme
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Werte bei dem Bruch-Term [latexpage] ${\frac{x}{(x~+~4)\ {\cdot}\ (x~-~2)}}$ für x = –4; x = 0, x = 2,5; x = 3; x = 7. Lege dar, weshalb der Bruchterm sowohl bei x = 2 als auch bei x = – 4 nicht definiert ist, aber bei x = 0 sehr wohl.
Bei x = –4 erigibt sich: [latexpage] ${\frac{-4}{(-4~+~4)\ {\cdot}\ (-4~+~-2)}}$ = ${\frac{-4}{0\ {\cdot}\ (-6)}}$ = ${\frac{-4}{0}}$ = nicht definiert
Bei x = 0 ergibt sich: ${\frac{0}{(0~+~4)\ {\cdot}\ (0~-~2)}}$ = ${\frac{0}{4\ {\cdot}\ (-2)}}$ = 0
Bei x = 2,5 ergibt sich: ${\frac{2,5}{(2,5~+~4)\ {\cdot}\ (2,5~-~2)}}$ = ${\frac{2,5}{6,5\ {\cdot}\ 0,5}}$ = ${\frac{2,5}{3,25}}$ = ${\frac{250}{325}}$ = ${\frac{10}{13}}$
Zum Erweitern von gemischten Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung/Erweitern und Kürzen den Unterpunkt 2. Das Erweitern eines Bruchs an.
Bei x = 3 ergibt sich: ${\frac{3}{(3~+~4)\ {\cdot}\ (3~-~2)}}$ = ${\frac{3}{7\ {\cdot}\ 1}}$ = ${\frac{3}{7}}$
Bei x = 7 ergibt sich: ${\frac{7}{(7~+~4)\ {\cdot}\ (7~-~2)}}$ = ${\frac{7}{11\ {\cdot}\ 5}}$ = ${\frac{7}{55}}$
Ein Produkt ist gleich null, wenn ein Faktor des Produkt null wird. Da im Nenner des Bruchterms ein Produkt ist, das bei x = –4 oder x = 2 null wird, gehören diese beiden Zahlen nicht zur Definitionsmenge. Bei der Zahl Null hingegen wird nur der Zähler null und somit der ganze Wert des Bruchterms.
Definitionsmenge: D = {x Є ℚ Ι x ≠ –4; x ≠ 2}
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle bei dem Bruchterm ${\frac{x~+~2}{x^2~+~1}$ die Werte bei x = –3; x = –2,5; x = 0; x = 4,5; x = 5. Zeige auch auf, warum der Definitionsbereich des Bruchterm nicht eingeschränkt ist.
Bei x = –3: ${\frac{-3~+~2}{(-3)^2~+~1}$ = ${\frac{-1}{10}$ = –${\frac{1}{10}$
Bei x = –2,5: ${\frac{-2,5~+~2}{(-2,5)^2~+~1}$ = ${\frac{-0,5}{7,25}$ = –${\frac{50}{725}$ = –${\frac{2}{29}$
Bei x = 0: ${\frac{0~+~2}{(0)^2~+~1}$ = ${\frac{2}{1}$ = 2
Bei x = 4,5: ${\frac{4,5~+~2}{(4,5)^2~+~1}$ = ${\frac{6,5}{21,25}$ = ${\frac{650}{2125}$ = ${\frac{26}{85}$
Bei x = 5: ${\frac{5~+~2}{(5)^2~+~1}$ = ${\frac{7}{26}$
Der Bruchterm ${\frac{x~+~2}{x^2~+~1}$ hat deshalb einen uneingeschränkten Definitionsbereich, da sein Nenner niemals null werden kann. Denn stellt man x² + 1 = 0 als Gleichung dar, so sieht man sofort, dass der Nenner immer ein Ergebnis liefert.
x² + 1 = 0 | – 1
x² = –1 | √
x = nicht definiert
Das heißt, es gibt kein x für das der Nenner gleich null wird. Daher ist der Definitionsbereich immer uneingeschränkt.
Definitionsmenge: D = ℚ
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Gib eine Bedingung an, wann der Bruchterm nicht definiert ist.
a) ${\frac{5}{5~-~x}$ + ${\frac{x}{2~-~x}$
Eine Einschränkung im Definitionsbereich liegt immer nur vor, wenn der Nenner gleich null wird. Daher gilt für diesen Bruchterm:
5 – x = 0 | + x
5 = x
sowie (der Bruchterm weist ja zwei verschiedene Nenner auf)
2 – x = 0 | + x
2 = x
Definitionsmenge: D = {x Є ℚ Ι x ≠ 2; x ≠ 5}
b) ${\frac{4x~+~1}{2x}$ · ${\frac{x}{x~+~x}$
2x = 0 | : 2
x = 0
sowie
x + x = 0
2x = 0 | : 2
x = 0
Definitionsmenge: D = {x Є ℚ Ι x ≠ 0}
c) –${\frac{y}{x}$ + ${\frac{x}{x~-~y}$
x = 0
sowie:
x – y = 0 | + y <=>
x = y
Definitionsmenge: D = {x Є ℚ Ι x ≠ 0; x ≠ y}
d) ${\frac{x~-~1}{x^2~-~1}$ · ${\frac{3x}{1~+~x}$
x² – 1 = 0 | + 1
x² = 1 | √
x = ± 1
sowie:
1 + x = 0 | – 1 <=>
x = –1
Definitionsmenge: D = {x Є ℚ Ι x ≠ –1; x ≠ 1}
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle den Wert des Terms. Bei welcher Bedingung ist der Term nicht definiert?
a) [latexpage] ${\frac{x}{x~+~y}$
Bei x = –4 und y =–2,5 : ${\frac{-4}{-4~-~2,5}$ = ${\frac{-4}{-6,5}$ = ${\frac{40}{65}$ = ${\frac{8}{13}$
Bei x = –1 und y = 1,5: ${\frac{-1}{-1~+~1,5}$ = ${\frac{-1}{05}$ = –2
Bei x = 2 und y = –3: ${\frac{2}{2~-~3}$ = ${\frac{2}{-1}$ = –2
x + y = 0 | – y <=>
x = –y
Definitionsmenge: D = {x Є ℚ Ι x ≠ –y}
b) [latexpage] ${\frac{3y~-~1}{(y~+~2)\ {\cdot}\ (x~-~1)}$
Bei x = –2 und y = 2: ${\frac{3\ {\cdot}\ 2 ~-~1}{(2~+~2)\ {\cdot}\ (-2~-~1)}$ = ${\frac{6 ~-~1}{4\ {\cdot}\ (-3)}$ = ${\frac{5}{-12}$ = –${\frac{5}{12}$
Bei x = 2,5 und y = 0,5: ${\frac{3\ {\cdot}\ 0,5 ~-~1}{(0,5~+~2)\ {\cdot}\ (2,5~-~1)}$ = ${\frac{1,5~-~1}{2,5\ {\cdot}\ 1,5}$ = ${\frac{0,5}{3,75}$ = ${\frac{50}{375}$ = ${\frac{2}{15}$
Wenn bei einem Produkt ein Faktor gleich null ist, so ist das komplette Produkt gleich null. Daher gilt hier für die Definitionsmenge:
y + 2 = 0 | – 2
y = –2
sowie:
x – 1 = 0 | + 1
x = 1
Definitionsmenge: D = {x Є ℚ Ι x ≠ 1; y ≠ –2}