1. Allgemeines zu Extremstellen
Bei Funktionen können besondere Stellen auftreten. Diese besonderen Stellen nennt man Extremstellen. Hierbei unterscheidet man bei Funktionen folgende gängige Extremstellen: Hochpunkte und Tiefpunkte. Es gehören hierbei aber auch sogenannte Randstellen dazu.
Extremstellen kann man sowohl grafisch darstellen als auch rechnerisch ermitteln.
Funktionen, die Extremwerte vorweisen, sind: ganzrationale Funktionen (ab dem 2. Grad), gebrochen-rationale Funktionen und trigonometrische Funktionen. Aber auch bei Produktfunktionen oder verknüpften bzw. zusammengesetzten Funktionen treten Extremstellen auf. Funktionen, die die Extremstellen Hochpunkte und Tiefpunkte nicht aufweisen, sind lineare Funktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und Wurzelfunktionen. Randstellen können diese aber jeweils vorweisen, wenn der Bereich der Funktion eingeschränkt ist.
Hieraus ergibt sich folgender Merksatz: Extremwerte liegen normalerweise bei Funktionen nur vor, wenn eine Funktion ihre Richtung ändert (d. h. steigt und fällt). Reine monotone Funktionen (die nur steigen oder fallen) haben keine Extremstellen (Hochpunkte und Tiefpunkte).