1. Allgemeines zu Extremstellen
Bei Funktionen können besondere Stellen auftreten. Diese besonderen Stellen nennt man Extremstellen. Hierbei unterscheidet man bei Funktionen folgende gängige Extremstellen: Hochpunkte und Tiefpunkte. Es gehören hierbei aber auch sogenannte Randstellen dazu.
Extremstellen kann man sowohl grafisch darstellen als auch rechnerisch ermitteln.
Funktionen, die Extremstellen vorweisen, sind: ganzrationale Funktionen (ab dem 2. Grad), gebrochen-rationale Funktionen und trigonometrische Funktionen. Aber auch bei Produktfunktionen oder verknüpften bzw. zusammengesetzten Funktionen treten Extremstellen auf. Funktionen, die die Extremstellen Hochpunkte und Tiefpunkte nicht aufweisen, sind lineare Funktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und Wurzelfunktionen. Randstellen können diese aber jeweils vorweisen, wenn der Bereich der Funktion eingeschränkt ist.
Hieraus ergibt sich folgender Merksatz: Extremwerte liegen normalerweise bei Funktionen nur vor, wenn eine Funktion ihre Richtung ändert (d. h. steigt und fällt). Reine monotone Funktionen (die nur steigen oder fallen) haben keine Extremstellen (weder Hochpunkte noch Tiefpunkte).
Um größte oder kleinste Funktionswerte einer Funktion in einem Intervall I zu ermitteln, muss man einen festen Wert f(x0) mit den Werten f(x) aus einer Umgebung x0 vergleichen. Unter einer Umgebung von x0 versteht man hierbei ein offenes Intervall, in dem der Punkt x0 enthalten ist. Es ist hierfür folgende Schreibweise gebräuchlich: U(x0).
Es gilt: U(x0) = (x0 − ε, x0 + ε)
mit ε > 0.
- x0 − ε → links von x0 (kleiner als x0)
- x0 + ε → rechts von x0 (größer als x0)
x0 − ε x0 x0 + ε
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Definition: Es sei die Funktion f in einem Intervall I definiert und x0 ∈ I.
Dann heißt f(x0)
- lokales Maximum, wenn es eine Umgebung U(x0) gibt, sodass x ∈ U(x0) ⋂ I gilt: f(x) ≤ f(x0).
- lokales Minimum, wenn es eine Umgebung U(x0) gibt, sodass x ∈ U(x0) ⋂ I gilt: f(x) ≥ f(x0).
