Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Potenzen, Teil 8

Vielen Schülerinnen und Schülern wird es oft Angst und Bange, wenn diese die Mathe-Arbeit zu dem Thema Potenzen zurückbekommen. Spätestens wenn der Mathematik-Lehrer sagt: „Der Durchschnitt der Arbeit liegt bei 3,4“, ist bei einem im Unterricht das eigene Nervenkostüm sehr angespannt. Das sehr ungute Gefühl, das man bereits kurz nach der Arbeit hatte, hat sich nun offenbar bewahrheitet. Und die Note 5 oder gar eine 6 ist ja auch alles andere als schön, wenn man solch eine Note tatsächlich schließlich erhält. In einem Hauptfach wie Mathe verursacht diese sofort Versetzungspanik. Viele Eltern schicken daher – so meine Erfahrung – dann ihre Filia oder ihren Filius zur Nachhilfe. In der Regel ist aber nur jene eine Arbeit mörderverhauen worden – und daher eine Mathe-Nachhilfe totaler Quatsch! Die Ursache für das Komplettversagen liegt einfach an der unzureichenden Verinnerlichung der neuen Potenz-Algebra-Materie – und die muss man einfach pauken!

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Potenzen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Gib folgende Zahlen in abgetrennter Zehnerpotenz wieder („scientific notation):

a) 34

b) 406

c) 4608

d) 7906

e) 67,8

f) 567,345

g) 9657,07

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle das Ergebnis rechnerisch. Löse hierzu die Potenz auf.

a) [latexpage] ${\frac{1}{4^-^3}}$

b) ${\frac{1}{5^-^2}}$

c) ${\frac{1}{3^-^8}}$

d) ${\frac{5}{4^-^4}}$

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache den Term.

a) a³ · a^–5 · b² · b^–1

b) (–3r^–3s) · (–4r^–2s³)

c) (–0,75x^–3yz) · (–123x⁴y^–2z^–3)

d) 2a^–3 · 5b³ · 3a⁵ · 4b^–4

e) (–${\frac{2}{3}}\mathrm a^3\mathrm b^2\mathrm c$) · (–${\frac{3}{2}}\mathrm a^2\mathrm b^3\mathrm c^3$)

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wende ein Potenzgesetz an.

a) a²m · a³n

b) x^–2a · x³a^–2

c) y^-^\mathrm q~^+~^2$ · $\mathrm y^3^\mathrm q~^-~^2$

d) a^2^\mathrm r~^+~^1$ · $\mathrm a^4^\mathrm r$

Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Potenzen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib jede Zahl in der Schreibweise einer abgetrennten Zehnerpotenz wieder (diese Schreibweise nennt man auch „scientific notation).

a) 34 = 3,4 · 10¹

Bei der Schreibweise einer abgetrennten Zehnerpotenz ist es wichtig, dass die Zahl vor der Zehnerpotenz immer kleiner 10 ist und größer 1. Hinter dieser Zahl kommt zuerst ein Komma. Danach alle weiteren Zahlen. Diese Zahlen sind mit einer Zehnerpotenz mittels Malzeichen verbunden. Bei einer Zahl größer eins zählt man nun, ohne die erste Zahl, alle weiteren noch kommenden Ziffern größer 0. Diese Anzahl ergibt den positiven Exponenten der Zehnerpotenz. Bei der Zahl 34 ist 3 die Zahl vor der Zehnerpotenz, dahinter folgt nur noch die Zahl 4, also eine Ziffer. Daher muss hier hinter dem Komma eine 4 stehen und der Exponent eine 1 vorweisen.

b) 406 = 4,06 · 10²

c) 4608 = 4,608 · 10³

d) 7906 = 7,906 · 10³

e) 67,8 = 6,78 · 10¹

f) 567,345 = 5,67345 · 10²

g) 9657,07 = 9,65707 · 10³

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme das Ergebnis durch Auflösen der Potenz rechnerisch.

a) ${\frac{1}{4^-^3}}$ = 4$^3$ = 4 · 4 · 4 = 64

b) ${\frac{1}{5^-^2}}$ = 5$^2$ = 5 · 5 = 25

c) ${\frac{1}{3^-^8}}$ = 3$^8$ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 6561

d) ${\frac{5}{4^-^4}}$ = 5 · 4$^4$ = 5 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1280

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Vereinfache die Potenzen so weit wie möglich.

a) a³ · a^–5 · b² · b^–1 = a^3–5 · b^2+(–1) = a^–2b

b) (–3r^–3s) · (–4r^–2s³) = (–3) · (–4) · r^–3 · r^–2 · s¹ · s³ = 12r^–3+(–2) · s¹⁺³ = 12r^–5s⁴

c) (–0,75x^–3yz) · (–123x⁴y^–2z^–3) = (–0,75) · (–123) · x^–3 · x⁴ · y · y^–2 · z · z^–3 = 92,25 · x^–3+4 · y^1+(–2) · z^1+(–3) = 92,25xy^–1z^–2

d) 2a^–3 · 5b³ · 3a⁵ · 4b^–4 = 2 · 3 · a^–3 · a⁵ · 5 · 4 · b³ · b^–4 = 6 · a^–3+5 · 5 · 4 · b^3+(–4) = 6a²20b^–1 = 120a²b^–1

e) (–${\frac{2}{3}}\mathrm a^3\mathrm b^2\mathrm c$) · (–${\frac{3}{2}}\mathrm a^2\mathrm b^3\mathrm c^3$) = (–${\frac{2}{3}}$) · (–${\frac{3}{2}}$) · a$^3$ · a$^2$ · b$^2$ · b$^3$ · c · c$^3$ = a$^3^~+~2$ · b$^2^~+~3$ · c$^1^~+~3$ = a$^5$b$^5$c$^4$

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Aufgabe mittels der Anwendung eines Potenzgesetzes.

a) $\mathrm a^2^\mathrm m$ · $\mathrm a^3^\mathrm n$ = a$^2^\mathrm m^~+~3\mathrm n$ = a$^5^\mathrm m^\mathrm n$

b) $\mathrm x^-^2^\mathrm a$ · $\mathrm x^3^\mathrm a~^-~^2$ = x$^-^2^\mathrm a^~+~3\mathrm a~-~2$ = x$^\mathrm a^~-~2$

c) $\mathrm y^-^\mathrm q~^+~^2$ · $\mathrm y^3^\mathrm q~^-~^2$ = y$^-^\mathrm q~^+~^2^~+~\mathrm 3\mathrm q~-~2$ = y$^2^\mathrm q$

d) $\mathrm a^2^\mathrm r~^+~^1$ · $\mathrm a^4^\mathrm r$ = a$^2^\mathrm r~^+~^1^~+~4\mathrm r$ = a$^6^\mathrm r^~+~1$