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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Gleichungen, Teil 1

Heute Nachhilfe! © flown PIXELIO www.pixelio.de

Hat man verstanden, wie man lineare Gleichungen korrekt löst, dann wird man auch mit ziemlicher Sicherheit schwierigere Gleichungen in Mathe „knacken“ können. Das Entscheidende beim schrittweisen Lösen von Gleichungen beherrscht man dann nämlich schon – die sogenannten Äquivalenzumformungen. Das sind bei einer Gleichung Umformungen, bei denen sich die Lösungsmenge der Ursprungsgleichung/Ausgangsgleichung nicht ändert. Löst man derart eine lineare Gleichung auf, so weiß man dann auch das eindeutige Ergebnis zu „interpretieren“, sprich, welche Art von Lösung genau vorliegt. Und das wird einem ebenso bei allen weiteren Gleichungen äußerst hilfreich sein! Schließlich muss man in höheren Klassenstufen oftmals verschiedene Gleichungen gleichsetzen – was ein notwendiges Bestimmungsmerkmal von Schnittpunkten bei unterschiedlichen Funktionen ist! Daher wird man sich in Mathe bis zum Abitur mit Gleichungen „herumschlagen“ müssen, da sich speziell in der Oberstufe bei der Analysis alles um Funktionen dreht.

Eine Linie auf dem Fußballplatz und ein “Punkt“ auf der Linie © Mariliese PIXELIO www.pixelio.de

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Lineare Gleichungen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme jeweils zu folgenden linearen Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen die Lösungsmenge.

a)   –15x = 80 –5x

b)   4x = 35 + 3x

c)   4x = 8x – 28

d)   5y = 40 + 9y

e)   15z + 1 = 7z

f)   x = –0,05 + 5x

g)   –2z + 4 + 8z = 88

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Welche Lösungsmenge liegt bei den Gleichungen jeweils vor?

a)     3x = x + 7

b)     4x = 2x + 2x

c)     3x + x = 4x

d)     9x + 2 = 9x – 2

e)     8x – x = 7x

f)     0 · x = 12

g)    4x + 1 = 6x

h)    2 – x = 5 – x

i)     0 · x = 0

j)     7x – 7x = 12 – 12

k)    9 + 3x = 3x + 9

l)    

Gleichung, bestehend aus natürlichen Zahlen, Bruchzahlen und Variablen

m)  

Gleichung, bestehend aus zwei Brüchen, Variablen und natürlicher Zahl

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse jeweils möglichst einfach die Gleichung auf!

a)     5 (x + 2) = 30

b)     (x – 4) · 3 = 12

c)    

Gleichung aus Bruch, Variable und natürlicher Zahl

d)     (x – 7) · 5 = 25

e)    

Gleichung, bestehend aus Bruch mit Variable und natürlicher Zahl

f)     

Gleichung aus Bruch, Variable und natürlicher Zahl

g)     7 · (x – 0,5) = 24,5

h)    

Gleichung, bestehend aus Bruch, Variable und natürlichen Zahlen

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Für welches x erfüllt der Term jeweils folgende Werte?

a)     13x + 1 + 5x – 7                         Wert: 12; 0; –6; –24

b)    

Verschiedene Terme mit Termwerten

c)     –92x + 1 + 100x – 1,2                 Wert: 0,6; –8,2; 3,8; –6,2

Lösungen zu dem Mathematik-Stoffgebiet: lineare Gleichungen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Welche Lösungsmenge liegt jeweils vor? Bestimme diese mittels Äquivalenzumformungen.

a)   

–15x = 80 –5x          | + 5x    <=>

–10x = 80                 | : (–10) <=>

x  = –8

L = {–8}

b)        4x = 35 + 3x         |  – 3x   <=>

x = 35

L = {35}

c)       

4x = 8x – 28         |  – 8x    <=>

–4x = –28              |  : (–4)   <=>

x = 7

L = {7}

d)       

5y = 40 + 9y        |  – 9y     <=>

–4y = 40               |  : (–4)   <=>

y = –10

L = {–10}

e)    

15z + 1 = 7z          |  – 15z    <=>

1 = –8z              |  : (–8)     <=>

Variable als Bruchzahl

L =

Lösungsmenge quadratische Gleichung

f)         

x = –0,05 + 5x     |  – 5x     <=>

–4x  = –0,05            |  : (–4)    <=>

x = 0,0125

L = {0,0125}

g)    

–2z + 4 + 8z = 88                 <=>

6z + 4 = 88    |  – 4      <=>

6z = 84                  |     : 6    <=>

z = 14

L = {14}

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme jeweils die Lösungsmenge der Gleichung.

a)       

3x = x + 7             |  – x      <=>

2x = 7                   |  : 2       <=>

x = 3,5

L = {3,5}

b)    

4x = 2x + 2x                         <=>

4x = 4x                     |  – 4x   <=>

0 = 0

Dadurch, dass sich hier das x bzw. die Variable eliminiert und die Gleichung ein „wahres“ Ergebnis liefert, ist die Lösungsmenge unendlich groß, d. h. unendlich viele Zahlen erfüllen die Gleichung.

L = ℚ oder ℝ (je nach Klassenstufe)

c)    

3x + x = 4x                            <=>

4x   = 4x           |  – 4x      <=>

0 = 0

L = ℚ oder ℝ (je nach Klassenstufe)

Bei der Aufgabe c) kommt es zu dem gleichen Ergebnis wir bei Aufgabe b). Demzufolge erfüllen alle Zahlen die Gleichung.

d)    

9x + 2 = 9x – 2         |  – 9x   <=>

2 = –2                 |  + 2    <=>

4 = 0

Da bei dieser Gleichung sich zum einen die Variable eliminiert und zum anderen die Gleichung niemals „wahr“ werden wird, findet man keine Zahl, die die Gleichung erfüllt.

L = { } bzw. L = Ø

e)    

8x – x = 7x                            <=>

7x = 7x                |  – 7x   <=>

0 = 0

L = ℚ oder ℝ (je nach Klassenstufe)

Jede Zahl erfüllt hier wiederum die Gleichung.

f)    

0 · x = 12                                <=>

0 = 12

L = { } bzw. L = Ø

Keine Zahl erfüllt die Gleichung.

g)   

4x + 1 = 6x                 |  – 4x   <=>

1 = 2x                  |      : 2  <=>

Variable als Bruch

L =

Bruchzahl

h)   

2 – x = 5 – x               |    + x   <=>

2 = 5                    |      – 2 <=>

0 = 3

L = { } bzw. L = Ø

Zu dieser Gleichung findet man keine Zahl, die die Gleichung erfüllt.

i)      

0 · x = 0

0 = 0

L = ℚ oder ℝ (je nach Klassenstufe)

Jede Zahl erfüllt die Gleichung.

j)     7x – 7x = 12 – 12                     <=>

 0 = 0

L = ℚ oder ℝ (je nach Klassenstufe)

Hier erfüllt wiederum jede Zahl die Gleichung.

k)   

9 + 3x = 3x + 9           |      – 3x <=>

9 = 9                     |      – 9   <=>

0 = 0

L = ℚ oder ℝ (je nach Klassenstufe)

Jede Zahl erfüllt hier erneut die Gleichung.

l)    

Äquivalenzumformung lineare Gleichung

3 = 3            |        – 3      <=>

0 = 0

L = ℚ oder ℝ (je nach Klassenstufe)

Ebenso hier erfüllt jede Zahl die Gleichung.

m)  

Äquivalenzumformung lineare Gleichung

x = 1

L = {1}

Vorsicht Blindgänger (zwei und mehrbeinige) © Boris Laaser PIXELIO www.pixelio.de

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Aufgabe so, dass sich möglichst schnell die Lösung zeigt.

a)     5 (x + 2) = 30

Hier eliminiert man als Erstes den Faktor vor der Klammer. Dann liegt fast schon die Lösung vor. Um einiges länger würde es dauern, wenn man die Klammer mittels Distributivgesetz/Verteilungsgesetz ausmultipliziert!

a)    

5 (x + 2) = 30          |        : 5      <=>

x + 2    = 6          |        – 2     <=>

x = 4

L = {4}

b)     (x – 4) · 3 = 12     

Hier eliminiert man als Erstes wiederum den Faktor. Hierdurch kann man mit Abstand am schnellsten das Ergebnis ermitteln!
b)    

(x – 4) · 3 = 12        |        : 3      <=>

x – 4 = 4           |        + 4     <=>

x = 8

L = {8}

c)         

Gleichung aus Bruch, Variable und natürlicher Zahl

Hier eliminiert man als Erstes den Bruch, indem man die Gleichung mit dem Nenner des Bruchs malnimmt (die Klammer hat hier keine Funktion und kann einfach weggelassen werden). Dadurch kürzt sich der Nenner heraus!

c)         

Äquivalenzumformung lineare Gleichung

x + 6 = 40        |        – 6     <=>

x = 34

L = {34}

d)    

(x – 7) · 5 = 25

Hier eliminiert man wiederum zunächst den Faktor vor der Klammer.

d)    

(x – 7) · 5 = 25        |        : 5     <=>

x – 7 = 5        |        + 7    <=>

x = 12

L = {12}

e)      

Gleichung aus Bruch mit Variable und natürlicher Zahl

Hier gilt wieder, dass man am schnellsten zum Ergebnis kommt, wenn man zuerst den Nenner des Bruchs eliminiert (die Klammer hat hier keine Funktion).

e)           

Äquivalenzumformung lineare Gleichung

  x – 8 = 21        |         + 8   <=>

  x = 29

  L = {29}

f)     

Gleichung, bestehend aus Bruch, Variable und natürlicher Zahl

Wenn man hier wiederum als Erstes den Bruch eliminiert, kommt man am schnellsten zur Lösung der Gleichung (die Gleichung kann hier einfach weggelassen werden).

f)     

Äquivalenzumformung lineare Gleichung

x + 3 = –20   |           – 3   <=>

x = –23

L = {–23}

g)    

· (x – 0,5) = 24,5

Hier sollte man auf jeden Fall als Erstes den Faktor vor der Klammer eliminieren.

g)    

7 · (x – 0,5) = 24,5   |           : 7   <=>

 x – 0,5 = 3,5      |      + 0,5   <=>

 x = 4

 L = {4}

h)    

Gleichung aus Bruch, Variable und natürlichen Zahlen

Hier geht man wie gewohnt vor. Zuerst die Variable separieren, dann den Faktor, der vor ihr steht, eliminieren.

h)    

Äquivalenzumformung lineare Gleichung

x = 90

L = {90}

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme jeweils das x für die angegebenen Werte.

a)     13x + 1 + 5x – 7                         Wert: 12; 0; –6; –24

Bevor man hier eine Gleichung für den jeweils gesuchten Wert aufstellt, sollte man zunächst den angegeben Term vereinfachen.

13x + 1 + 5x – 7 = 18x – 6

Darauf kann man die Gleichung für den gesuchten Wert aufstellen.

18x – 6 = 12           |      + 6   <=>

18x = 18            |      : 18   <=>

x = 1

L = {1}

Bei x = 1 wird der Term-Wert 12.

18x – 6 = 0             |      + 6   <=>

18x = 6              |      : 18   <=>

Vereinfachung Bruchzahl

L =

Bruchzahl

Bei

Variable als Bruch

wird der Term-Wert 0.

18x – 6 = –6           |      + 6   <=>

18x = 0              |      : 18   <=>

x = 0

L = {0}

Bei x = 0 wird der Term-Wert –6.

18x – 6 = –24            |      + 6   <=>

18x = –18            |      : 18   <=>

x = –1

L = {–1}

Bei x = –1 wird der Term-Wert –24.

b)    

Verschiedene Terme mit Termwerten

Auch hier sollte man zunächst den Term vereinfachen.

Termumformung lineare Gleichung

Darauf kann man die jeweiligen x für die angegebenen Term-Werte ermitteln.

Termumformung lineare Gleichung

–x = 1            |      · (–1)  <=>

 x = –1

 L = {–1}

Bei x = –1 wird der Term-Wert

Bruchzahl

.

Äquivalenzumformung lineare Gleichung

–x = 0             |      · (–1)  <=>

x = 0

L = {0}

Bei x = 0 wird der Term-Wert

Negative Bruchzahl

.

Äquivalenzumformungen lineare Gleichung

 

L =

Bruchzahl

Bei

Variable als Bruchzahl

wird der Term-Wert –1.

 

Äquivalenzumformung lineare Gleichung

L =

Negative Bruchzahl

Bei

Variable als Bruchzahl

wird der Term-Wert 0.

c)     –92x + 1 + 100x – 1,2                 Wert: 0,6; –8,2; 3,8; –6,2

Diesen Term sollte man auch vorab vereinfachen.

 –92x + 1 + 100x – 1,2 = 8x – 0,2

Danach kann man diejenigen x für die angegebenen Term-Werte bestimmen.

8x – 0,2 = 0,6        |        + 0,2  <=>

8x = 0,8         |             : 8  <=>

x = 0,1

L = {0,1}

Bei x = 0,1 erhält man den Term-Wert 0,6.

8x – 0,2 = –8,2      |        + 0,2  <=>

8x = –8           |            : 8  <=>

x = –1

L = {–1}

Bei x = –1 wird der Term-Wert –8,2.

8x – 0,2 = 3,8        |        + 0,2  <=>

8x = 4            |            : 8   <=>

x = 0,5

Bei x = 0,5 erhält man den Term-Wert 3,8.

8x – 0,2 = –6,2      |        + 0,2  <=>

8x = –6          |            : 8   <=>

x = –0,75

L = {–0,75}

Bei x = –0,75 erhält man den Term-Wert –6,2. 

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