Gleichungen nehmen in der Schule in der Mathematik eine große Wichtigkeit ein, da diese untrennbare mit Funktionen verbunden sind. Und Funktionen bzw. später in der Oberstufe das nur um Funktionen kreisende Teilgebiet Analysis ist häufig Prüfungsthema im schriftlichen Mathe-Abitur. Daher sollte man möglichst fit sein bei Gleichungen, dann wird man auch fit sein bei Funktionen – und irgendwann bei der schriftlichen Abschlussprüfung in Mathematik ohne große Probleme Aufgabe für Aufgabe gut meistern.
Das Wichtigste bei Gleichungen sind hierbei die sogenannten Äquivalenzumformungen, das heißt eine Gleichung dahingehend zu verändern, dass die Aussage/das Wertverhältnis der Ursprungsgleichung/Ausgangsgleichung unverändert bleibt. Hat man das einmal gut verinnerlicht, dann wird man irgendwann auch wissen, wann eine ebenfalls notwendigerweise zu tätigende Umformung bei einer Gleichung KEINE Äquivalenzumformung (wie beispielsweise das Quadrieren) mehr ist.
Aufgaben zum Mathematik Stoffgebiet Gleichungen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle sofort durch bloßes Ablesen die Lösung der Gleichung.
a) x – 3,5 = 0
b) x + 5,3 = 0
c) z = 8
d) [latexpage] y + ${\frac{3}{4}}$ = 0
e) x = –5
f) 3 · a = 15
g) –x = ${\frac{7}{8}}$
h) x : 2,5 = 1,3
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme für jede Gleichung die Lösungsmenge.
a) (x – 5,4) · (x – 2,9) = 0
b) (z – 0,8) · (z + 6,2) = 0
c) (x + 7) · (x + 18) = 0
d) x · (x + 5) = 0
e) (x + 9) · (x – 4) · (x + ${\frac{1}{4}}$) = 0
f) (y – 2) · (7 + y) · y = 0
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib die Lösungsmenge der Gleichung an.
a) 0 · x = 5
b) 7 · x + 3 = 7 · x + 3
c) (–4) · x + 9 = (–4) · x + 9
d) ΙxΙ = –1
e) a² = a
f) 1 · y = y
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge.
a) 7 · (x – 5) = 84
b) (x + 31) : 2 = 23
c) 3 · (y + 2) = 12
d) (–3) · (3 · x – 9) = 81
e) (–2) · (y – 1) = 112
f) 6 · (–8 + 2 · x) = 144
g) 5 · (9 · y + 1) + 40 = 0
h) (2 · y + 1) : 3 + 5 = 6
i) 8 · (2 · x – 3) + 5 = –3
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Gleichungen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle sofort durch Ablesen die Lösung der Gleichung.
a) x – 3,5 = 0
Die Lösung der Gleichung ist hier x = 3,5. Dann ist die Gleichung gleich null.
b) x + 5,3 = 0
Hier ist die Lösung der Gleichung x = –5,3. Dann erhält die Gleichung eine „wahre“ Aussage.
c) z = 8
Die Lösung der Gleichung ist hier z = 8. Setzt man diesen Wert für z ein, so liefert die Gleichung die „wahre“ Aussage 8 = 8.
d) [latexpage] y + ${\frac{3}{4}}$ = 0
Die Lösung der Gleichung ist hier y = –${\frac{3}{4}}$. Dann wird nämlich die Gleichung gleich null.
e) x = –5
Hier ist die Lösung der Gleichung x = –5. Dann erhält man nämlich die „wahre“ Aussage –5 = –5.
f) 3 · a = 15
Die Lösung der Gleichung ist hier a = 5. Setzt man nämlich für a den Wert 5 in die Gleichung ein, so erhält man die „wahre“ Aussage 15 = 15.
g) –x = ${\frac{7}{8}}$
Hier ist die Lösung x =–${\frac{7}{8}}$ . Bekanntlich gibt nämlich „–“ „–“ = „+“. Daher ist – (–${\frac{7}{8}}$) = ${\frac{7}{8}}$ <=> ${\frac{7}{8}}$ = ${\frac{7}{8}}$.
h) x : 2,5 = 1,3
Hier kann man die Lösung der Gleichung auch zwar ablesen, man muss aber schon ein bisschen Kopfrechnen können. Man rechnet im Kopf 25 mal 13 = 325 geteilt durch 100 = 3,25. Die Lösung ist also hier x = 3,25.
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösung der Gleichung.
a) (x – 5,4) · (x – 2,9) = 0
Ein Produkt ist bekanntlich gleich null, wenn einer der beiden Faktoren gleich null ist. Daher ist die Lösung der Gleichung hier x1 = 5,4 und x2 = 2,9. Bei beiden x-Werten wird die Gleichung nämlich gleich null und liefert somit eine „wahre“ Aussage.
b) (z – 0,8) · (z + 6,2) = 0
Das Produkt ist hier gleich null bei z = 0,8 oder z = –6,2.
c) (x + 7) · (x + 18) = 0
Hier liefert x = –7 oder x = –18 eine „wahre“ Aussage der Gleichung.
d) x · (x + 5) = 0
Bei diesem Produkt komm null heraus, wenn x = 0 ist oder x = –5.
e) (x + 9) · (x – 4) · (x + ${\frac{1}{4}}$) = 0
Diese Produkt ist gleich null bei x = –9 oder x = 4 oder x = –${\frac{1}{4}}$.
f) (y – 2) · (7 + y) · y = 0
Das Prdoukt hier ist gleich null, wenn y = 2 oder y = –7 oder y = 0 ist.
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung.
a) 0 · x = 5 <=>
0 = 5
Die Gleichung liefert niemals eine „wahre“ Aussage. Daher ist die Lösungsmenge hier L = { } bzw. L = [latexpage] ${\varnothing}$.
b) 7 · x + 3 = 7 · x + 3
Da hier rechts und links der Gleichung der gleiche Term steht, liefert die Gleichung immer eine „wahre“ Aussage. Die Lösungsmenge ist daher hier L = R.
c) (–4) · x + 9 = (–4) · x + 9
Hier ist ebenso der Term rechts und links der Gleichung derselbe. Daher ist die Lösungsmenge hier wiederum L = R.
d) ΙxΙ = –1
Der Betrag von einer Zahl kann nie negativ sein. Daher liefert keine Zahl hier eine „wahre“ Aussage. Die Lösungsmenge ist hier deshalb L = { } bzw. L = [latexpage] ${\varnothing}$.
Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Zum Betrag siehe auch unter Zahlen das Unterkapitel Betrag an.
e) a² = a Ι : a <=> und a ≠ 0
Hier ist es schon ein wenig schwieriger, die Lösungsmenge der Gleichung zu ermitteln. Mithilfe von einer Umformung der Gleichung wird es aber sogleich um einiges klarer, was die Lösungen der Gleichung sind.
[latexpage] ${\frac{a^2}{a}$ = ${\frac{a}{a}$
a = 1
Da die Null ebenso eine Lösung der Gleichung ist, ergibt sich hier folgende Lösungsmenge. L = {0; 1}
f) 1 · y = y ´<=>
y = y
Da hier die Gleichung bei jeder Zahl immer eine „wahre“ Aussage liefert, ist hier die Lösungsmenge diese: L = R.
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Die Lösung der Gleichungen ermittelt man hier mittels Äquivalenzumformungen.
Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter Gleichungen 3. Äquivalenzumformungen bei Gleichungen an.
a) 7 · (x – 5) = 84 Ι : 7 <=>
x – 5 = 12 Ι + 5 <=>
x = 17
L = {17}
b) (x + 31) : 2 = 23 Ι · 2 <=>
x + 31 = 46 Ι – 31 <=>
x = 15
L = {15}
c) 3 · (y + 2) = 12 Ι : 3 <=>
y + 2 = 4 Ι – 2 <=>
y = 2
L = {2}
d) (–3) · (3 · x – 9) = 81 Ι : (–3) <=>
3 · x – 9 = –27 Ι + 9 <=>
3x = –18 Ι : 3 <=>
x = –6
L = {–6}
e) (–2) · (y – 1) = 112 Ι : (–2) <=>
y – 1 = –56 Ι + 1 <=>
y = –55
L = {–55}
f) 6 · (–8 + 2 · x) = 144 Ι : 6 <=>
–8 + 2 · x = 24 Ι + 8 <=>
2x = 32 Ι : 2 <=>
x = 16
L = {16}
g) 5 · (9 · y + 1) + 40 = 0 Ι – 40 <=>
5 · (9 · y + 1) = –40 Ι : 5 <=>
9 · y + 1 = –8 Ι – 1 <=>
9y = –9 Ι : 9 <=>
y = –1
L = {–1}
h) (2 · y + 1) : 3 + 5 = 6 Ι – 5 <=>
(2 · y + 1) : 3 = 1 Ι · 3 <=>
2 · y + 1 = 3 Ι – 1 <=>
2y = 2 Ι : 2 <=>
y = 1
L = {6}
i) 8 · (2 · x – 3) + 5 = –3 Ι – 5 <=>
8 · (2 · x – 3) = –8 Ι : 8 <=>
2 · x – 3 = –1 Ι + 3 <=>
2x = 2 Ι : 2 <=>
x = 1
L = {1}