„Ich habe heute wieder Funktionen abgelitten.“ Meint eine Schülerin oder ein Schüler diese Aussage ernst, so hat das Ableiten von Funktionen auf jeden Fall keine Freude bereitet. Und das ist nicht gut. Denn das sollte es aber! Hat man nämlich inMathe jegliche Algebra-Kenntnisse der vergangenen Schuljahre gut verinnerlicht, so sind Ableitungen für einen ein Klacks. Ein „Abgelitten“ kommt dann nämlich nicht ansatzweise vor. Vielmehr wendet man dann die verschiedenen Ableitungsregeln aus dem Effeff an und ist dann im Nu mit den Ableitungen der Funktionen fertig. Zurecht kann man dann auch happy auf sich sein, da man bereits das überaus wichtige Basiswissen zur Analysis beherrscht.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Analysis, Ableitungen von Funktionen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Es sind k, m, n Є [latexpage]${\mathbb Z}$. Bestimme jeweils die 1. Ableitung der Funktion.
a) f(x) = xk
b) f(x) = x5n
c) f(x) = x4k + 2
d) x3 – 4n
e) f(x) =[latexpage] ${\frac{1}{x^5^-^3^k}}$
f) f(x) =[latexpage] ${\frac{1}{x^-^2^m^n}}$
g) f(x) =[latexpage] ${\frac{1}{x^-(^k^-^4)}}$
h) f(x) =[latexpage] ${\frac{1}{x^3(^3^-^k)}}$
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Leite jede Funktion 3-mal ab.
a) f(x) = x5 + 4×4 – 3×3
b) f(x) = –4×6 + 2×5 – x2
c) f(x) = x3 + 1,2×2 – 10x
d) f(x) =[latexpage] ${\frac{5}{7}$x9 – 5×6 + ${\frac{7}{3}$x5
e) f(x) =[latexpage] ${\frac{1}{10}$x5 + ${\frac{4}{9}$x3 + 8
f) f(x) =[latexpage] ${\frac{1}{3}$x6 + ${\frac{6}{7}$x4 – ${\frac{2}{5}$x3
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Leite mittels der Produktregel ab.
a) f(x) = [latexpage] $\sqrt{\ {x}$ ∙ x
b) f(x) = x2 ∙[latexpage] $\sqrt{\ {x}$
c) f(k) = [latexpage] $\sqrt{\ {k}$ ∙ (3k + 2)
d) f(t) = [latexpage] $\sqrt{\ {t}$ ∙ (2t2 – 3)
e) f(t) = (1 – 2t3) ∙[latexpage] $\sqrt{\ {t}$
f) g(a) = 3a4 ∙ [latexpage] 4$\sqrt{\ {a}$
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wende die Quotientenregel für die 1. Ableitung an.
a) f(x) =[latexpage] ${\frac{x}{2x+3}$
b) f(x) =[latexpage] ${\frac{-x}{x^2+4}$
c) f(x) =[latexpage] ${\frac{3-x}{3+x}$
d) f(x) =[latexpage] ${\frac{1-x^2}{x+2}$
e) f(x) =[latexpage] ${\frac{2x}{1+3x}$
f) f(x) =[latexpage] ${\frac{3x^2-1}{x^2+4}$
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet: Analysis, Ableitungen von Funktionen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Nehme die 1. Ableitung der Funktion vor. k, m und n sind Є [latexpage]${\mathbb Z}$.
a) f(x) xk
f'(x) = k ∙ xk − 1 = kxk – 1
Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Bei allen Funktionen kann man die Potenzregel anwenden. Siehe hierzu auch unter Analysis/Ableitungsregeln, 2. Die Potenzregel an.
b) f(x) x5n
f'(x) = 5n ∙ x5n − 1 = 5nx5n − 1
c) f(x) = x4k + 2
f'(x) = (4k + 2) ∙ x4k + 2 − 1 = (4k + 2) ∙ x4k + 1
d) f(x) = x3 – 4n
f'(x) = (3 − 4n) ∙ x3 – 4n − 1 = (3 − 4n) ∙ x2 – 4n
e) f(x) =[latexpage] ${\frac{1}{x^5^-^3^k}}$ = x–5 + 3k
Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Bei den folgenden Aufgaben muss man erst den Bruch auflösen, um die Potenzregel anwenden zu können. Siehe hierzu auch unter Rechenoperationen/Potenzen 1. Bestandteile und Besonderheiten eine Potenz an.
f'(x) = (–5 + 3k) ∙ x–5 + 3k − 1 =
(–5 + 3k) ∙ x –6 + 3k
f) f(x) =[latexpage] ${\frac{1}{x^-^2^m^n}}$ = x2mn
f'(x) = (2mn) ∙ x2mn − 1
g) f(x) =[latexpage] ${\frac{1}{x^-(^k^-^4)}}$ = xk − 4
f'(x) = (k − 4) ∙ xk − 4 − 1 = (k − 4) ∙ xk − 5
h) f(x) =[latexpage] ${\frac{1}{x^3(^3^-^k)}}$ = x−3(3 –k) = x−9 + k
f'(x) = (−9 + k) ∙ x−9 + k − 1 = (−9 + k) ∙ x−10 + k
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Nehme 3-mal eine Ableitung der Funktion vor.
a) x5 + 4×4 – 3×3
f'(x) = 5 ∙ x5 − 1 + 4 ∙ 4 ∙ x4 − 1 – (3 ∙ 3) ∙ x3 − 1
= 5×4 + 16×3 – 9×2
f“(x) = 5 ∙ 4 ∙ x4 − 1 + 16 ∙ 3 ∙ x3 − 1 – (9 ∙ 2) ∙ x2 − 1
= 20×3 + 48×2 – 18x
f“'(x) = 20 ∙ 3 ∙ x3 − 1 + 48 ∙ 2 ∙ x2 − 1 – (18 ∙ 1) ∙ x1 − 1
= 60×2 + 96x – 18
b) f(x) = –4×6 + 2×5 – x2
f'(x) = –4 ∙ 6 ∙ x6 − 1 + 2 ∙ 5 ∙ x5 − 1 – 2 ∙ x2 − 1
= –24×5 + 10×4 – 2x
f“(x) = –24 ∙ 5 ∙ x5 − 1 + 10 ∙ 4×4 − 1 – (2 ∙ 1)x1 − 1
= 120×4 + 40×3 – 2
f“'(x) = 120 ∙ 4 ∙ x4 − 1 + 40 ∙ 3×3 − 1
= 480×3 + 120×2
c) f(x) = x3 + 1,2×2 – 10x
f'(x) = 3 ∙ x3 − 1 + 1,2 ∙ 2 ∙ x2 − 1 – (10 ∙ 1) ∙ x1 − 1
= 3×2 + 2,4x – 10
f“(x) = 3 ∙ 2 ∙ x2 − 1 + 2,4 ∙ 1 ∙ x1 − 1
= 6x + 2,4
f“'(x) = 6 ∙ 1 ∙ x1 − 1
= 6
Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Achte beim Ableiten darauf, dass die Ableitung einer konstanten Zahl immer null ergibt.
d) f(x) =[latexpage] ${\frac{5}{7}$x9 – 5×6 + ${\frac{7}{3}$x5
f'(x) = ${\frac{5}{7}$ ∙ 9 ∙ x9 − 1 – (5 ∙ 6) ∙ x6 − 1 + ${\frac{7}{3}$ ∙ 5 ∙ x5 − 1
= ${\frac{45}{7}$x8 – 30×5 + ${\frac{35}{3}$x4
f“(x) = ${\frac{45}{7}$ ∙ 8 ∙ x8 − 1 – (30 ∙ 5) ∙ x5− 1 + ${\frac{35}{3}$ ∙ 4 ∙ x4 − 1
= ${\frac{360}{7}$x7 – 150×4 + ${\frac{140}{3}$x3
f“'(x) = ${\frac{360}{7}$ ∙ 7 ∙ x7 − 1 – (150 ∙ 4) ∙ x4 − 1 + ${\frac{140}{3}$ ∙ 3 ∙ x3 − 1
= ${\frac{2520}{7}$x6 – 600×3 + ${\frac{420}{3}$x2
e) f(x) =[latexpage] ${\frac{1}{10}$x5 + ${\frac{4}{9}$x3 + 8
f'(x) = ${\frac{1}{10}$ ∙ 5 ∙ x5 − 1 + ${\frac{4}{9}$ ∙ 3 ∙ x3 − 1
= ${\frac{5}{10}$x4 + ${\frac{12}{9}$x2 = ${\frac{1}{2}$x4 + ${\frac{4}{3}$x2
f“(x) = ${\frac{1}{2}$ ∙ 4 ∙ x4 − 1 + ${\frac{4}{3}$ ∙ 2 ∙ x2 − 1
= ${\frac{4}{2}$x3 + ${\frac{8}{3}$x = 2×3 + ${\frac{8}{3}$x
f“'(x) = 2 ∙ 3 ∙ x3 − 1 + ${\frac{8}{3}$ ∙ 1 ∙ x1 − 1
= 6×2 + ${\frac{8}{3}$
f) f(x) =[latexpage] ${\frac{1}{3}$x6 + ${\frac{6}{7}$x4 – ${\frac{2}{5}$x3
f'(x) = ${\frac{1}{3}$ ∙ 6 ∙ x6 − 1 + ${\frac{6}{7}$ ∙ 4 ∙ x4 − 1 – (${\frac{2}{5}$) ∙ 3 ∙ x3 − 1
= ${\frac{6}{3}$x5 + ${\frac{24}{7}$x3 – ${\frac{6}{5}$x2 = 2×5 + ${\frac{24}{7}$x3 – ${\frac{6}{5}$x2
f“(x) = 2 ∙ 5 ∙ x5 − 1 + ${\frac{24}{7}$ ∙ 3 ∙ x3 − 1 – ${\frac{6}{5}$ ∙ 2 ∙ x2 − 1
= 10×4 + ${\frac{72}{7}$x2 – ${\frac{12}{5}$x
f“'(x) = 10 ∙ 4 ∙ x4 − 1 + ${\frac{72}{7}$ ∙ 2 ∙ x2 − 1 – ${\frac{12}{5}$ ∙ 1 ∙ x1 − 1
= 40×3 + ${\frac{144}{7}$x – ${\frac{12}{5}$
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wende die Produktregel zum Ableiten an.
a) f(x) = [latexpage] $\sqrt{\ {x}$ ∙ x = $x^{\frac{1}{2}}$ ∙ x
Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Siehe zum Auflösen einer Wurzel hin zu einer Potenz auch, Rechenoperationen, Wurzeln, 3. Die Erweiterung des Potenzbegriffs: auf gebrochen rationale Exponenten an.
f'(x) = ${\frac{1}{2}$ ∙ $x^{\frac{1}{2}}^-^1$ ∙ x + $x^{\frac{1}{2}}$ ∙ 1 ∙ x1 − 1
= ${\frac{1}{2}$$x^-^{\frac{1}{2}}$ ∙ x + $x^{\frac{1}{2}}$
= [latexpage] ${\frac{1}{2}}$[latexpage] $x^-^{\frac{1}{2}\ +1}$ + $x^{\frac{1}{2}}$
= [latexpage] ${\frac{1}{2}}$[latexpage] $x^{\frac{1}{2}}$ + $x^{\frac{1}{2}}$
= [latexpage] ${\frac{1}{2}}$[latexpage] $\sqrt{\ {x}$ + [latexpage] $\sqrt{\ {x}$
= [latexpage] ${\frac{3}{2}}$[latexpage] $\sqrt{\ {x}$
b) f(x) = x2 ∙[latexpage] $\sqrt{\ {x}$ = x2 ∙ $x^-^{\frac{1}{2}}$
f'(x) = 2 ∙ x2 − 1 ∙ $x^{\frac{1}{2}}$ + x2 ∙ $x^{\frac{1}{2}\ -1}$ = 2x ∙ $x^{\frac{1}{2}}$ +x2 ∙ $x^-^{\frac{1}{2}}$ = 2x ∙ $\sqrt{\ {x}$ + x2 ∙[latexpage] ${\frac{1}{\sqrt{x}}$ =[latexpage] ${\frac{x^2}{\sqrt{x}}$ + 2x$\sqrt{\ {x}$
c) f(k) = [latexpage] $\sqrt{\ {k}$ ∙ (3k + 2) = $k^{\frac{1}{2}}$ ∙ (3k + 2)
f'(k) = ${\frac{1}{2}$ ∙ $k^{\frac{1}{2}}^-^1$ ∙ (3k + 2) + $k^{\frac{1}{2}}$ ∙ 3
= ${\frac{1}{2}$ ∙ $k^-^{\frac{1}{2}}$ ∙ (3k + 2) + 3$k^{\frac{1}{2}}$
= ${\frac{3}{2}$k ∙ $k^-^{\frac{1}{2}}$ + ${\frac{2}{2}$ ∙ $k^-^{\frac{1}{2}}$ + 3$k^{\frac{1}{2}}$
= ${\frac{3}{2}$ ∙ $k^-^{\frac{1}{2}\ +1}$ + $k^-^{\frac{1}{2}}$ + 3$k^{\frac{1}{2}}$
= ${\frac{3}{2}$ $k^{\frac{1}{2}}$ + $k^-^{\frac{1}{2}}$ + 3$k^{\frac{1}{2}}$
= 4,5$k^{\frac{1}{2}}$ + $k^-^{\frac{1}{2}}$ = 4,5[latexpage] $\sqrt{\ {k}$ + [latexpage] ${\frac{1}{\sqrt{k}}$
d) f(t) = [latexpage] $\sqrt{\ {t}$ ∙ (2t2 – 3) = $t^{\frac{1}{2}}$ ∙ (2t2 – 3)
f'(t) = ${\frac{1}{2}$ ∙ $t^{\frac{1}{2}}^-^1$ ∙ (2t2 – 3) + [latexpage] $\sqrt{\ {t}$ ∙ 2 ∙ t2 − 1
= ${\frac{1}{2}$ ∙ $t^-^{\frac{1}{2}}$ ∙ 2t2 + ${\frac{1}{2}$ ∙ $t^-^{\frac{1}{2}}$ ∙ (–3) + [latexpage] $\sqrt{\ {t}$ ∙ 2 ∙ t
= $t^-^{\frac{1}{2}}$ ∙ t2 – ${\frac{3}{2}$ ∙ $t^-^{\frac{1}{2}}$ + 2 ∙[latexpage] $\sqrt{\ {t}$ ∙ t
= $t^-^{\frac{1}{2}}^+^2$ – ${\frac{3}{2}$ ∙ $t^-^{\frac{1}{2}}$ + 2 ∙[latexpage] $t^{\frac{1}{2}}^+^1$
= $t^{\frac{1}{2}}$ – ${\frac{3}{2}$ ∙ $t^-^{\frac{1}{2}}$ + 2 ∙[latexpage] $t^{\frac{3}{2}}$
= [latexpage] $\sqrt{\ {t}$ – [latexpage] ${\frac{3}{2\sqrt{k}}$ + 2 $\sqrt[2]{t^3}$
e) f(t) = (1 – 2t3) ∙[latexpage] $\sqrt{\ {t}$ = (1 – 2t3) ∙ $t^{\frac{1}{2}}$
f'(t) = (–2) ∙ 3 ∙ t3 − 1 ∙[latexpage] $\sqrt{\ {t}$ + (1 – 2t3) ∙ ${\frac{1}{2}$ ∙ $t^{\frac{1}{2}}^-^1$
= –6 ∙ t2 ∙[latexpage] $\sqrt{\ {t}$ + 1 ∙ ${\frac{1}{2}$ ∙ $t^-^{\frac{1}{2}}$ – 2t3 ∙ $t^-^{\frac{1}{2}}$
= –6 ∙[latexpage] $t^2^+^{\frac{1}{2}}$ + ${\frac{1}{2}$ ∙ $t^-^{\frac{1}{2}}$ – 2$t^3^-^{\frac{1}{2}}$
= –6 ∙[latexpage] $t^{\frac{5}{2}}$ + ${\frac{1}{2}$ ∙ $t^-^{\frac{1}{2}}$ – 2$t^{\frac{5}{2}}$
= –8 ∙[latexpage] $t^{\frac{5}{2}}$ + ${\frac{1}{2}$ ∙ $t^-^{\frac{1}{2}}$
= –8 $\sqrt[2]{t^5}$ + ${\frac{1}{2}$ [latexpage] ${\frac{1}{\sqrt{t}}$
f) g(a) = 3a4 ∙ [latexpage] 4$\sqrt{\ {a}$ = 3a4 ∙ 4 ∙ $a^{\frac{1}{2}}$
g'(a) = 3 ∙ 4a4 − 1 ∙ [latexpage] 4 ∙ $a^{\frac{1}{2}}$ + 3a4 ∙ 4 ∙ ${\frac{1}{2}$ ∙ $a^{\frac{1}{2}}^-^1$
= 36 ∙ a3 ∙ $a^{\frac{1}{2}}$ + 6 ∙ a4 ∙ $a^-^{\frac{1}{2}}$
= 36 $a^3^+^{\frac{1}{2}}$ + 6$a^4^-^{\frac{1}{2}}$
= 36 $a^{\frac{7}{2}}$ + 6$a^{\frac{7}{2}}$
= 42 $a^{\frac{7}{2}}$
= 42 $\sqrt[2]{t^7}$
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Leite mittels der Quotientenregel ab.
a) f(x) =[latexpage] ${\frac{x}{2x+3}$
f'(x) = [latexpage] ${\frac{1\ {\cdot}\ x^1^-^1\ {\cdot}\ (2x+3)-(x)\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 1\ {\cdot}\ x^1^-^1}{(2x+3)^2}$
= [latexpage] ${\frac{2x+3-2x}{(2x+3)^2}$
= [latexpage] ${\frac{3}{(2x+3)^2}$
Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Siehe hierzu auch unter dem Stoffgebiet Analysis und dem Untergebiet Ableitungsregeln den Punkt 5. Die Quotientenregel an.
b) f(x) =[latexpage] ${\frac{-x}{x^2+4}$
f'(x) = [latexpage] ${\frac{-1\ {\cdot}\ x^1^-^1\ {\cdot}\ (x^2+4)-(-x)\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}x^2^-^1}{(x^2+4)^2}$
=[latexpage] ${\frac{-x^2-4+2x^2}{(x^2+4)^2}$
=[latexpage] ${\frac{-4+x^2}{(x^2+4)^2}$
=[latexpage] ${\frac{x^2-4}{(x^2+4)^2}$
c) f(x) =[latexpage] ${\frac{3-x}{3+x}$
f'(x) =[latexpage] ${\frac{-1\ {\cdot}\ x^1^-^1\ {\cdot}\ (3+x)-(3-x)\ {\cdot}\ 1\ {\cdot}x^1^-^1}{(3+x)^2}$
=[latexpage] ${\frac{-3-x-3+x}{(3+x)^2}$
=[latexpage] ${\frac{-6}{(3+x)^2}$
d) f(x) =[latexpage] ${\frac{1-x^2}{x+2}$
f'(x) =[latexpage] ${\frac{-2\ {\cdot}\ x^2^-^1\ {\cdot}\ (x+2)-(1-x^2)\ {\cdot}\ 1\ {\cdot}x^1^-^1}{(x+2)^2}$
=[latexpage] ${\frac{-2x-4-1+x^2}{(x+2)^2}$
=[latexpage] ${\frac{-2x-5+x^2}{(x+2)^2}$
=[latexpage] ${\frac{x^2-2x-5}{(x+2)^2}$
e) f(x) =[latexpage] ${\frac{2x}{1+3x}$
f'(x) =[latexpage] ${\frac{2\ {\cdot}\ 1\ {\cdot}\ x^1^-^1\ {\cdot}\ (1+3x)-(2x)\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}\ 1\ {\cdot}\ x^1^-^1}{(1+3x)^2}$
=[latexpage] ${\frac{2+6x-6x}{(1+3x)^2}$
=[latexpage] ${\frac{2}{(1+3x)^2}$
f) f(x) =[latexpage] ${\frac{3x^2-1}{x^2+4}$
f'(x) =[latexpage] ${\frac{3\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ x^2^-^1\ {\cdot}\ (x^2+4)-(3x^2-1)\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ x^2^-^1}{(x^2+4)^2}$
=[latexpage] ${\frac{6x\ {\cdot}\ (x^2+4)-(3x^2-1)\ {\cdot}\ 2x}{(x^2+4)^2}$
=[latexpage] ${\frac{6x^3+24x-6x^3+2x}{(x^2+4)^2}$
=[latexpage] ${\frac{26x}{(x^2+4)^2}$