Geht es in Mathe mit Ableitungen von Funktionen los, dann ist die Oberstufenzeit in diesem Fach eingeläutet – und natürlich auch allgemein, was der eigene schulische Werdegang angeht. Die mit Abstand längste Zeit hat man dann in der jetzigen Lehranstalt verbracht. Deshalb gilt es nicht mehr allzu weit von der Zielgeraden hin zum Abitur noch einmal in allen Fächern besonders aufzupassen. In Mathematik trifft das zunächst ganz besonders auf die Analysis zu. Normalerweise wird man nämlich auch über dieses sehr umfangreiche Teilgebiet der Mathematik sein schriftliches Mathe-Abitur ablegen müssen. Das Gute an der Analysis ist aber, dass viele Aufgaben nach einem bestimmten Schema gelöst werden (wie das übrigens bei kleineren Mathe-Stoffgebieten ebenso der Fall war 😉 bzw. ist).
Aufgaben zum Mathe Stoffgebiet Analysis, Ableitung von Funktionen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die 1. Ableitung der Funktion.
a) f(x) = x3
b) f(x) = x8
c) f(x) = x38
d) f(x) =x–3
e) f(x) = x–15
f) f(x) = x–209
g) f(x) = x0
h) f(x) = [latexpage] = ${\frac{1}{{x^3}}$
i) f(x) = [latexpage] = ${\frac{1}{{x^–^5}}$
j) f(x) = [latexpage] = ${\frac{1}{{x^–^2^3^4}}$
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Gebe die 1. Ableitung von den Funktionen an.
a) f(x) = x4 + x2
b) f(x) = x5 + x –3
c) f(x) = x2 + [latexpage] $\sqrt{\ {x}$
d) f(x) = 3x4
e) f(x) = x –5 + [latexpage] ${\frac{1}{x}$
f) f(x) = [latexpage] $\sqrt{\ {8x}$
g) f(x) =[latexpage] ${\frac{-3}{x^4}$
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wende, falls möglich, die Potenzregel an und bestimme die 1. Ableitung der Funktion. Begründe die Richtigkeit der Ableitungsregel.
a) f(x) = (x3)2
b) f(x) = (x–4)2
c) f(x) = [latexpage] $x^{\frac{2}{5}}$
d) f(x) = [latexpage] ($x^{\frac{1}{4}}$)8
e) f(x) = x5,5
f) f(x) = [latexpage] ($x^{\sqrt{2}}$)2
g) f(x) = [latexpage] (${\frac{1}{x^-^4}}$)0,1
h) f(x) = [latexpage] (${\frac{1}{x^-^2}}$)2,5
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Leite die Funktion 1-mal ab.
a) f(x) = 3x5 + 7x2
b) f(x) = 4,5x5 – 0,5x4
c) f(x) = 8x3 + 6 ∙ [latexpage] $\sqrt{\ {x}$
d) f(x) = [latexpage] –(${\frac{6}{x^4}}$) + 8 ∙ [latexpage] $\sqrt{\ {4x}$
e) f(x) = [latexpage] $\sqrt{\ {4}$x + [latexpage] $\sqrt{\ {4x}$
f) [latexpage] ${\frac{4}{x^4}$ + [latexpage] ${\frac{-3}{x^3}$
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet: Analysis, Ableitung von Funktionen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die 1. Ableitung bei der gegeben Funktion.
a) f(x) x3
f'(x) = 3 · x3 – 1 = 3x2
Bei allen Aufgaben muss man die Potenzregel anwenden. Siehe hierzu auch unter dem Punkt Analysis, den Unterpunkt Ableitungsregeln, 2. Die Potenzregel.
b) f(x) = x8
f'(x) = 8 · x8 – 1 = 8x7
c) f(x) = x38
f'(x) = 38 · x38 – 1 = 38x37
d) f(x) x –3
f'(x) = (–3) · x–3 – 1 = –3x–4
e) f(x) = x–15
f'(x) = –15 · x–15 – 1 = –15 · x–16
f) f(x) = x –209
f'(x) = –209 · x –209 – 1 = –209x –210
g) f(x) = x0 = 1
f'(x) = 0
Die Ableitung von einer konstanten Zahl ergibt immer 0.
h) f(x) = [latexpage] = ${\frac{1}{{x^3}}$ = x –3
Hier muss man erst den Bruch auflösen, indem man die Potenz umwandelt.
f'(x) = (–3) · x –3 – 1 = –3x –4
Siehe hierzu auch unter dem Stoffgebiet Rechenoperationen, den Unterpunkt Potenzen, 1. Bestandsteile und Besonderheiten einer Potenz an.
i) f(x) = [latexpage] = ${\frac{1}{{x^–^5}}$ = x5
f'(x) = 5 · x5 – 1 = 5×4
j) f(x) = [latexpage] = ${\frac{1}{{x^–^2^3^4}}$ = x234
f'(x) = 234 · x234 – 1 = 234×233
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die 1. Ableitung der Funktion.
a) f(x) = x4 + x2
Hier muss man die Summenregel anwenden, wie bei allen weiteren Aufgaben, wo eine Summe vorliegt. Hierbei muss jeder Summand einzeln wiederum nach der Potenzregel abgeleitet werden.
f'(x= = 4 · x4 – 1 + 2 · x2 – 1 = 4×3 + 2x
b) x5 + x –3
f'(x) = 5 · x5 – 1 + (–3) · x–3 – 1 = 5×4 – 3x –4
c) f(x)= x2 + [latexpage] $\sqrt{\ {x}$
Hier muss man erst die Wurzel hin zu einer Potenz umformen, um die Summenregel anwenden zu können.
f(x) = x2 + [latexpage] $\sqrt{\ {x}$ = x2 + [latexpage] $x^{\frac{1}{2}}$
f'(x) = 2×2 – 1 + ${\frac{1}{2}}$ ·[latexpage] $x^{\frac{1}{2}-1}$ = 2x + ${\frac{1}{2}}$ [latexpage]$x^-^{\frac{1}{2}}$
Siehe hierzu ebenso unter Rechenoperationen, Wurzeln, 3. Die Erweiterung des Potenzbegriffs: auf gebrochen rationale Exponenten
d) 3×4
Hier muss die Faktorregel angewendet werden, in Kombination mit der Potenzregel.
f'(x) = 3 · 4 · x4 – 1 = 12×3
Siehe hierzu auch: Analysis, Ableitungsregeln, 3. Die Summenregel und die Faktorregel
e) f(x) = x –5 + [latexpage] ${\frac{1}{x}$ = x –5 + x –1
f'(x) = (–5) · x –5 – 1 + (–1) · x –1 – 1 = –5x –6 – x –2
f) [latexpage] $\sqrt{\ {8x}$ = [latexpage] $8x^{\frac{1}{2}}$
f'(x) = [latexpage] ${\frac{1}{2}$ · $8x^{\frac{1}{2}-1}$ = $4x^-^{\frac{1}{2}}$
g) f(x) =[latexpage] ${\frac{-3}{x^4}$ = (–3) · x –4
f'(x) = (–3) · (–4) · x –4 – 1 = 12x –5
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Begründe die korrekte Anwendung der Potenzregel zur 1. Ableitung.
a) f(x) = (x3)2 = x3 · 2 = x6
Hier muss man erst das Potenzgesetz anwenden, wenn ein Exponent über dem anderen steht, bei malgenommen werden dürfen. Danach kann man die Potenzregel anwenden.
f'(x) = 6 · x6 – 1 = 6×5
b) f(x) = (x–4)2 = x(–4) · 2 = x–6
Hier gilt das Gleiche Potenzgesetz wie bei Aufgabe a). Danach kann man die 1. Ableitung vornehmen.
f'(x) = (–6) · x–6 – 1 = –6x–7
c) [latexpage] $x^{\frac{2}{5}}$
Hier kann man sofort mit der Ableitung beginnen.
f'(x) = ${\frac{2}{5}}$ · $x^{\frac{2}{5}-1}$ = ${\frac{2}{5}}$$x^-^{\frac{3}{5}}$
d) f(x) = [latexpage] ($x^{\frac{1}{4}}$)8 = $x^{\frac{1\ {\cdot}\ 8}{4}}$ = $x^{\frac{8}{4}}$ = x2
Hier gilt das Gleiche Potenzgesetz wie bei a).
f'(x) = 2 · x2 – 1 = 2x
e) f(x) = x5,5
Hier kann man sofort die Potenzregel anwenden.
f'(x) = 5,5 · x5,5 – 1 = 5,5×4,5
f) f(x) = [latexpage] ($x^{\sqrt{2}}$)2 = $x^{\frac{1}{2}}$2 = $x^{\frac{1\ {\cdot}\ 2}{2}}$ = $x^{\frac{2}{2}}$ = x1
Hier muss man erst die Wurzel hin zu eine Potenz auflösen, dann kann man das gleiche Potenzgesetz wie bei Aufgabe a) anwenden.
f'(x) = 1 · x1 – 1 = 1×0 = 1
g) f(x) = [latexpage] (${\frac{1}{x^-^4}}$)0,1 = (x4)0,1 = x4 ·0,1 = x0,4
Hier muss man zunächst die Potenzschreibweise ändern, danach kann man das Potenzgesetz wie in Aufgabe a) heranziehen. Danach kann man das Potenzregel für die 1. Ableitung verwenden.
f'(x) = 0,4 · x0,4 – 1 = 0,4x–0,6 = [latexpage] ${\frac{0,4}{x^0^,^6}}$
h) f(x) = [latexpage] (${\frac{1}{x^-^2}}$)2,5 = (x2)2,5 = x2 · 2,5 = x5
Hier muss man wiederum zunächst eine andere Potenzschreibweise verwenden. Dann kann man das Potenzgesetz wie bei Aufgabe a) heranziehen. Die Potenzregel für die 1. Ableitung kann man darauf machen.
f'(x) = 5 · x5 – 1 = 5×4
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die 1. Ableitung der Funktion
a) f(x) = 3×5 + 7×2
Die Funktion wird nach der Summenregel abgleitet.
f'(x) = 3 · 5 · x5 – 1 + 7 · 2 · x2 – 1 = 15×4 + 14x
b) f(x) = 4,5x5 – 0,5×4
Auch hier muss man die Summenregel anwenden.
f'(x) = 4,5 · 5 · x5 – 1 – (0,5 · 4) · x4 – 1 = 22,5×4 – 2x3
c) f(x) = 8x3 + 6 ∙ [latexpage] $\sqrt{\ {x}$ = 8x3 + 6 ∙ $x^{\frac{1}{2}}$
Bevor man die Summenregel anwenden kann, muss man die Wurzel hin zu eine Potenz hin auflösen.
f'(x) = 8 · 3 · x3 – 1 + 6 ∙ ${\frac{1}{2}}$ ∙ $x^{\frac{1}{2}}$ – 1 = 24×2 + $3x^-^{\frac{1}{2}}$
d) f(x) = [latexpage] –(${\frac{6}{x^4}}$) + 8 ∙ [latexpage] $\sqrt{\ {4x}$ = –6x–4 + 8 ∙[latexpage] $\sqrt{\ {4}$ ∙[latexpage] $\sqrt{\ {x}$ = –6x–4 + 8 ∙ 2 ∙ $x^{\frac{1}{2}}$ = –6x–4 + 16$x^{\frac{1}{2}}$
Hier muss man zum einen die Potenzschreibweise des ersten Terms ändern, zum anderen das Produkt unter der Wurzel in zwei Wurzeln hin auflösen und schließlich die übrig gebliebene Wurzel hin zu einer Potenz auflösen. Dann kann man die Summenregel anwenden.
f'(x) = (–6) ∙ (–4)x–4 – 1 + 16 ∙ ${\frac{1}{2}}$ ∙ $x^{\frac{1}{2}}$ – 1 = 24x–5 + $8x^-^{\frac{1}{2}}$
e) f(x) = [latexpage] $\sqrt{\ {4}$x + [latexpage] $\sqrt{\ {4x}$ = [latexpage] $\sqrt{\ {4}$x + $4x^{\frac{1}{2}}$
Es gilt hier erst wiederum die eine Wurzel hin zu einer Potenz hin umzuwandeln, danach kann die Potenzregel angewendet werden. Die Wurzel mit einer konstanten Zahl zählt als Faktor vor der Variablen und kann daher unverändert so stehen bleiben.
f'(x) = 1 ∙ [latexpage] $\sqrt{\ {4}$x 1 – 1 + 4 ∙ [latexpage] ${\frac{1}{2}}$ ∙ $x^-^{\frac{1}{2}}$ – 1 = [latexpage] $\sqrt{\ {4}$x0 + $2x^-^{\frac{1}{2}}$ = [latexpage] $\sqrt{\ {4}$ + $2x^-^{\frac{1}{2}}$
f) [latexpage] ${\frac{4}{x^4}$ + [latexpage] ${\frac{-3}{x^3}$ = 4x– 4 – 3x– 3
Hier müssen erste die Potenzen in der anderen Potenzschreibweise dargestellt werden, darauf kann die Potenzregel angewendet werden.
f'(x) = 4 ∙ (–4) ∙ x– 4 – 1 + (–3) ∙ (–3) ∙ x– 3 – 1 = –16x– 5 + 9x– 4