Kategorie: Mathematik

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Bruchtermen, Teil 3

Bruchterme entknoten © I-vista / PIXELIO

Bei einem Bruchterm in Mathe ist oftmals die Definitionsmenge – die Menge aller für den Bruchterm zulässigen Zahlen – eingeschränkt. Das liegt an dem Bruch, den Bruchterme vorweisen. Ist nämlich eine oder mehrere Variablen bei dem Bruchterm im Nenner befindlich, so besteht je nach eingesetzter Zahl die „Gefahr“, dass der Nenner gleich null wird. Bereits beim Bruchrechnen hat man im Fach Mathematik aber bereits gelernt: Der Nenner eines Bruchs darf niemals gleich null werden! Daher müssen bei Bruchtermen bei der Definitionsmenge alle Zahlen ausgeschlossen werden, die den Nenner des Bruchs gleich null werden lassen. Klingt logisch, oder? Die genaue Definitionsmenge ermittelt man nun, indem man den Nenner wie eine Gleichung auffasst – und die man gleich null setzt. Alle Ergebnisse, die nun die Gleichung erfüllen, müssen bei der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Klingt ebenfalls logisch, oder?

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen, Teil 5

Bei Gleichungen in Mathe den algebraisch korrekten Weg einschlagen © M.E. / PIXELIO

Bei Gleichungen ist es als Erstes zentral, dass man jegliche Produkte richtig ausklammert. Hier ist ganz besonders Acht zu geben auf die geltende Vorzeigenregel. Wichtig ist hierbei aber auch, dass man alle Einzelterme miteinander ausmultipliziert – und keinen vergisst. Ein Vorzeichen nicht korrekt „umwandeln“ oder einen Einzelterm vergessen, passiert nämlich sehr oft. Das ist in Mathe dann immer ein Ausdruck von mangelnder Routine. Aber auch beim Zusammenfassen gleichartiger Einzelterme darf einem kein Fehler passieren. Einzelterme, die den gleichen Buchstaben und die gleiche Potenz vorweisen sowie Zahlen ohne Variable dürfen zusammengefasst werden – alles andere ist algebraisch inkorrekt und daher falsch. Entstehen hier bereits Fehler, so ärgert man sich selbst hierüber am meisten – da diese schlichtweg dumme Fehler sind.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen, Teil 4

Der beste Lösungsweg für quadratische Gleichungen hängt von der jeweiligen Gleichung ab © S. Hofschlaeger / PIXELIO

In Mathe bei quadratischen Gleichungen die Lösungsmenge mittels pq-Formel oder quadratischen Ergänzens zu bestimmen, macht nur Sinn, wenn die quadratische Gleichung alle Glieder vorweist. Konkret heißt das: Liegt eine quadratische Gleichung mit einem quadratischen Glied/„ax²“, mit einem linearen Glied/„bx“ und einem absoluten Glied/„c“ vor, dann muss man obige Lösungsverfahren anwenden. Fehlt hingegen mindestens das lineare Glied oder das absolute Glied, dann löst man die quadratische Gleichung immer anders. Auch Ökonomie ist im Fach Mathematik sehr wichtig, da dies eine nicht zu unterschätzende Zeitersparnis mit sich bringt. Je mehr Routine man aber im Lösen von quadratischen Gleichungen hat, desto mehr wird man aber auch automatisch stets das beste Lösungsverfahren, sprich das am ökonomischsten, anwenden.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Strahlensätzen, Teil 1

Strahlensätze – erste Darstellung

Kommen in Mathe vier Geraden vor, die in ganz bestimmter Beziehung zueinander stehen, so ergeben sich hieraus bestimmte Gesetzmäßigkeiten – die Strahlensätze. Bei den vier Geraden muss hierbei Folgendes gewährleistet sein: Zwei Geraden müssen sich in einem Punkt schneiden, die zwei anderen Gerade müssen parallel zueinander verlaufen und diese beiden Geraden jeweils schneiden. Liegt solch eine Konstellation von vier Geraden vor – dann kann man hieraus die sogenannten Strahlensätze ableiten. Bei den Strahlensätzen handelt es sich hierbei um Ähnlichkeitsverhältnisse zwischen Strecken, die mittels Quotientengleichungen wiedergegeben werden können.

Diese zwei Strahlensätze gibt es:

1. Strahlensatz:

$\frac{\overline{\mathrm{ZA}}}{\overline{\mathrm{ZA}^{\prime}}}$ = $\frac{\overline{\mathrm{ZB}}}{\overline{\mathrm{ZB}^{\prime}}}$     bzw:    

$\frac{\overline{\mathrm{ZA}}}{\overline{\mathrm{AA}^{\prime}}}$ = $\frac{\overline{\mathrm{ZB}}}{\overline{\mathrm{BB}^{\prime}}}$

2. Strahlensatz:

$\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}}}$ = $\frac{\overline{\mathrm{ZA}}}{\overline{\mathrm{Z}\mathrm{A}^{\prime}}}$

bzw:  

$\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}}}$ = $\frac{\overline{\mathrm{ZB}}}{\overline{\mathrm{Z}\mathrm{B}^{\prime}}}$

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Flächeninhalt von Vielecken, Teil 2

Ein ärmlich eingerichtetes Klassenzimmer in Brasilien © Gerhard Prantl PIXELIO

In der Realität wird man unentwegt mit Flächen konfrontiert. Schon alleine der Boden, auf dem man sich zuhause bewegt, stellt eine Fläche dar. Die Wände ebenso. Spätestens in der Schule bekommt man ein Flächen-Dé­jà-vu. Dort befindet man sich ja auch in Räumen und diese bestehen ja wie das eigene Zuhause aus Böden und Wänden. Jede ebene Abgrenzung besteht nämlich aus Flächen, die man auch – und nun kommt der Switch zu Mathe – natürlich berechnen kann. In der Mathematik nennt man eine zu berechnende Fläche Flächeninhalt. Die Berechnung des Flächeninhalts hängt hierbei maßgeblich davon ab, um welche Fläche es sich handelt. Mit der richtigen Formel, je nach Vieleck, sollte das aber in Mathe kein großes Problem darstellen, den Flächeninhalt zu berechnen. Genauso verhält es sich übrigens mit dem Umfang. Der Umfang ist ja bei der Fläche deren Begrenzung bzw. „der Weg, den man darum gehen kann“.

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