„Das kann doch nicht sein, dass in Mathe Brüche und Terme in Kombination auftreten. Hier handelt es wohl um einen schlechten Plot eines späteren genauso schlechten Films, der von einer schulischen Lehranstalt handelt, in welcher Schülerinnen und Schüler tagtäglich Mathematik-Materie schlucken müssen . Und der Grundkonflikt des Plots bzw. Films ist: die zu verdauende Mathe-Kost verträgt keiner.“ Solche Gedanken spuken vielleicht im Kopf eines Schülers herum, in dem sich bereits ein großes Interesse für das Medium Film zeigt und ein genauso großes Desinteresse für das Fach Mathematik. Nichtsdestotrotz handelt es bei Bruchtermen um nichts Fiktives. In diesem Mathe-Stoffgebiet wird nur tatsächlich das vorherige in Mathe Erlernte aus Brüchen und Termen kombiniert. Und da Bruchterme bei komplexeren Funktionen in der Analysis als Funktionsterm auftreten, sollte man hier möglichst gut aufpassen – dass man nicht irgendwann aufgrund eines permanenten Nichtversehens sich in Mathe nur noch wie in einem falschen Film vorkommt.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Bruchterme
1 Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle verschiedene Werte des Bruchterms und dessen Definitionsmenge.
Folgende Bruchterme sind gegeben: [latexpage] ${\frac{8}{x~–~2}}$ und [latexpage] ${\frac{x~+~4}{x\ {\cdot}\ (x ~+~1)}}$
Bei jedem Bruchterm sollen für x diese Zahlen eingesetzt werden: 3; 2; 1,5; 1; 0; –1; –2. Ermittle, so weit es möglich ist, den jeweiligen Term-Wert.
Gebe auch an, für welchen x-Wert beide Terme nicht definiert sind bzw. für welche x sind die Terme definiert.
2 Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gebe an für welche x der Term jeweils nicht definiert ist.
a) ${\frac{2x}{4\ {\cdot}\ (x~+~7)~-~6}}$
b) ${\frac{6x~+~2}{6(x~-~9)~+~6}}$
c) ${\frac{7x+8}{5\ {\cdot}\ (3x~-~9)~+~50}}$
d) ${\frac{6x^2+8}{x\ {\cdot}\ (3x~+~2)~-~3x^2~+~8}}$
e) ${\frac{7x~-~4}{2x~+~6x^2~-~2x\ {\cdot}\ (4~+~3x)~+~6}}$
f) ${\frac{-24x~+~8~+~16x^2}{4x\ {\cdot}\ (9x~-~2)~+~3\ {\cdot}\ (48~-~12x^2)}}$
3 Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Der Bruchterm ${\frac{x~+~y}{x~-~y}}$ ist gegeben. Welche Bedingung muss für x und y gelten, damit der Bruchterm definiert ist?
4 Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Lege dar, warum bei folgenden Bruchtermen als Definitionsmenge gilt: x Є [latexpage]${\mathbb Q}$.
a) ${\frac{4}{x^2~+~1}}$
b) ${\frac{2}{4~+~x^2}}$
c) ${\frac{x~+~2}{2(x~+~1)~-~2x}}$
d) ${\frac{4x~-~2}{1~+~x^4}}$
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Bruchterme
1 Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne verschiedene Werte des Bruchterms, gebe zudem seine Definitionsmenge an.
Diese beiden Bruchterme sind gegeben: [latexpage] ${\frac{8}{x~–~2}}$ und [latexpage] ${\frac{x~+~4}{x\ {\cdot}\ (x ~+~1)}}$
Für x sollen jeweils folgende Zahlen eingesetzt werden: 3; 2; 1,5; 1; 0; –1; –2.
So weit wie möglich soll der jeweilige Wert des Bruchterms berechnet werden.
Bei x = 3 ergibt sich:
[latexpage] ${\frac{8}{3~–~2}}$ = ${\frac{8}{1}}$ = 8
Bei x = 2 ergibt sich:
[latexpage] ${\frac{8}{2~–~2}}$ = nicht definiert/n.d.
Bei x = 1,5 ergibt sich:
[latexpage] ${\frac{8}{1,5~–~2}}$ = ${\frac{8}{-0,5}}$ = –16
Bei x = 1 ergibt sich:
[latexpage] ${\frac{8}{1~–~2}}$ = ${\frac{8}{-1}}$ = –8
Bei x = 0 ergibt sich:
[latexpage] ${\frac{8}{0~–~2}}$ = ${\frac{8}{-2}}$ = –4
Bei x = –1
[latexpage] ${\frac{8}{-1~–~2}}$ = ${\frac{8}{-3}}$ = –${\frac{8}{3}}$
Bei x = –2
[latexpage] ${\frac{8}{-2~–~2}}$ = ${\frac{8}{-4}}$ = –2
Die Definitionsmenge für den Term [latexpage] ${\frac{8}{x~–~2}}$ ist D = {x Є [latexpage]${\mathbb Q}$ Ι x ≠ 2} oder D = [latexpage]${\mathbb Q}$ \ {2}
Bei x = 3 ergibt sich:
[latexpage] ${\frac{3~+~4}{3\ {\cdot}\ (3 ~+~1)}}$ = ${\frac{7}{12}}$
Bei x = 2 ergibt sich:
[latexpage] ${\frac{2~+~4}{2\ {\cdot}\ (2 ~+~1)}}$ = ${\frac{6}{6}}$ = 1
Bei x = 1,5 ergibt sich:
[latexpage] ${\frac{1,5~+~4}{1,5\ {\cdot}\ (1,5 ~+~1)}}$ = ${\frac{5,5}{3,75}}$ = ${\frac{550}{375}}$ = ${\frac{22}{15}}$
Bei x = 1 ergibt sich:
[latexpage] ${\frac{1~+~4}{1\ {\cdot}\ (1 ~+~1)}}$ = ${\frac{5}{2}}$ = 2,5
Bei x = 0 ergibt sich:
[latexpage] ${\frac{0~+~4}{0\ {\cdot}\ (0 ~+~1)}}$ = nicht definiert/n. d.
Bei x = –1 ergibt sich:
[latexpage] ${\frac{–1~+~4}{–1\ {\cdot}\ (–1 ~+~1)}}$ = nicht definiert/n. d.
Bei x = –2 ergibt sich:
[latexpage] ${\frac{–2~+~4}{–2\ {\cdot}\ (–2 ~+~1)}}$ = ${\frac{2}{2}}$ = 1
Für den Term [latexpage] ${\frac{x~+~4}{x\ {\cdot}\ (x ~+~1)}}$ ist die Definitionsmenge: D = {x Є [latexpage]${\mathbb Q}$ Ι x ≠ –1 und x ≠ 0} oder D = [latexpage]${\mathbb Q}$ \ {–1; 0}
2 Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Gebe jeweils für jeden Bruchterm die Definitionsmenge an.
a) ${\frac{2x}{4\ {\cdot}\ (x~+~7)~-~6}}$
Um die Definitionsmenge zu bestimmen, muss man immer den Nenner des Bruchterms gleich null setzen. Die daraus entstehende Gleichung löst man dann nach der Variablen hin auf.
Zur Bestimmung der Definitionsmenge bei Bruchtermen siehe auch unter Gleichungen/Bruchterme 1.1 Die Definitionsmenge bei Bruchtermen
4 ∙ (x + 7) – 6 = 0
4x + 28 – 6 = 0
4x + 22 = 0 Ι – 22
4x = –22 Ι : 4
x = –5,5
D = {x Є [latexpage]${\mathbb Q}$ Ι x ≠ –5,5} oder D = [latexpage]${\mathbb Q}$ \ {–5,5}
b) ${\frac{6x~+~2}{6(x~-~9)~+~6}}$
6(x – 9) + 6 = 0
6x – 54 + 6 = 0
6x – 48 = 0 Ι + 48
6x = 48 Ι : 6
x = 8
D = {x Є [latexpage]${\mathbb Q}$ Ι x ≠ 8} oder D = [latexpage]${\mathbb Q}$ \ {8}
c) ${\frac{7x+8}{5\ {\cdot}\ (3x~-~9)~+~50}}$
5 ∙ (3x – 9) + 50 = 0
15x – 45 + 50 = 0
15x + 5 = 0 Ι – 5
15x = –5 Ι : 5
x = –${\frac{5}{15}}$ = –${\frac{1}{3}}$
D = {x Є [latexpage]${\mathbb Q}$ Ι x ≠ –${\frac{1}{3}}$} oder D = [latexpage]${\mathbb Q}$ \ {–${\frac{1}{3}}$}
Zum Kürzen von Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung/Erweitern und Kürzen 3. Das Kürzen eines Bruchs an.
d) ${\frac{6x^2+8}{x\ {\cdot}\ (3x~+~2)~-~3x^2~+~8}}$
x ∙ (3x + 2) – 3x² + 8 = 0
3x² + 2x – 3x² + 8 = 0
2x + 8 = 0 Ι – 8
2x = –8 Ι : 2
x = –4
D = {x Є [latexpage]${\mathbb Q}$ Ι x ≠ –4} oder D = [latexpage]${\mathbb Q}$ \ {–4}
e) ${\frac{7x~-~4}{2x~+~6x^2~-~2x\ {\cdot}\ (4~+~3x)~+~6}}$
2x + 6x² – 2x ∙ (4 + 3x) + 6 = 0
2x + 6x² – 8x – 6x² + 6 = 0
–6x + 6 = 0 Ι + 6x
6 = 6x Ι : 6
x = 1
D = {x Є [latexpage]${\mathbb Q}$ Ι x ≠ 1} oder D = [latexpage]${\mathbb Q}$ \ {1}
f) ${\frac{-24x~+~8~+~16x^2}{4x\ {\cdot}\ (9x~-~2)~+~3\ {\cdot}\ (48~-~12x^2)}}$
4x ∙ (9x – 2) + 3 ∙ (48 – 12x²) = 0
36x² – 8x + 144 – 36x² = 0
– 8x + 144 = 0 Ι + 8x
144 = 8x Ι : 8
x = 18
D = {x Є [latexpage]${\mathbb Q}$ Ι x ≠ 18} oder D = [latexpage]${\mathbb Q}$ \ {18}
3 Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Gebe zu dem Bruchterm die Definitionsmenge ${\frac{x~+~y}{x~-~y}}$ an.
Auch hier gilt: Der Nenner des Bruchterms darf nicht gleich null werden! Daher muss man auch hier den Nenner gleich null setzen, um dessen Definitionsmenge eindeutig bestimmen zu können. Es spielt hier auch keine Rolle, dass hier zwei Variablen immer Nenner sind. Man muss nur einfach eindeutig die Variablen separieren, so weit das möglich ist.
x – y = 0 Ι + y
x = y
D = {x Є [latexpage]${\mathbb Q}$ Ι x ≠ y} oder D = [latexpage]${\mathbb Q}$ \ {x ≠ y}
Konkret heißt das: Wenn beispielsweise ein x = 5 ist, darf ein y nicht auch gleich 5 sein. Ist das nämlich der Fall, dann ist der Term an dieser Stelle nicht definiert.
4 Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Zeige auf, warum bei allen folgenden Bruchtermen die Definitionsmenge x Є [latexpage]${\mathbb Q}$ ist.
a) ${\frac{4}{x^2~+~1}}$
Da keine Einschränkung bei der Definitionsmenge gelten darf, darf der Nenner des Bruchterm niemals gleich null werden!
x² + 1 = 0 Ι – 1
x² = – 1 | √
x = nicht definiert/n. d.
Das heißt hier in diesem Fall, es gibt kein x, damit der Nenner null wird. Demzufolge gilt die uneingeschränkte Definitionsmenge für diesen Bruchterm.
b) ${\frac{2}{4~+~x^2}}$
4 + x² = 0 Ι – 4
x² = –4 | √
x = nicht definiert/ n. d.
Wie bei bei der Aufgabe a) gibt es auch hier kein x, damit der Nenner gleich null wird. Daher ist auch hier der Definitionsbereich uneingeschränkt.
c) ${\frac{x~+~2}{2(x~+~1)~-~2x}}$
2(x + 1) – 2x = 0
2x + 2 – 2x = 0
2 = 0
Da sich hier die Variable eliminiert und die unwahre Aussage 2 = 0 übrig bleibt, findet man auch kein x, damit die Gleichung gleich null wird. Auch hier ist deshalb die Definitionsmenge x Є [latexpage]${\mathbb Q}$.
d) ${\frac{4x~-~2}{1~+~x^4}}$
1 + $x^4}$ = 0 Ι – 1
$x^4}$ = – 1 Ι [latexpage] $\sqrt[4]{}$
x = nicht definiert/ n. d.
Da man auch kein x findet, damit der Nenner gleich null wird, ist hier die Definitionsmenge ebenso uneingeschränkt.