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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Term, Teil 8

Zuerst Terme in Mathe lösen, dann Abkühlen in Thermen © Petra Glanz (Firma GLANZ Bustouristik Haibach) PIXELIO www.pixelio.de

Aufgaben zu Termen kann man niemals genug in Mathe lösen. Hierauf basieren ja alle höheren Mathematik-Stoffgebiete, die noch in der Mittelstufe sowie in der Oberstufe in der Schule behandelt werden. Daher sollte man auch Terme „im Schlaf lösen können“. Das kann man auch ohne Weiteres, wenn man – wie das übrigens bei jedem Mathe-Stoffgebiet der Fall ist – ein paar fundamentale Regeln beherzigt. Die wichtigste bei Termen ist die Vorrangregel. Diese besteht aus drei Teilen:

  1. Ein Term rechnet man immer von links nach rechts, wenn keine andere Regel vorkommt.
  2. Bei einer Klammer wird immer das Innere der Klammer als Erstes berechnet.
  3. Gibt es bei einem Term keine Klammer, so gilt Punktrechnung vor Strichrechnung sowie Potenzrechnung vor Punktrechnung und vor Strichrechnung.

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Term

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme jeweils den Typ sämtlicher Einzelterme. Was für ein Typ liegt bei dem Term vor?

a)     5 · x + (7 · y – 8 · 5) : 8

b)     3 · (9 – 8 · x) + 9

c)     8² – a² ·

d)    (9 + 5 · r)² + 5 · r

e)    (6 – r  · s)²

f)    9 – (x + 7 · y) · 5

b)   Begründe, weshalb 9 – 4 kein Teilterm des Terms 9 – 4 · 8 ist.

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Lässt man einen Stein senkrecht von einer Brücke nach unten ins Wasser fallen, so kann man den Fallweg (in m) mit dem Term 5 · t² berechnen. Welchen Fallweg hat der Stein nach 0,5 s, [1 s; 2 s; 2,5 s; 3 s; 3,5 s; 4 s] zurückgelegt? Lege hierfür eine Tabelle an.

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Eine Kerze ist 30 cm hoch. Brennt die Kerze, so verliert sie je Minute 0,14 cm an Höhe.

a) Berechne, wie hoch die Kerze nach 10 Minuten brennen ist [25 min; 60 min].

b) Ermittle einen Term, mit dem man die Höhe der brennenden Kerze in Abhängigkeit der vergangenen Zeit (in Minuten) berechnen kann. Bestimme mittels des Terms die Höhe der Kerze nach 6,5 Minuten.

4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle den Wert des Terms 3 + a · (b – 5) für:

a)   a = 7;   b = 6

b)   a = –8;  b = 0

c)   a = –0,5;  b = 8,4

d)    a =[latexpage] ${\frac{4}{15}$;   b =[latexpage] ${\frac{3}{4}$

Mach hierzu auch noch eine Tabelle. Bestimme jeweils auch den Typ des Terms.

Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Term

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib für jeden Einzelterm den jeweiligen Typ des Terms an. Um welchen Typ handelt es sich bei dem Term?

a)     5 · x + (7 · y – 8 · 5) : 8

Nach der Vorrangregel geht man hier vor.

· y:   Hier liegt als Typ ein Produkt vor.

· 5:   Hier liegt als Typ ein Produkt vor.

· y – 8 · 5:   Hier handelt es sich um eine Differenz.

(7 · y – 8 · 5) : 8:  Hier liegt als Typ eine Division vor.

· x :   Hier handelt es sich um ein Produkt.

· x + (7 · y – 8 · 5) : 8:   Der Typ des Term ist eine Summe.

b)     3 · (9 – 8 · x) + 9

· x:   Hier liegt als Typ ein Produkt vor.

9 – 8 · x:   Hier handelt es sich um eine Differenz.

3 · (9 – 8 · x):   Hier liegt als Typ ein Produkt vor.

· (9 – 8 · x) + 9:   Der Typ des Terms ist wiederum eine Summe.

c)     8² – a² · 

a²:   Hier liegt eine Potenz vor.

b²:   Hier liegt eine Potenz vor.

a² · b²:   Hier handelt es sich um ein Produkt.

8²:  Hier handelt es sich um eine Potenz.

8² – a² · b²:   Als Typ des Terms liegt hier eine Differenz vor.

d)    (9 + 5 · r)² + 5 · r

· r:   Hier liegt als Einzelterm ein Produkt vor.

9 + 5 · r:   Hier handelt es sich als Typ um eine Summe.

(9 + 5 · r)²:   Dieser Einzelterm ist eine Potenz.

· r:   Dieser Typ ist ein Produkt.

(9 + 5 · r)² + 5 · r:   Der Typ des Terms ist eine Summe.

e)    (6 – r  · s)²

r  · s:   Hier handelt sich es um ein Produkt.

6 – r  · s:   Der Typ eines Einzelterms ist eine Differenz.

(6 – r  · s)²:  Als Typ ist der Term eine Potenz.

f)    9 – (x + 7 · y) · 5

· y:   Hier liegt ein Produkt vor.

x + 7 · y:   Der Einzelterm ist vom Typ her eine Summe.

(x + 7 · y) · 5:   Hier liegt ein Produkt vor.

9 – (x + 7 · y) · 5:   Der Typ des Terms ist eine Differenz.

b) Lege dar, weshalb 9 – 4 nicht ein Teilterm von 9 – 4 · 8 ist.

Nach der Vorrangregel ist ja „9“ und „4 · 8″ ein Teilterm, die mittels eines Minus miteinander verbunden sind. „4 · 8″ ist ein Produkt, das man gemäß der Vorrangregel zuerst berechnen muss. Darauf muss man die Differenz bestimmen, da dies der Typ des Terms ist. Ein „9 – 4“ würde den zweiten Einzelterm missachten und die hierbei geltende Vorrangregel!

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ein Stein fällt senkrecht von einer Brücke und legt hierbei einen Fallweg (in m) in Abhängigkeit zur Zeit zurück. Dieser Fallweg lässt sich mit dem Term 5 · t² ermitteln. Berechne den Fallweg nach 0,5 s, [1 s; 2 s; 2,5 s; 3 s; 3,5 s; 4s]. Lege eine Tabelle hierfür an.

Fallweg (nach 0,5 s): 5 · (0,5)² = 5 · 0,25 = 1,25 m

Fallweg (nach 1 s): 5 · (1)² = 5 · 1 = 5 m

Fallweg (nach 2 s): 5 · (2)² = 5 · 4 = 20 m

Fallweg (nach 2,5 s): 5 · (2,5)² = 5 · 6,25 = 31,25 m

Fallweg (nach 3 s): 5 · (3)² = 5 · 9 = 45 m

Fallweg (nach 3,5 s): 5 · (3,5)² = 5 · 12,25 = 61,25 m

Fallweg (nach 4 s): 5 · (4)² = 5 · 16 = 80 m Wertetabelle Fallweg in Abhängigkeit zur Zeit

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Eine 30 cm hohe Kerze verliert jede Minute, wenn sie brennt, 0,14 cm an Höhe.

a) Ermittle die Höhe der Kerze, wenn diese 10 Minuten brennt [25 min; 60 min].

b) Stelle einen Term auf, mit dem man die Höhe der brennenden Kerze in Abhängigkeit zur Zeit (in s) berechnen kann. Bestimme mithilfe des Terms die Höhe der brennenden Kerne nach 6,5 Minuten.

a) Nach 10 Minuten ist die brennende Kerze um 10 mal 0,14 cm = 10 · 0,14 cm = 1,4 cm kleiner geworden. Demzufolge ist deren Höhe dann: 30 cm minus 1,4 cm = 30 cm – 1,4 cm = 28,6 cm.

Nach 25 Minuten: 25 mal 0,14 cm = 25 · 0,14 cm = 3,5 cm. Höhe: 30 cm minus 3,5 cm = 30 cm – 3,5 cm = 26,5 cm.

Nach 60 Minuten: 60 mal 0,14 cm = 60 · 0,14 cm = 8,4 cm. Höhe: 30 cm minus 8,4 cm = 21,6 cm.

b) Der Term ist nicht allzu schwer aufzustellen, wenn man sich vor Augen führt, dass die brennende Kerze mit einer anfänglichen Höhe von 30 cm pro Minute 0,14 cm an Höhe verliert. Die Zeit ist hier ja variabel und demzufolge stellt sie hier die Variable dar. Vor der Variable steht der Faktor 0,14, da um diesen die Kerze ja pro Minute abnimmt. Von der anfänglichen Höhe wird nun immer der Wert abgezogen, den die Variable in Abhängigkeit zur Zeit ergibt. Demzufolge lautet der Term:

30 – 0,14 · x

 Nach 6,5 Minuten ist daher die Kerze: 30 – 0,14 · 6,5 = 29,09 cm hoch.

4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme den Term-Wert des Terms 3 + a · (b – 5) für:

a)   a = 7;   b = 6

3 + 7 · (6 – 5) = 3 + 7 · (1) = 3 + 7 = 10

b)   a = –8;  b = 0

3 + (–8) · (0 – 5) = 3 + (–8) · (–5) = 3 + 40 = 43

c)   a = –0,5;  b = 8,4

3 + (–0,5) · (8,4 – 5) = 3 + (–0,5) · (3,4) = 3 – 1,7 = 1,3

d)    a =[latexpage] ${\frac{4}{15}$;   b =[latexpage] ${\frac{3}{4}$

3 + (${\frac{4}{15}$) · (${\frac{3}{4}$ – 5) = 3 + (${\frac{4}{15}$) · (–4,25) = 3 – 1${\frac{2}{15}$ = 1${\frac{13}{15}$

Lege hierzu auch noch eine Tabelle an. Wertetabelle für den Term

Um welchen Term-Typ handelt es sich jeweils?

Bei den ersten beiden Termen ist die letzte Rechenoperation, die durchgeführt wird, ein Addieren. Daher sind die ersten beiden Terme vom Typ her eine Summe.

Bei den beiden letzten Termen stellt die letzte Rechenoperation ein Subtrahieren dar. Deshalb sind die beiden letzten Terme vom Typ her eine Differenz.

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