Quadratische Gleichungen löst man normalerweise stets rechnerisch. Neben der p-q-Formel (und früher der Mitternachtsformel) ist hierbei besonders das quadratische Ergänzen enorm wichtig. Das hat natürlich auch seinen Grund. Mittels des quadratischen Ergänzens kann man nämlich nicht nur die Lösungen jeder quadratischen Gleichung ermitteln, sondern auch den Scheitelpunkt jeder quadratischen Funktion. In der Normalform, x² + px + q, ist das ja nicht möglich. In der sogenannten Scheitelpunktform hingegen sehr wohl – und diese erzeugt man algebraisch mittels des quadratischen Ergänzens. Um jedoch tipptopp quadratisch ergänzen zu können, muss man auch „im Schlaf“ die binomischen Formeln können. Das quadratische Ergänzen zielt schließlich immer auf die Anwendung einer binomischen Formel.
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet quadratische Gleichungen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bilde auf jeder Seite der Gleichung so eine quadratische Ergänzung, dass die linke Seite der Gleichung eine binomische Formel ergibt. Löse anschließend die Gleichung auf und mache die Probe.
a) x² + 6x + __ = 21 + __
b) x² – 12x + __ = 13 + __
c) x² + 4x + __ = 21 + __
d) x² + 14x + __ = 15 + __
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Gleichung mittels quadratischen Ergänzens. Bestimme darauf die Lösungsmenge und mache anschließend die Probe.
a) x² + 8x = 0
b) x² + 6x – 7 = 0
c) x² + 8 = 0
d) x² – 4x + 3 = 0
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die quadratische Gleichung mittels der p-q-Formel.
a) x² + 2x – 35 = 0
b) x² + 15x + 44 = 0
c) y² + 8,3y + 6 = 0
d) 2x² – 1,7x – 1 = 0
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge mittels des grafischen Lösungsverfahrens.
a) x² = x – 1
b) x² = –2x – 1
c) x² =[latexpage] ${\frac{5}{2}}$x – 1
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Quadratische Gleichungen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Führe eine quadratische Ergänzung durch. Die linke Seite der Gleichung soll hierbei zu einer binomischen Formel werden. Darauf soll die quadratische Gleichung gelöst werden und anschließend die Probe gemacht werden.
a) x² + 6x + __ = 21 + __
Hier muss man rechts und links der Gleichung die Zahl 9 ergänzen. Links der Gleichung soll ja eine binomische Formel entstehen. Daher ist das 6x der Mittelterm der binomischen Formel. Hieraus kann man dann die quadratische Ergänzung bilden. Den Mittelterm durch 2x teilen, ergibt 3 und die 3 quadriert ergibt 9.
x² + 6x + [latexpage] $({\frac{6\mathrm x}{2\mathrm x}})$² = 21 + $({\frac{6\mathrm x}{2\mathrm x}})$²
x² + 6x + 9 = 21 + 9
(x + 3)² = 30 | √
x + 3 = ± $\sqrt{30}$ | – 3
x = ± $\sqrt{30}$ – 3
x$_1$ = $\sqrt{30}$ – 3
x$_2$ = –$\sqrt{30}$ – 3
Probe:
($\sqrt{30}$ – 3)² + 6 · ($\sqrt{30}$ – 3) = 21
30 – 6 · $\sqrt{30}$ + 9 + 6 · $\sqrt{30}$ – 18 = 21
21 = 21
(–$\sqrt{30}$ – 3)² + 6 · (–$\sqrt{30}$ – 3) = 21
30 + 6 · $\sqrt{30}$ + 9 – $\sqrt{30}$ – 18 = 21
21 = 21
Lösung: L = {–$\sqrt{30}$ – 3; $\sqrt{30}$ – 3}
b) x² – 12x + __ = 13 + __
Hier muss man rechts und links der Gleichung die Zahl 36 ergänzen.
x² – 12x + 36 = 13 + 36
(x – 6)² = 49 | √
x – 6 = ± 7 | + 6
x$_1$ = 7 + 6
x$_1$ = 13
x$_2$ = –7 + 6
x$_2$ = –1
Probe:
x² – 12x = 13
(13)² – 12 · (13) = 13
169 – 156 = 13
13 = 13
(–1)² – 12 · (–1) = 13
1 + 12 = 13
13 = 13
Lösung: L = {–1; 13}
c) x² + 4x + __ = 21 + __
Hier muss man rechts und links der Gleichung die Zahl 4 ergänzen.
x² + 4x + 4 = 21 + 4
(x + 2)² = 25 | √
x + 2 = ± 5 | – 2
x = ± 5 – 2
x$_1$ = 5 – 2
x$_1$ = 3
x$_2$ = –5 – 2
x$_2$ = –7
Probe:
(3)² + 4 · (3) = 21
9 + 12 = 21
21 = 21
(–7)² + 4 · (–7) = 21
49 – 28 = 21
21 = 21
Lösung: L = {–7; 3}
d) x² + 14x + __ = 15 + __
Hier muss man rechts und links der Gleichung die Zahl 49 ergänzen.
x² + 14x + 49 = 15 + 49
(x + 7)² = 64 | √
x + 7 = ± 8 | – 7
x = ± 8 – 7
x$_1$ = 8 – 7
x$_1$ = 1
x$_2$ = –8 – 7
x$_2$ = –15
Probe:
(1)² + 14 · (1) = 15
1 + 14 = 15
15 = 15
(–15)² + 14 · (–15) = 15
225 – 210 = 15
15 = 15
Lösung: L = {–15; 1}
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösung der quadratischen Gleichung mittels quadratischen Ergänzens. Bestimme anschließend die Lösungsmenge und bestätige diese mittels der Probe.
a) x² + 8x = 0
Hier muss man rechts und links der Gleichung die Zahl 16 ergänzen.
x² + 8x + 16 = 16
(x + 4)² = 16 | √
x + 4 = ± 4 | – 4
x = ± 4 – 4
x$_1$ = 4 – 4
x$_1$ = 0
x$_2$ = –4 – 4
x$_2$ = –8
Lösung: L = {–8; 0}
Probe:
(–8)² + 8 · (–8) = 0
64 – 64 = 0
0 = 0
(0)² + 8 · (0) = 0
0 + 0 = 0
0 = 0
Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösung.
b) x² + 6x – 7 = 0
Hier muss man rechts und links der Gleichung die Zahl 9 ergänzen.
x² + 6x + 9 – 7 = 9
(x + 3)² – 7 = 9 | + 7
(x + 3)² = 16 | √
x + 3 = ± 4 | – 3
x = ± 4 – 3
x$_1$ = 4 – 3
x$_1$ = 1
x$_2$ = –4 – 3
x$_2$ = –7
Lösung: L = {–7; 1}
Probe:
(–7)² + 6 · (–7) – 7 = 0
49 – 42 – 7 = 0
0 = 0
(1)² + 6 · 1 – 7 = 0
1 + 6 – 7 = 0
0 = 0
Die Probe bestätigt, dass die Lösung richtig ist.
c) x² + 8 = 0
Auf binomische Formeln hin die Gleichung zu ergänzen, macht hier keinen Sinn, da schließlich der Mittelterm fehlt. Man kann die Gleichung deshalb auch gleich auflösen, indem man die nackte Zahl auf die andere Seite der Gleichung bringt und anschließend die Wurzel zieht.
x² + 8 = 0 | – 8
x² = –8 | √
x = nicht definiert
Lösung: L = { } bzw. [latexpage] ${\varnothing}$
d) x² – 4x + 3 = 0
Hier muss man rechts und links der Gleichung die Zahl 4 ergänzen.
x² – 4x + 4 + 3 = 4
(x – 2)² + 3 = 4 | – 3
(x – 2) = 1 | √
x – 2 = ± 1 | + 2
x = ± 1 + 2
x$_1$ = 1 + 2
x$_1$ = 3
x$_2$ = –1 + 2
x$_2$ = 1
Lösung: L = {1; 3}
Probe:
(1)² – 4 · (1) + 3 = 0
1 – 4 + 3 = 0
0 = 0
(3)² – 4 · (3) + 3 = 0
9 – 12 + 3 = 0
0 = 0
Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ziehe zur Lösung der quadratischen Gleichung die p-q-Formel heran.
a) x² + 2x – 35 = 0
Die p-q-Formel lautet ja:
x$_1,_2$ = – [latexpage] ${\frac{\mathrm p}{2}$ ± $\sqrt{\ ({\frac{\mathrm p}{2})^2-\mathrm q}}$
Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Zum Anwenden der p-q-Formel siehe auch unter Quadratischen Gleichungen 2.5 Das Lösen von quadratischen Gleichungen mittels de p-q-Formel an.
x$_1,_2$ = – [latexpage] ${\frac{2}{2}$ ± $\sqrt{\ ({\frac{2}{2})^2+35}}$
x$_1,_2$ = – 1 ± $\sqrt{\ (1)^2+35}}$
x$_1,_2$ = – 1 ± $\sqrt{\ 1+35}}$
x$_1,_2$ = – 1 ± $\sqrt{\ 36}}$
x$_1,_2$ = – 1 ± 6
x$_1$ = –1 + 6
x$_1$ = 5
x$_2$ = –1 – 6
x$_2$ = –7
Lösung: L = {–7; 5}
b) x² + 15x + 44 = 0
x$_1,_2$ = – [latexpage] ${\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\ ({\frac{15}{2})^2-44}}$
x$_1,_2$ = – 7,5 ± $\sqrt{\ (7,5)^2-44}}$
x$_1,_2$ = – 7,5 ± $\sqrt{\ 56,25-44}}$
x$_1,_2$ = – 7,5 ± $\sqrt{\ 12,25}}$
x$_1,_2$ = – 7,5 ± 3,5
x$_1$ = –7,5 + 3,5
x$_1$ = –4
x$_2$ = –7,5 – 3,5
x$_2$ = –11
Lösung: L = {–11; –4}
c) y² + 8,3y + 6 = 0
y$_1,_2$ = – [latexpage] ${\frac{8,3}{2}$ ± $\sqrt{\ ({\frac{8,3}{2})^2-6}}$
y$_1,_2$ = – 4,15 ± $\sqrt{\ (4,15)^2-6}}$
y$_1,_2$ = – 4,15 ± $\sqrt{\ 17,2225-6}}$
y$_1,_2$ = – 4,15 ± $\sqrt{\ 11,2225}}$
y$_1,_2$ = – 4,15 ± 3,35
y$_1$ = –4,15 + 3,35
y$_1$ = –0,8
y$_2$ = –4,15 – 3,35
y$_2$ = –7,5
Lösung: L = {–7,5; –0,8}
d) 2x² – 1,7x – 1 = 0 | : 2
Hier muss man erst vor dem x² den Faktor eliminieren.
x² – 0,85x – 0,5 = 0
x$_1,_2$ = [latexpage] ${\frac{0,85}{2}$ ± $\sqrt{\ ({\frac{0,85}{2})^2+0,5}}$
x$_1,_2$ = 0,425 ± $\sqrt{\ (0,425)^2+0,5}}$
x$_1,_2$ = 0,425 ± $\sqrt{\ 0,180625+0,5}}$
x$_1,_2$ = 0,425 ± $\sqrt{\ 0,680625}}$
x$_1,_2$ = 0,425 ± 0,825
x$_1$ = 0,425 + 0,825
x$_1$ = 1,25
x$_2$ = 0,425 – 0,825
x$_2$ = –0,4
Lösung: L = {–0,4; 1,25}
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung mittels des graphischen Lösungsverfahrens.
a) x² = x – 1
Da die Parabel sich mit der Geraden nicht schneidet, hat die quadratische Gleichung keine Lösung.
L = { } bzw. [latexpage] ${\varnothing}$
Hier schneidet die Gerade die Parabel bei x = –1.
L = {–1}
c) x² =[latexpage] ${\frac{5}{2}}$x – 1
Die Gerade schneidet die Parabel bei x = 0,5 und x = 2.
L = {0,5; 2}