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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen, Teil 2

Mitternacht © Simone Hainz PIXELIO www.pixelio.de

Wenn ehemalige Schülerinnen und Schüler zu einer ganz bestimmten späteren Uhrzeit an Mathematik denken müssen – dann hat dies meist einen bestimmten Grund: Sie erinnern sich der großen Wichtigkeit einer Formel aus ihrem damaligen Mathe-Unterreicht – und zwar an die sogenannte Mitternachtsformel. Jeder, der früher Abitur gemacht hat, musste sich nämlich von seinem Mathe-Lehrer immer wieder gebetsmühlenartig anhören: „Diese Formel ist so wichtig, dass ihr sie sogar zu Mitternacht (und natürlich auch noch zu späterer Stunde 😉 ) auswendig vorsagen können müsst (und das, egal, wie euer geistiges und körperliches Befinden zu dieser Uhrzeit gerade ist 😉 )!“ Die Ergänzungen in der Klammer sind natürlich von mir spaßeshalber hinzugefügt worden, die Aussage des Lehrers entspricht jedoch einer wortwörtlichen Wiedergabe aus dem Mathe-Unterricht der Jahrzehnte vor dem 21. Jahrhundert. Denn noch vor der Schulreform und der damit einhergehenden Reform des Mathematik-Unterrichts hatte die Mitternachtsformel, mit der man die Lösungsmenge jeder quadratischen Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 (a, b, x ∈ von und a ≠ 0) bestimmen kann, einen extrem hohen Stellenwert. Inzwischen sieht das jedoch fundamental anders aus!

Mittlerweile hat die „kleine Schwester“ der Mitternachtsformel nämlich im Mathe-Unterricht nicht nur viel, viel mehr an Ansehen gewonnen, sondern ihr sogar den Rang abgelaufen – die pq-Formel. Der Grund hierfür liegt in der einfacheren Anwendbarkeit der pq-Formel begründet, da man diese ebenso zur Lösungsmengen-Bestimmung jeder quadratischen Gleichung heranziehen kann – hierbei aber mit p und q nur zwei konstante Werte vonnöten sind (anstatt mit a, b und c drei wie bei der Mitternachtsformel. Unerwähnt darf hierbei aber nicht bleiben, dass oftmals zur Anwendung der pq-Formel erst noch eine Äquivalenzumformung gemacht werden muss, um einen etwaigen Faktor vor dem x² zu eliminieren – was aber kein großes Ding ist).

Das Buch wider das Vergessen © Bernd Kasper PIXELIO www.pixelio.de

Aber auch wenn die pq-Formel die „kleine Schwester“ von der Mitternachtsformel ist, so ist sie dennoch genauso wichtig, wie es ihre „ältere Schwester“ einst war. Schließlich verfolgen einen quadratische Gleichungen (und Funktionen) in Mathematik bis zum Abitur auf Schritt und Tritt. Daher ist es nicht nur Pflicht die pq-Formel auswendig (und das am besten wie bei der Mitternachtsformel auch rund um die Uhr 😉 ) zu können, sondern natürlich diese auch stets fehlerfrei anwenden zu können.

Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Quadratische Gleichungen

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wende zur Ermittlung der Lösungsmenge die pq-Formel an.

a)     x² + 9x – 52 = 0

b)     x² – 16x + 64 = 0

c)     y² – 6y – 187 = 0

d)    a² + 2,55a – 4,5 = 0

e)    x² + 10,8x – 63 = 0

f)    y² + 13y + 42,25 = 0

g)    x²  – 7x + 12 = 0

h)    a² – 7a + 8 = 0

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bilde zu allen Aufgaben die Diskriminante. Lese davon ab, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat und bestimme diese.

a)    x²  – 17x + 70 = 0

b)    x²  – 1,2x – 0,64 = 0

c)    y²  – 14x + 53 = 0

d)    a² + 2,5a – 51 = 0

e)    y² + 1,6x + 0,64 = 0

f)   

Quadratische Gleichung in der Normalform

g)     10y² – 4x + 3 = 0

h)     x² – 2,8x + 3,61 = 0

3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Alle Gleichungen kann man in die Form x² + px = 0 auflösen. Ermittle anschließend die Lösung.

a)     x (2x + 18) = 0

b)     (8 + x) (4x – 6) = –48

c)     (y – 10) (y – 5) = 50

d)     (3x + 5) x + 1 = (2x + 1)²

e)     (2a – 5) (5a – 2) = 10

f)      25 + 4x (2x + 1) = (5 + 3x)²

Lösungen zu dem Mathe-Stoffgebiet Quadratische Gleichungen

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die quadratischen Gleichungen mithilfe der pq-Formel.

Die pq-Formel lautet ja wie folgt:

Lösungen pq-Formel

Zur Bestimmung der Lösungsmenge muss man nun bei jeder Aufgabe zuerst den p- und den q-Wert ermitteln und dann in die pq-Formel einsetzen.

Beim Einsetzen des p- und q-Wertes in die pq-Formel muss man immer besonders auf die Vorzeichenregel achten, dass „–“ und „–“ „+“ ergibt.

a)     x² + 9x – 52 = 0

Bei dieser quadratischen Gleichung ist der p-Wert „9″ und der q-Wert „–52″.

Hier muss berücksichtigen, dass „–52″ zu „+52″ wird.

Anwendung pq-Formel quadratische Gleichung

x1,2 = –4,5 ± 8,5                           

x1 = –4,5 – 8,5 = –13                    

x2 = –4,5 + 8,5 = 4                       

L = {– 13; 4}

b)     x² – 16x + 64 = 0

Bei dieser quadratischen Gleichung ist „–16″ der p-Wert und „64″ der q-Wert.

Hier muss man beachten, dass „–16″ zu „+16″ wird.

Anwendung pq-Formel quadratische Gleichung

x1,2 = 8 ± 0                                 

x1,2 = 8 ± 0 = 8                           

L = {8}

c)     y² – 6y – 187 = 0

Bei dieser quadratischen Gleichung ist der p-Wert „–6″ und der q-Wert „–187″.

Hier muss man beachten, dass sowohl „–6″ zu „+6″ wird als auch „–187″ zu „+187″.

Anwendung pq-Formel quadratische Gleichung

y1,2 = 3 ± 14                                   

y1 = 3 – 14 = –11                           

y2 = 3 + 14 = 17                           

L = {– 11; 17}

d)    a² + 2,55a – 4,5 = 0

Hier bei dieser quadratischen Gleichung ist der p-Wert „2,55″ und der q-Wert „–4,5″.

Wiederum gilt es hier zu beachten, dass „–4,5″ zu „+4,5″ wird.

Anwendung pq-Formel quadratische Gleichung

a1,2 = 1,275 ± 2,475                                   

a1 = 1,275 – 2,475 = –1,2                           

a2 = 1,275 + 2,475 = 3,75                           

L = {– 1,2; 3,75}

e)    x² + 10,8x – 63 = 0

Bei dieser quadratischen Gleichung ist der p-Wert „10,8″ und der q-Wert „–63″.

Hier gilt es zu beachten, dass „–63″ zu „+63″ wird.

Anwendung pq-Formel quadratische Gleichung

x1,2 = – 5,4 ± 9,6                                     

x1 = –5,4 – 9,6 = –15                               

x2 = –5,4 + 9,6 = 4,2                               

L = {–15; 4,2}

f)    y² + 13y + 42,25 = 0

Der p-Wert bei dieser quadratischen Gleichung ist „13″ und der q-Wert  „42,5″.

Anwendung pq-Formel quadratische Gleichung

y1,2 = –6,5 ± 0                                           

y1,2 = –6,5                                                 

L = {–6,5}

g)    x²  – 7x + 12 = 0

Bei dieser quadratischen Gleichung ist der p-Wert „–7″ und der q-Wert „12″.

Hier muss man die Vorzeichenregel beim p-Wert beachten, dass „–7″ zu „+7″ wird.

Anwendung pq-Formel quadratische Gleichung

x1,2 = 3,5 ± 0,5                                       

x1 = 3,5 – 0,5 = 3                                   

x2 = 3,5 + 0,5 = 4                                   

L = {3; 4}

h)    a² – 7a + 8 = 0

Bei dieser quadratischen Gleichung ist der p-Wert „–7″ und der q-Wert „8″.

Hier muss man wiederum die Vorzeichenregehl beim p-Wert beachten, und zwar, dass„–7″ zu „+7″ wird.

Anwendung pq-Formel quadratische Gleichung

a1,2 = 3,5 ± 2,06                                       

a1 = 3,5 – 2,06 = 1,44                               

a2 = 3,5 + 2,06 = 5,56                              

L = {1,44; 5,56}

Achtung – ein wütendes Schwein! © rupert illek PIXELIO www.pixelio.de

2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Zuerst die Diskriminante ermitteln, darauf die Anzahl der Lösungen, zuletzt die genauen Ergebnisse bestimmen.

a)    x²  – 17x + 70 = 0

Anwendung pq-Formel quadratische Gleichung

Da hier die Diskriminante > 0 ist, hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.

x1,2 = 8,5 ± 1,5                                       

x1 = 8,5 – 1,5 = 7                                   

x2 = 8,5 + 1,5 = 10                                  

L = {7; 10}

b)   x²  – 1,2x – 0,64 = 0

Anwendung pq-Formel quadratische Gleichungen

Da hier wiederum die Diskriminante > 0 ist, hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.

x1,2 = 0,6 ± 1                                          

x1 = 0,6 – 1 = –0,4                                 

x2 = 0,6 + 1 = 1,6                                  

L = {–0,4; 1}

c)    y²  – 14x + 53 = 0

pq-Formel auf quadratische Gleichung angewendet

Da hier die Diskriminante < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung.

L = { } bzw. Ø

d)    a² + 2,5a – 51 = 0

Anwendung der pq-Formel auf quadratische Gleichung

Da hier die Diskriminante > 0 ist, hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.

a1,2 = –1,25 ± 7,25                                          

a1 = –1,25 – 7,25 = –8,5                                 

a2 = –1,25 + 7,25   = 6                                   

L = {–8,5; 6}

e)    y² + 1,6x + 0,64 = 0

pq-Formel auf quadratische Gleichung angewendet

Da die Diskriminante hier null ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösung.

y1,2 = –0,8 ± 0                                          

y1,2 = –0,8                                                    

L = {–0,8}

f)   

Äquivalenzumforumg Multiplikation bei quadratischer Gleichung

a² + 9a + 20,25 = 0

Anwendung pq-Formel auf quadratische Gleichung

Die Diskriminante ist hier null. Daher hat die quadratische Gleichung hier nur ein Lösung.

a1,2 = –4,5 ± 0                                          

a1,2 = –4,5                                                    

L = {–4,5}

g)     10y² – 4x + 3 = 0       |  10              

y² – 0,4x + 0,3 = 0     

pq-Formel auf quadratische Gleichung angewendet

Hier ist die Diskriminante negavtiv. Daher hat die quadratische Gleichung keine Lösung.

L = { } bzw. Ø

h)     x² – 2,8x + 3,61 = 0

pq-Formel auf quadratische Gleichung angewendet

Da hier wiederum die Diskrimninate negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung.

L = { } bzw. Ø

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bringe zunächst die quadratische Gleichung in die Form x² + px = 0 und bestimme dann die Lösungen.

a)     x (2x + 18) = 0          

2x² + 18x = 0           |  2    

x² + 9x = 0

Termumformung quadratische Gleichung mittels pq-Formel

x1,2 = –4,5 ± 4,5

x1 = –4,5 – 4,5 = –9                                 

x2 = –4,5 + 4,5 = 0                                   

L = {–9; 0}

b)     (8 + x) (4x – 6) = –48                     

32x² – 48 + 4x² – 6x = –48                     

36x² – 48 – 6x = –48             |  + 48       

36x² – 6x = 0                         |   : 36      

 

Termumformung quadratische Gleichung
Anwendung pq-Formel quadratische Gleichung
Lösungen quadratischer Gleichung

L =

Lösungsmenge quadratische Gleichung

c)     (y – 10) (y – 5) = 50                       

y² – 5y – 10y + 50     = 50                      

y²  – 15y + 50 = 50                |  – 50       

y² – 15y = 0

Termumformungen quadratische Gleichung

y1,2 = 7,5 ± 7,5

y1 = 7,5 – 7,5 = 0                                 

y2 = 7,5 + 7,5 = 15                               

L = {0; 15}

d)     (3x + 5) x + 1 = (2x + 1)²             

3x² + 5x + 1 = 4x² + 4x + 1     |  – 1      

3x² +5x = 4x² + 4x                   |  – 4x    

3x² + x = 4x²                            |   – 4x²    

–x²  + x = 0                              |   · (–1)    

x² – x = 0

Termumformung zur Lösung der quadratischen Gleichung

x1,2 = 0,5 ± 0,5

x1 = 0,5 – 0,5 = 0                                 

x2 = 0,5 + 0,5 = 1                                 

L = {0; 1}

e)     (2a – 5) (5a – 2) = 10                   

10a² – 4a – 25a + 10 = 10                      

10a² – 29a +10 = 10               |  – 10    

10a² – 29a = 0                        |    : 10    

a² – 2,9a = 0

Termumformung quadratische Gleichung

a1,2 = 1,45 ± 1,45                                      

a1 = 1,45 – 1,54 = 0                                 

a2 = 1,45 + 1,45 = 2,9                               

L = {0; 2,9}

f)      25 + 4x (2x + 1) = (5 + 3x)²              

25 + 8x² + 4x = 25 + 30x + 9x²     |  – 25   

8x² + 4x = 30x + 9x²                      |  – 8x²   

4x = 30x + x²                                  |  – 4x    

0 = 26x + x²

Termumformung quadratische Gleichung

x1,2 = –13 ± 13                                         

x1 = –13 – 13 = –26                                 

x2 = –13 + 13 = 0                                     

L = {–26; 0}

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