Es gibt in Mathe eine Unzahl verschiedener Arten von Gleichungen. Das liegt an den großen Variationsmöglichkeiten von Termen. Eine Gleichung besteht ja aus Termen. Da ein einziger Term selbst wiederum sehr unterschiedliche Mathematik-Zeichen vorweisen kann, entstehen hierdurch jede Menge verschiedenartiger Gleichungen. Neben den Grundrechenarten, der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division, kann ein Term auch Potenzen und Wurzeln vorweisen – und noch einiges mehr an Mathe-Verknüpfungen. Verschiedenartige Gleichungen kann man aber auch sehr gut veranschaulichen, wenn man eine Gleichung zur Funktion macht und sich den Graphen der Funktion anschaut. Dann sieht man nämlich große Unterschiede in dem Verlauf einer Funktion. Eine lineare Funktion, die auf einer linearen Gleichung basiert, ist z. B. eine Gerade, eine quadratische Funktion, die auf einer quadratischen Funktion basiert, ist hingegen eine Parabel.
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet lineare Gleichungen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib an, warum bei den Gleichungen eine Äquivalenzumformung vorliegt.
a) 4x + 9 = 21
4x = 12
b) –20x – 160 = 0
–20x = 160
c) 10x + 8 = 38
10x = 30
x = 3
d) 12x – 6 = –30
12x = –24
x = –2
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösung der Gleichung.
a) 4x + 9 = 21
b) 7y + 60 = –10
c) 5a – 7 = 48
d) 4 – 8b = 0
e) 12x – 20 = 40
f) 9a – 1 = –10
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der linearen Gleichung.
a) 8x + 7x = 96 + 3x
b) 2a + 3 + 5a = 19 – 6a + 10
c) 12 – x – 3x = 12 + x – 8
d) 5 + 13x – 9 = 3x – 2 – 20x
e) –9y – 8 + 4y = 28 – 2y – 42
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Lies sofort, wenn möglich, die Lösung der Gleichung ab.
a) (x – 10) · (x – 13) = 0
b) (y – 5) · (y – 8) = 0
c) (2y – 2) · (3y + 7) = 0
d) (9a – 27) · (2a – 8) = 0
e) (b + 9) · (b + 7) = 0
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Gleichungen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Erkläre, warum die Gleichungen äquivalent zueinander sind.
a) 4x + 9 = 21
4x = 12
Hier wurde bei der Ursprungsgleichung rechts und links der Gleichung mittels Subtraktion „– 9“ abgezogen. Hierdurch ergab sich „4x = 12“.
b) –20x – 160 = 0
–20x = 160
Bei der Ursprungsgleichung wurde rechts und links der Gleichung mittels Addition „+ 160“ addiert.
Dadurch ergab sich die Gleichung „–20x = 160“.
c) 10x + 8 = 38
10x = 30
x = 3
Bei der Ursprungsgleichung wurde rechts und links der Gleichung „– 8“ abgezogen. Hierdurch ergab sich die Gleichung „10x = 30“. Darauf wurde bei dieser Gleichung rechts und links des Gleichheitszeichens die Division „: 10“ durchgeführt.
d) 12x – 6 = –30
12x = –24
x = –2
Hier wurde bei der Ursprungsgleichung rechts und links der Gleichung die Addition „+ 6“ durchgeführt. Darauf wurde bei der Gleichung rechts und links der Gleichung mittels Division „: 12“ gemacht.
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösung der Gleichung.
a) 4x + 9 = 21 | – 9 <=>
4x = 12 | : 4 <=>
x = 3
L = {3}
b) 7y + 60 = –10 | – 60 <=>
7y = –70 | : 7 <=>
y = –10
L = {–10}
c) 5a – 7 = 48 | + 7 <=>
5a = 55 | : 5 <=>
a = 11
L = {11}
d) 4 – 8b = 0 | – 4 <=>
–8b = –4 | : (–8) <=>
b = 0,5
L = {0,5}
e) 12x – 20 = 40 | + 20 <=>
12x = 60 | : 12 <=>
x = 5
L = {5}
f) 9a – 1 = –10 | + 1 <=>
9a = –9 | : 9 <=>
a = –1
L = {–1}
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der linearen Gleichung.
a) 8x + 7x = 96 + 3x <=>
15x = 96 + 3x | – 3x <=>
12x = 96 | : 12 <=>
x = 8
L = {8}
b) 2a + 3 + 5a = 19 – 6a + 10 <=>
7a + 3 = 29 – 6a | + 6a <=>
13a + 3 = 29 | – 3 <=>
13a = 26 | : 13 <=>
a = 2
L = {2}
c) 12 – x – 3x = 12 + x – 8 <=>
12 – 4x = 4 + x | + 4x <=>
12 = 4 + 5x | – 4 <=>
8 = 5x | : 5 <=>
1,6 = x
L = {1,6}
d) 5 + 13x – 9 = 3x – 2 – 20x <=>
–4 + 13x = –17x – 2 | + 17x <=>
–4 + 30x = – 2 | + 4 <=>
30x = 2 | : 30 <=>
x =[latexpage] ${\frac{2}{30}}$ <=>
x =[latexpage] ${\frac{1}{15}}$ <=>
L = {${\frac{1}{15}}$}
e) –9y – 8 + 4y = 28 – 2y – 42 <=>
–5y – 8 = –14 – 2y | + 5y <=>
–8 = –14 + 3y | + 14 <=>
6 = 3y | : 3 <=>
2 = y
L = {2}
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle sofort, wenn möglich, die Lösung der Gleichung.
Bei einer Multiplikation ist ein Produkt gleich null, wenn einer der beiden Faktoren gleich null ist. Bei diesen Gleichungen ist das der Fall, wenn eine Klammer, die ja ein Faktor des Produkts darstellt, gleich null wird.
a) (x – 10) · (x – 13) = 0
L = {10; 13}
b) (y – 5) · (y – 8) = 0
L = {5; 8}
c) (2y – 2) · (3y + 7) = 0
Hier ist es ein wenig schwieriger die Lösung der Gleichung zu ermitteln. Bei der ersten Gleichung führt y = 1 zu einem Nullwerden der einen Klammer. Bei y = –${\frac{7}{3}}$ ist das bei der zweiten Klammer der Fall.
L = {–${\frac{7}{3}}$ ; 1}
d) (9a – 27) · (2a – 8) = 0
Hier ist ein Nullwerden einer Klammer bei a = 3 der Fall und a = 4.
L = {3; 4}
e) (b + 9) · (b + 7) = 0
L = {–9; –7}