Das Erweitern und Kürzen von Brüchen ist etwas, das man in Mathe bereits in der Grundschule gelernt hat. Man erweitert einen Bruch mit dem sogenannten Erweiterungsfaktor und man kürzt einen Bruch mit dem sogenannten Kürzungsfaktor. Hat man das Erweitern und Kürzen von Brüchen im Fach Mathematik einmal verstanden, so kann man sein einst erworbenes Können bei Bruchtermen erneut anwenden. In der Mittelstufe muss man das nämlich erneut bei dem Stoffgebiet Bruchterme abrufen können. Und je besser man das damals verinnerlicht hatte, desto leichter wird man es hier dann richtig reproduzieren können. Darüber hinaus kommen hier noch des Öfteren algebraische Grundkenntnisse wie das Ausklammern/Faktorisieren zum Zuge – was man aber auch bereits vorher in Mathe gelernt hat.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Bruchterme
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle den Term-Wert für die angegebenen Ziffern. Wann ist der Bruchterm nicht definiert. Wie lautet die Bedingung hierfür?
a) ${\frac{3x~-~9}{(x~-~7)}}$; die Werte für x sind 3; 2; 0; –1
b) 1 : (a² + 1); die Werte für a sind 2; 0
c) (4z + 2) : z; die Werte für z sind 9; –5
d) 2r : (r + 1); die Werte für r sind 7; 3
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Stelle für die Definitionsmenge jeweils drei verschiedene Terme auf, die genau auf diese Menge hin definiert sind.
a) ℚ \ {5}
b) ℚ \ {–7}
c) ℚ \ {4; 7}
d) ℚ
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Erweitere folgende Terme.
a) $\frac{5}{9}$ mit 3
b) $\frac{-6}{7}$ mit 4
c) $\frac{3}{4}$ mit –5
d) $\frac{4}{5}$ mit a
e) $\frac{3b}{7c}$ mit b
f) $\frac{x~+~y}{x~-~y}$ mit a
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Kürze die Bruchterme. Klammere vorher aus.
a) ${\frac{xy~+~xz}{x}}$
b) ${\frac{rb~-~rc}{b~-~c}}$
c) ${\frac{10x~-~15y}{10x~+~15y}}$
d) ${\frac{s^2~+~st}{s^2~-~st}}$
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Bruchterme
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme den Term-Wert für die angegebenen Zahlen. Ermittle, wann der Term definiert ist. Gebe die Bedingung für die Definitionsmenge an.
a)
${\frac{3x~-~9}{(x~-~7)}}$; die Werte für x sind 3; 2; 0; –1
bei x = 3: ${\frac{3\ {\cdot}\ 3~-~9}{(3~-~7)}}$ = ${\frac{9~-~9}{-4}}$ = ${\frac{0}{-4}}$ = 0
bei x = 2: ${\frac{3\ {\cdot}\ 2~-~9}{(2~-~7)}}$ = ${\frac{6~-~9}{-5}}$ = ${\frac{-3}{-5}}$ = ${\frac{3}{5}}$
bei x = 0: ${\frac{3\ {\cdot}\ 0~-~9}{(0~-~7)}}$ = ${\frac{0~-~9}{-7}}$ = ${\frac{-9}{-7}}$ = ${\frac{9}{7}}$
bei x = –1: ${\frac{3\ {\cdot}\ (-1)~-~9}{(-1~-~7)}}$ = ${\frac{-3~-~9}{-8}}$ = ${\frac{-12}{-8}}$ = ${\frac{12}{8}}$ = ${\frac{3}{2}}$
Definitionsmenge:
x – 7 =0 | + 7
x = 7
D = {x Є ℚ | x ≠ 7} oder D = ℚ \ {7}
b)
1 : (a² + 1); die Werte für a sind 2; 0
bei a = 2: 1 : ((2)² + 1) = 1 : (4 + 1) = 1 : 5 = 0,2
bei a = 0: 1 : ((0)² + 1) = 1 : (0 + 1) = 1 : 1 = 1
Definitionsmenge:
a² + 1 = 0 | – 1
a² = –1 | √
a² = nicht definiert (n. d.)
Es gibt keine Einschränkung im Definitionsbereich.
D = ℚ
c)
(4z + 2) : z; die Werte für z sind 9; –5
z = 9: (4 · (9) + 2) : 9 = (36 + 2) : 9 = 38 : 9 = 4$\frac{2}{9}$
z = –5: (4 · (–5) + 2) : (–5) = (–20 + 2) : (–5) = –18 : (–5) = 3,6
Definitionsbereich:
z = 0
D = {x Є ℚ Ι z ≠ 0} oder D = ℚ \ {0}
d)
2r : (r + 1); die Werte für r sind 7; 3
r = 7: 2 · (7) : (7 + 1) = 14 : 8 = 1,75
r = 3: 2 · (3) : (3 + 1) = 6 : 4 = 1,5
Definitionsmenge:
r + 1 = 0 | – 1
r = –1 | √
r = nicht definiert (n. d.)
Es gibt keine Einschränkung im Definitionsbereich.
D = ℚ
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme für die Definitionsmenge jeweils drei verschiedene Terme, die dieser Menge entsprechen.
a) ℚ \ {5}
Im Nenner muss man einen Term aufstellen, der beim Einsetzen von 5 die Zahl Null ergibt. Dann ist der Nenner bei dieser Zahl nicht definiert.
Bei dem Term –x + 5 ist das der Fall. Beim Einsetzen in die Variable muss einfach die negative Zahl zu der Zahl entstehen, die im Definitionsbereich ausgeschlossen ist. Der Zähler hat ja auf die Definitionsmenge keinen Einfluss. Daher kann man hier einfach drei Terme zusammenstellen. Folgende Bruchterme erfüllen dann diese Definitionsmenge:
${\frac{x~+~2}{(-x~+~5)}}$; ${\frac{x^2~+~5}{(-x~+~5)}}$; ${\frac{5}{(-x~+~5)}}$
b) ℚ \ {–7}
Hier ist der Term im Nenner: x + 7
Folgende Terme kann man dann hierfür aufstellen:
${\frac{7}{(x~+~7)}}$; ${\frac{x~+~9}{(x~+~7)}}$; ${\frac{3~+~2x}{(x~+~7)}}$
c) ℚ \ {4; 7}
Da zwei Ziffern im Definitionsbereich ausgeschlossen sind, kann man hier den Term am einfachsten aufstellen, wenn man hierfür ein Produkt wählt. Ein Produkt wird ja null, wenn einer Faktor des Produkts gleich null ist.
Hier ist der Term daher: (x – 4) · (x – 7)
Folgende Bruchterme erfüllen dann den Definitionsbereich:
$\frac{5x}{(x~{-}~4) \cdot (x~{-}~7)}$; ${\frac{6~+~x}{(x~-~4) \ {\cdot}\ (x~-~7)}}$; ${\frac{6~+~3x^2}{(x~-~4) \ {\cdot}\ (x~-~7)}}$
d) ℚ
Hier gibt es keine Einschränkung im Definitionsbereich. Daher muss man einen Nenner aufstellen, der niemals gleich null wird. Am einfachsten geht das mittels eines Terms, der eine Potenz mit einem positiven Exponenten vorweist und einer positiven Zahl, die mittels Addition mit dieser verbunden ist.
Folgender Term erfüllt das: x² + 4
Diese drei Terme entsprechen dem Definitionsbereich:
${\frac{x^2}{(x^2~+~4)}}$; ${\frac{3~+~5x}{(x^2~+~4)}}$; ${\frac{6x}{(x^2~+~4)}}$
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Folgende Terme sollen erweitert werden.
a)
$\frac{5}{9}$ mit 3
Erweitert werden Brüche, und zwar sowohl Zähler als auch Nenner mittels Multiplikation mit dem Erweiterungsfaktor
${\frac{5\ {\cdot}\ 3}{9\ {\cdot}\ 3}}$ = $\frac{15}{27}$
Siehe hierzu auch unter Bruchrechnung bei dem Reiter Erweitern und Kürzen 2. Das Erweitern eines Bruchs an.
b)
$\frac{-6}{7}$ mit 4
${\frac{-6\ {\cdot}\ 4}{7\ {\cdot}\ 4}}$ = $\frac{-24}{28}$
c)
$\frac{3}{4}$ mit –5
${\frac{3\ {\cdot}\ (-5)}{4\ {\cdot}\ (-5)}}$ = $\frac{-15}{-20}$
d)
$\frac{4}{5}$ mit a (für a ≠ 0)
${\frac{4\ {\cdot}\ a}{5\ {\cdot}\ a}}$ = $\frac{4a}{5a}$
e)
$\frac{3b}{7c}$ mit b (für b ≠ 0, c ≠ 0)
${\frac{3b\ {\cdot}\ b}{7c\ {\cdot}\ b}}$ = $\frac{3b^2}{7bc}$
f)
${\frac{x~+~y}{x~-~y}}$ mit a (für x ≠ y und a ≠ 0)
${\frac{(x~+~y)\ {\cdot}\ a}{(x~-~y)\ {\cdot}\ a}}$ = ${\frac{ax~+~ay}{ax~-~ay}}$
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Kürze folgende Terme. Faktorisiere bzw. klammere vorher den Term aus.
a)
${\frac{xy~+~xz}{x}}$ (für x ≠ 0)
Im Zähler und Nenner muss man einen gleichen Faktor finden. Diesen kann man dann ausklammern. Hier kann man das „x“ ausklammern.
${\frac{xy~+~xz}{x}}$ = ${\frac{x\ {\cdot}\ (y ~+~z)}{x\ {\cdot} \ (1)}}$ = ${\frac{y~+~z}{1}}$ = y + z
Zum Kürzen von Brüchen siehe auch unter Bruchrechnung bei dem Reiter Erweitern und Kürzen 3. Das Kürzen eines Bruchs an.
b)
${\frac{rb~-~rc}{b~-~c}}$ (für b ≠ c)
Hier kann man das „b – c“ ausklammern. Das ist auch gleichzeitig der Kürzungsfaktor.
${\frac{rb~-~rc}{b~-~c}}$ = ${\frac{(b~-~c)\ {\cdot}\ r}{(b~-~c)\ {\cdot}\ 1}}$ = ${\frac{r}{1}}$ = r
c)
${\frac{10x~-~15y}{10x~+~15y}}$ (für x ≠ –1,5y oder y ≠ –${\frac{2}{3}}$x
Hier kann man „5“ ausklammern.
${\frac{10x~-~15y}{10x~+~15y}}$ = ${\frac{5\ {\cdot}\ (2x~-~3y)}{5\ {\cdot}\ (2x~+~3y)}}$ = ${\frac{2x~-~3y}{2x~+~3y}}$
d)
${\frac{s^2~+~st}{s^2~-~st}}$ (für s ≠ 0, s ≠ t)
Hier kann man das „s“ ausklammern.
${\frac{s^2~+~st}{s^2~-~st}}$ = ${\frac{s\ {\cdot}\ (s~+~t)}{s\ {\cdot}\ (s~-~t)}}$ = ${\frac{s~+~t}{s~-~t}}$