„Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner“ – das hat man in Mathe beim Bruchrechnen bei der Multiplikation von Brüchen gelernt. Das ist normalerweise in der Grundschule in der 4. und 5. Klasse der Fall. Hier wird ja das Bruchrechnen von A bis Z durchgenommen. In der 8. Klasse bei speziellen Termen, den Bruchtermen, muss man in Anführungszeichen die Gedächtnisprobe aufs Exempel machen. Denn auch hier gilt wieder bei der Multiplikation von Bruchtermen „Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner“. Hat man die einfache Regel sofort wieder parat, so kann man mit ganz großer Wahrscheinlichkeit diese auch gleich wiederum anwenden. Gelernt ist halt gelernt – daher ist hier die Mathematik im Prinzip wie Fahrradfahren.
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Bruchterme
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Multipliziere die Brüche miteinander.
a) ${\frac{a}{b}}$ · ${\frac{c}{d}}$
b) ${\frac{3x}{8y}}$ · ${\frac{21}{4}}$
c) ${\frac{b}{a}}$ · ${\frac{1}{a}}$
d) ${\frac{1}{x}}$ · ${\frac{1}{x^2}}$
e) ${\frac{3s}{5t}}$ · ${\frac{4x}{1y}}$
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wende bei den Bruchtermen eine Multiplikation an.
a) ${\frac{9}{5y}}$ · ${\frac{7x^2}{8y}}$
b) ${\frac{7a^2}{3x^2}}$ · ${\frac{4b^2}{5x}}$
c) ${\frac{x~-~y}{x}}$ · ${\frac{x}{x~-~y}}$
d) ${\frac{4ya}{3b^2}}$ · ${\frac{7a}{9b}}$
e) ${\frac{a}{b}}$ · ${\frac{a~+~b}{a\ {\cdot}\ b}}$
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Gib bei dem Bruchterm die Definitionsmenge an.
a) ${\frac{x~+~8}{x}}$
b) ${\frac{x~+~3}{x~-~4}}$
c) ${\frac{5x}{x~+~8}}$
d) ${\frac{8x}{3x~-~12}}$
e) ${\frac{5b}{b~+~7}}$
f) ${\frac{a~+~5}{7a~+~35}}$
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Kürze die Brüche.
a) ${\frac{24}{42}}$
b) ${\frac{-90}{-120}}$
c) ${\frac{24a}{32}}$
d) ${\frac{-15x}{45a}}$
e) ${\frac{4a^2}{2ab}}$
f) ${\frac{9xy^2}{3x^2y}}$
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Bruchterme
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Führe bei jedem Term eine Multiplikation durch.
a) ${\frac{a}{b}}$ · ${\frac{c}{d}}$ = ${\frac{a\ {\cdot}\ c}{b\ {\cdot}\ d}}$ = ${\frac{ac}{bd}}$ (für b ≠ 0; d ≠ 0)
b) ${\frac{3x}{8y}}$ · ${\frac{21}{4}}$ = ${\frac{3x\ {\cdot}\ 21}{8y\ {\cdot}\ 4}}$ = ${\frac{63x}{32y}}$ (für y ≠ 0)
c) ${\frac{b}{a}}$ · ${\frac{1}{a}}$ = ${\frac{b\ {\cdot}\ 1}{a\ {\cdot}\ a}}$ = ${\frac{b}{a^2}}$ (für a ≠ 0)
d) ${\frac{1}{x}}$ · ${\frac{1}{x^2}}$ = ${\frac{1\ {\cdot}\ 1}{x\ {\cdot}\ x^2}}$ = ${\frac{1}{x^3}}$ (für x ≠ 0)
e) ${\frac{3s}{5t}}$ · ${\frac{4x}{1y}}$ = ${\frac{3s\ {\cdot}\ 4x}{5t\ {\cdot}\ 1y}}$ = ${\frac{12sx}{5ty}}$ (für t ≠ 0, y ≠ 0)
Zur Multiplikation von Bruchtermen siehe auch unter dem Reiter Bruchterme 4. Das Multiplizieren von Bruchtermen an.
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Nimm die Bruchterme miteinander mal.
a) ${\frac{9}{5y}}$ · ${\frac{7x^2}{8y}}$ = ${\frac{9\ {\cdot}\ 7x^2}{5y\ {\cdot}\ 8y}}$ = ${\frac{63x^2}{40y^2}}$ (für y ≠ 0)
b) ${\frac{7a^2}{3x^2}}$ · ${\frac{4b^2}{5x}}$ = ${\frac{7a^2\ {\cdot}\ 4b^2}{3x^2\ {\cdot}\ 5x}}$ = ${\frac{28a^2b^2}{15x^3}}$ (für x ≠ 0)
c) ${\frac{x~-~y}{x}}$ · ${\frac{x}{x~-~y}}$ = ${\frac{x\ {\cdot}\ x~+~(-y)\ {\cdot}\ x}{x\ {\cdot}\ x~+~x\ {\cdot}\ (-y)}}$ = ${\frac{x^2~-~xy}{x^2~-~xy}}$ (für x ≠ 0, für x ≠ y)
d) ${\frac{4ya}{3b^2}}$ · ${\frac{7a}{9b}}$ = ${\frac{4ya\ {\cdot}\ 7a}{3b^2\ {\cdot}\ 9b}}$ = ${\frac{28a^2y}{27b^3}}$ (für b ≠ 0)
e) ${\frac{a}{b}}$ · ${\frac{a~+~b}{a\ {\cdot}\ b}}$ = ${\frac{a\ {\cdot}\ a~+~a\ {\cdot}\ b}{b\ {\cdot}\ a~\ {\cdot}\ b}}$ = ${\frac{a^2~+~ab}{ab^2}}$ (für a ≠ 0, b ≠ 0)
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Definitionsmenge des Bruchterms.
a)
${\frac{x~+~8}{x}}$
x = 0
D = {x Є ℚ | x ≠ 0} oder D = ℚ \ {0}
Zur Bestimmung der Definitionsmenge bei Bruchtermen siehe auch unter dem Reiter Bruchterme 1.1 Die Definitionsmenge bei Bruchtermen an.
b)
${\frac{x~+~3}{x~-~4}}$
x – 4 = 0 | + 4
x = 4
D = {x Є ℚ | x ≠ 4} oder D = ℚ \ {4}
c)
${\frac{5x}{x~+~8}}$
x + 8 = 0 | – 8
x = –8
D = {x Є ℚ | x ≠ –8} oder D = ℚ \ {–8}
d)
${\frac{8x}{3x~-~12}}$
3x – 12 = 0 | + 12
3x = 12 | : 3
x = 4
D = {x Є ℚ | x ≠ 4} oder D = ℚ \ {4}
e)
${\frac{5b}{b~+~7}}$
b + 7 = 0 | – 7
b = –7
D = {b Є ℚ | b ≠ –7} oder D = ℚ \ {–7}
f) ${\frac{a~+~5}{7a~+~35}}$
7a + 35 = 0 | – 35
7a = –35 | : 7
a = –5
D = {a Є ℚ | a ≠ –5} oder D = ℚ \ {–5}
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Kürze die Bruchterme.
a) ${\frac{24}{42}}$ = ${\frac{6\ {\cdot}\ 4}{6\ {\cdot}\ 7}}$ = ${\frac{4}{7}}$
Der Kürzungsfaktor ist hier „6“.
Zum Kürzen von Bruchtermen siehe auch unter dem Reiter Bruchterme 2. Das Kürzen von Bruchtermen an.
b) ${\frac{-90}{-120}}$ = ${\frac{(-30)\ {\cdot}\ 3}{(-30)\ {\cdot}\ 4}}$ = ${\frac{3}{4}}$
Der Kürzungsfaktor ist hier „–30“.
c) ${\frac{24a}{32}}$ = ${\frac{8\ {\cdot}\ 3a}{8\ {\cdot}\ 4}}$ = ${\frac{3a}{4}}$
Hier ist der Kürzungsfaktor „8“.
d) ${\frac{-15x}{45a}}$ = ${\frac{15\ {\cdot}\ -x}{15\ {\cdot}\ 3a}}$ = ${\frac{-x}{3a}}$ (für a ≠ 0)
Hier ist der Kürzungsfaktor „15“.
e) ${\frac{4a^2}{2ab}}$ = ${\frac{2a\ {\cdot}\ 2a}{2a\ {\cdot}\ b}}$ = ${\frac{2a}{b}}$ (für a ≠ 0, b ≠ 0)
Hier ist der Kürzungsfaktor „2a“.
f) ${\frac{9xy^2}{3x^2y}}$ = ${\frac{3xy\ {\cdot}\ 3y}{3xy\ {\cdot}\ x}}$ = ${\frac{3y}{x}}$ (für x ≠ 0, y ≠ 0)
Der Kürzungsfaktor ist hier „3xy“.