Terme, die einem in Mathe Angst machen, sind ein Ausdruck von algebraischer Unsicherheit. Je schwieriger die Terme werden, desto stärker kann daher auch die Verunsicherung steigen – und somit auch der Frust. Das kann einem dann im Nu das ganze Fach Mathematik verleiden. So weit sollte es daher unter keinen Umständen kommen! Terme sollten für einen keine Term-Monster werden. Oft bekommen Schülerinnen und Schüler größere algebraische Schwierigkeiten bei ganz neu aussehenden Term-Gebilden, wie das bei Wurzeln der Fall ist. Das Wurzelzeichen stellt ja auch ein ganz neues und deshalb erst einmal ein gänzlich ungewohntes Zeichen dar. Bei Wurzeln gilt aber das Gleiche wie bei anderen Term-Ausdrücken: Sie verlieren ihren Schrecken – durch Üben, Üben, Üben anhand von Aufgaben.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Wurzeln
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne das Ergebnis.
a) $\sqrt[8]{1}$
b) $\sqrt{225}$
c) $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$
d) $\sqrt[5]{\frac{243}{32}}$
e) $\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne so einfach wie möglich. Ziehe hierfür Potenzen heran.
a) $\sqrt{15 \cdot 60}$
b) $\sqrt{6\ {\cdot}\ 14\ {\cdot}\ 21}$
c) $\sqrt{13\ {\cdot}\ 117}$
d) $\sqrt{7\ {\cdot}\ 14\ {\cdot}\ 6\ {\cdot}\ 3}$
e) $\sqrt[3]{45\ {\cdot}\ 12\ {\cdot}\ 50}$
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Entferne den Nenner unter der Wurzel
a) $\sqrt{\frac{3}{5}}$
b) $\sqrt{\frac{1}{3}}$
c) $\sqrt[3]{\frac{2}{7}}$
d) $\sqrt[4]{\frac{5}{6}}$
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bringe durch algebraische Umformung den Faktor außerhalb der Wurzel innerhalb die Wurzel.
a) 3$\sqrt{5}$
b) 2$\sqrt[4]{3}$
c) 2$\sqrt[5]{2}$
d) 6$\sqrt[3]{5}$
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Wurzeln
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Wurzel auf.
a) $\sqrt[8]{1}$ = 1; denn: 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1
b) $\sqrt{225}$ = 15; denn: 15 ∙ 15 = 225
c) $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$ = ${\frac{2}{3}}$; denn: ${\frac{2}{3}}$ ∙ ${\frac{2}{3}}$ ∙ ${\frac{2}{3}}$ = ${\frac{8}{27}}$
d) $\sqrt[5]{\frac{243}{32}}$ = ${\frac{3}{2}}$; denn: ${\frac{3}{2}}$ ∙ ${\frac{3}{2}}$ ∙ ${\frac{3}{2}}$ ∙ ${\frac{3}{2}}$ ∙ ${\frac{3}{2}}$ = ${\frac{243}{32}}$
e) $\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$ = ${\frac{1}{2}}$; denn: ${\frac{1}{2}}$ ∙ ${\frac{1}{2}}$ ∙ ${\frac{1}{2}}$ ∙ ${\frac{1}{2}}$ = ${\frac{1}{16}}$
Siehe hierzu auch unter dem Reiter Wurzeln 1. Das Wurzelziehen als Gegenrechenoperation des Potenzierens an.
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Wurzel mithilfe von Potenz-Bildungen auf.
a) $\sqrt{15\ {\cdot}\ 60}$ = $\sqrt{3\ {\cdot}\ 5\ {\cdot}\ 5\ {\cdot}\ 12}$ = $\sqrt{3\ {\cdot}\ 5\ {\cdot}\ 5\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}\ 4}$ = $\sqrt{3\ {\cdot}\ 5\ {\cdot}\ 5\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 2}$ = $\sqrt{3^2\ {\cdot}\ 5^2\ {\cdot}\ 2^2}$ = 3 ∙ 5 ∙ 2 = 30
b) $\sqrt{6\ {\cdot}\ 14\ {\cdot}\ 21}$ = $\sqrt{2\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 7\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}\ 7}$ = $\sqrt{2^2\ {\cdot}\ 3^2\ {\cdot}\ 7^2}$ = 2 ∙ 3 ∙ 7 = 42
c) $\sqrt{13\ {\cdot}\ 117}$ = $\sqrt{13\ {\cdot}\ 9\ {\cdot}\ 13}$ = $\sqrt{13\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}\ 13}$ = $\sqrt{13^2\ {\cdot}\ 3^2}$ = 13 ∙ 3 = 39
d) $\sqrt{7\ {\cdot}\ 14\ {\cdot}\ 6\ {\cdot}\ 3}$ = $\sqrt{7\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 7\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}\ 3}$ = $\sqrt{7^2\ {\cdot}\ 2^2\ {\cdot}\ 3^2}$ = 7 ∙ 2 ∙ 3 = 42
e) $\sqrt[3]{45\ {\cdot}\ 12\ {\cdot}\ 50}$ = $\sqrt[3]{3\ {\cdot}\ 15\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}\ 4\ {\cdot}\ 5\ {\cdot}\ 10}$ = $\sqrt[3]{3\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}\ 5\ {\cdot}\ 3\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 5\ {\cdot}\ 2\ {\cdot}\ 5}$ = $\sqrt[3]{3^3\ {\cdot}\ 5^3\ {\cdot}\ 2^3}$ = 3 ∙ 5 ∙ 2 = 30
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Entferne bei dem Bruch den Nenner.
a) $\sqrt{\frac{3}{5}}$
Der Bruch muss mit dem Erweiterungsfaktor 5 malgenommen werden, um im Nenner auf eine Quadratzahl (5 hoch 2) zu kommen:
$\sqrt{\frac{3}{5}}$ = $\sqrt{\frac{15}{25}}$ = $\frac{{\sqrt{15}}}{\sqrt{25}}$ = $\frac{1}{5}$ ∙ $\sqrt{15}$
Zum Erweitern von Brüchen siehe auch unter dem Reiter Erweitern und Kürzen 2. Das Erweitern eines Bruchs an.
b) $\sqrt{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt{\frac{3}{9}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9}}$ = $\frac{1}{3}$ ∙ $\sqrt{3}$
Der Bruch muss mit dem Erweiterungsfaktor 3 malgenommen werden, um im Nenner eine Quadratzahl (3 hoch 2) zu erhalten.
c) $\sqrt[3]{\frac{2}{7}}$
Der Bruch muss im Nenner mit dem Erweiterungsfaktor 49 malgenommen werden, um im Bruch eine Kubikzahl (7 hoch 3) zu erhalten.
$\sqrt[3]{\frac{2}{7}}$ = $\sqrt[3]{\frac{98}{343}}$ = $\frac{\sqrt[3]{98}}{\sqrt[3]{343}}$ = $\frac{1}{7}$ ∙ $\sqrt[3]{98}$
d) $\sqrt[4]{\frac{5}{6}}$
Der Bruch muss mit dem Erweiterungsfaktor 216 malgenommen werden, um im Nenner 6 hoch 4 zu erhalten.
$\sqrt[4]{\frac{5}{6}}$ = $\sqrt[4]{\frac{1080}{1296}}$ = $\frac{\sqrt[4]{1080}}{\sqrt[4]{1296}}$ = $\frac{1}{6}$ ∙ $\sqrt[4]{1080}$
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bringe den Faktor vor der Wurzel mittels Umformung innerhalb die Wurzel.
a) 3$\sqrt{5}$ = $\sqrt{3^2}$ ∙ $\sqrt{5}$ = $\sqrt{3^2\ {\cdot}\ 5}$ = $\sqrt{9\ {\cdot}\ 5}$ = $\sqrt{45}$
b) 2$\sqrt[4]{3}$ = $\sqrt[4]{2^4}$ ∙ $\sqrt[4]{3}$ = $\sqrt[4]{2^4\ {\cdot}\ 3}$ = $\sqrt[4]{16\ {\cdot}\ 3}$ = $\sqrt[4]{48}$
c) 2$\sqrt[5]{2}$ = $\sqrt[5]{2^5}$ ∙ $\sqrt[5]{2}$ = $\sqrt[5]{2^5\ {\cdot}\ 2}$ = $\sqrt[5]{32\ {\cdot}\ 2}$ = $\sqrt[5]{64}$
d) 6$\sqrt[3]{5}$ = $\sqrt[3]{6^3}$ ∙ $\sqrt[3]{5}$ = $\sqrt[3]{6^3\ {\cdot}\ 5}$ = $\sqrt[3]{216\ {\cdot}\ 5}$ = $\sqrt[3]{1080}$