1. Allgemeines zur Mitternachtsformel
Um eine quadratische Gleichung der Form ax2 + bx + c = 0 zu lösen (mit a ≠ 0), hat man früher stets auf die sogenannte Mitternachtsformel bzw. a-b-c-Formel zurückgegriffen.
Diese ist im schulischen Kontext aber inzwischen vermehrt aus der Mode gekommen und durch die sogenannte p-q-Formel ersetzt worden (zumindest in der Sekundarstufe I).
Denn jede quadratische Gleichung mit der Form ax2 + bx + c = 0 lässt sich auch mit der p-q-Formel lösen. Man muss hierfür „nur“ eine algebraische Umformung vornehmen, indem man das a, den Koeffizienten, vor dem x2 eliminiert.
Hinzu kommt, dass sich die p-q-Formel leicher merken lässt als die Mitternachtsformel und mit ihr auch leichter die Lösung der quadratischen Gleichung zu ermitteln ist.
Die Mitternachtsformel ist hierbei folgende:
x = $\frac{-\mathrm{b} \pm \sqrt{\mathrm{b}^2 – 4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}$
Die Diskriminaten nennt man bei der Mittenachtsformel das b2 – 4ac innerhalb der Wurzel. Mittels der Diskriminaten lässt sich bestimmen, wie vie Nullstellen die quadratische Gleichung vorweist.
Ist D > 0, dann weist die quadratische Gleichung zwei Lösungen auf.
Ist D = 0, dann weist die quadratische Gleichung eine Lösung auf.
Ist D < 0, dann weist die quadratische Gleichung keine Lösunga auf.
2. Anwendung der Mitternachtsformel
Es ist folgende quadratische Gleichung gegeben:
2x2 + 3x – 5 = 0
Die Koeffizienten sind hier diese: a = 2, b = 3 und c = – 5
Die Koffizienten setzt man nun in die Mitternachtsformel an der hierfür vorgesehenen Stelle ein.
x = $\frac{-3 \pm \sqrt{(3)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2}$
x = $\frac{-3 \pm \sqrt{9 +40}}{4}$
x = $\frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4}$
x = $\frac{-3 \pm 7}{4}$
x1 = $\frac{-3}{4}$ – $\frac{7}{4}$ = –$\frac{10}{4}$ = –2,5
x2 = $\frac{-3}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1