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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Term, Teil 6

Zwei Klammern © Paul-Georg Meister PIXELIO www.pixelio.de

Übung macht den Meister. Das gilt ganz besonders im Fach Mathe für das Ausmultiplizieren von Termen. Denn gerade beim Ausmultiplizieren passieren häufig Algebra-Fehler, da hierbei einiges beachtet werden muss, nämlich die richtige Anwendung des Distributivgesetzes/Verteilungsgesetzes, der Vorzeichenregel bei Produkten sowie der Potenzgesetze. Die erhöhte Fehlerquelle beim Ausmultiplizieren hat daher ihren Grund, da verschiedene Algebra-Kenntnisse „gleichzeitig“ auftreten – und natürlich eine korrekte Umsetzung erfahren müssen. Noch schwieriger wird das Ganze, wenn das Distributivgesetz/Verteilungsgesetz auf zwei Klammern angewandt werden muss, da dann mehr Terme miteinander algebraisch kombiniert werden müssen. „Fallstricke“ beim Ausmultiplizieren entgeht man daher nur, wenn man zigfach verschiedene solcher Klammern aufgelöst hat – und durch das kontinuierliche Üben schließlich eine „blinde“ Routine entstanden ist. Hierfür muss sich das Distributivgesetz/Verteilungsgesetz gewissermaßen ins Gedächtnis einbrennen.

Wie löse ich Klammern bei einem Produkt richtig auf ? © w.r.wagner PIXELIO www.pixelio.de

Bezogen auf eine Klammer heißt das, dass folgendes Muster stets auf Knopfdruck abgerufen werden muss:

· (b + c) = a · b + a · c = ab + ac

Auf zwei Klammern angewandt bedeutet das, dass stets dieses Muster abgespult werden muss:

(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d = ac + ad + bc + bd

Und am besten so wie hier, dass man das „Links-nach-rechts“-Schema beibehält. (Zuerst wird der ganz linke Term in der ersten Klammer mit dem ersten Term in der zweiten Klammer malgenommen, dann der ganz linke Term mit dem zweiten Term in der zweiten Klammer, dann der zweite Term in der ersten Klammer mit dem ersten Term in der zweiten Klammer und zum Schluss der zweite Term in der ersten Klammer mit dem zweiten Term in der zweiten Klammer.)

Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Terme

1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wende das Distributivgesetz/Verteilungsgesetz stets korrekt an und beachte die Vorzeichenregel!

a)            

(x + 5) (y + 3)

(a + 4) (b – 2)

(s – 9) (t – 7)

b)            

(a + b) (x + y)

(a + b) (s – t) 

(c – d) (x – y)

c)            

(5 + b) (r – s)

 (–x – y) (s – t)

 (–9 – x) (a + b)

d)            

(a – 9) (b + 7)

 (r – s) (u + v)

 (–x – y) (–a – b)

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse die Klammern auf und fasse, falls möglich, gleichartige Terme zusammen.

a)            

(x – 5) (8 – x)

(4r + s) (7 – t)

(a + 3) (9 – b)

b)            

(5a + 7b) (7b – 2c)

(7x + 3) (6x – 1)

(4a – 4b) (5 + 3c)

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zeige weiterhin, wie fit du beim Auflösen der Klammern bist. Fasse hierbei wiederum gleichartige Terme, falls möglich, zusammen.

a)          

(5a – b) (a – 3b)

(6w – 5x) (2y – 2z)

(–7 + st) (8 – u²)                                    

b)          

(–x + 9y) (8x – 12)

(–s – t²) (s – 6)

(3x + 5y) (6y – 3x)

Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Terme

1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse mittels Distributivgesetz/Verteilungsgesetz korrekt die Klammern auf.

a)          (x + 5) (y + 3)

Mittels des „Links-nach-rechts-„Schemas ergeben sich hier folgende Einzelterme:

· y + x · 3 + 5 · y + 5 · 3 = xy + 3x + 5y + 15

a)          (a + 4) (b – 2)

Das „Links-nach-rechts-„Schema liefert hier diese Einzelterme:

· b + a · (–2) + 4 · b + 4 · (–2) = ab – 2a + 4b – 8,

geordnet: –2a + ab + 4b – 8

Achte hier auf die bei Produkten geltende Vorzeichenregel, dass „+“ · „–“ = „–“ ergibt.

a)          (s – 9) (t – 7)

Mittels des „Links-nach-rechts-„Schemas entstehen hierdurch diese Einzelterme:

s · t + s · (–7) + (–9) · t + (–9) · (–7) = st – 7s – 9t + 63,

geordnet: – 7s + st – 9t + 63

Achte hier auf diese bei Produkten einzuhaltende Vorzeichenregeln, dass „+“ · „–“ = „–“ ist und „–“ · „+“ = „–“ sowie, dass „–“ · „–“ = „+“ ist.

b)           (a + b) (x + y)

Das „Links-nach-rechts-„Schema liefert hier folgende Einzelterme:

· x + a · y + b · x + b · y = ax + ay + bx +by

b)          (a + b) (s – t)

Mittels des „Links-nach-rechts-„Schemas ergeben sich diese Einzelterme:

· s + a · (–t) + b · s + b · (–t) = as – at + bs – bt

Achte hier wiederum auf die bei Produkten einzuhaltende Vorzeichenregel, dass „+“ · „–“ = „–“ ist.

b)          (c – d) (x – y)

Das „Links-nach-rechts-„Schema liefert hier diese Einzelterme:

c · x + c · (–y) + (–d) · x + (–d) · (–y) = cx – cy – dx + dy

Achte hier erneut auf die bei Produkten geltenden Vorzeichenregeln, dass „+“ · „–“ = „–“ ist und „–“ · „+“ = „–“ sowie, dass „–“ · „–“ = „+“ ist.

Klammer meets Affe = Klammeraffe © Bredehorn.J PIXELIO www.pixelio.de

c)           (5 + b) (r – s)

Hier liefert das „Links-nach-rechts-„Schema folgende Einzelterme:

· r + 5 · (–s) + b · r + b · (–s) = 5r – 5s + br – bs, geordnet: br + 5r – bs – 5s

Beachte hier wiederum die Vorzeigeregel bei Produkten, und zwar, dass „+“ · „–“ = „–“ ergibt.

c)          (–x – y) (s – t)

Mittels des „Links-nach-rechts-„Schemas kommt man zu diesen Einzeltermen:

(–x) · s + (–x) · (–t) + (–y) · s + (–y) · (–t) = –xs + xt – ys + yt, geordnet: –sx + tx – sy + ty

Halte hier wiederum die Vorzeichenregel bei Produkten ein, und zwar, dass  „–“ · „+“ = „–“ ist, „+“ · „–“ = „–“ sowie, dass „–“ · „–“ = „+“ ist.

c)          (–9 – x) (a + b)

Das „Links-nach-rechts-„Schema ergibt hier folgende Einzelterme:

(–9) · a + (–9) · b + (–x) · a + (–x) · b = –9a – 9b – xa – xb,

geordnet: –9a – ax – 9b  – bx

Achte hier wiederum auf die Vorzeichenregel bei Produkten, dass „–“ · „+“ = „–“ ist.

d)          (a – 9) (b + 7)

Mittels des „Links-nach-rechts-„Schemas erhält man diese Einzelterme:

· b + a · 7 + (–9) · b + (–9) · 7 = ab + a7 – 9b – 63,

geordnet: 7a + ab – 9b – 63

Vergesse hier wiederum nicht die geltende Vorzeichenregel bei Produkten, dass nämlich „–“ · „+“ = „–“ ergibt.

d)           (r – s) (u + v)

Mittels des „Links-nach-rechts-„Schemas entstehen folgende Einzelterme:

r · u + r · v + (–s) · u + (–s) · v = ru + rv – su – sv

Beachte wiederum die bei Produkten geltende Vorzeichenregel, dass „–“ · „+“ = „–“ ist.

d)           (–x – y) (–a – b)

Das „Links-nach-rechts-„Schema führt zu folgenden Einzeltermen:

(–x) · (–a) + (–x) · (–b) + (–y) · (–a) + (–y) · (–b) = xa + xb + ya + yb,

geordnet: ax + ay + bx + by

Vergesse hier wiederum nicht die bei Produkten geltende Vorzeichenregel, dass nämlich „–“ · „–“ = „+“ ist.

2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Eliminiere die Klammern und vereinfache die Ergebnisse so weit wie möglich.

a)           (x – 5) (8 – x)

· 8 + x · (–x) + (–5) · 8 + (–5) · (–x) = 8x – x² – 40 + 5x = 13x – x² – 40,

geordnet: –x² + 13x – 40

Beachte hier, dass

x · (–x) = x1 · (–x1) = –x1+1 = x2

ist.

a)          (4r + s) (7 – t)

4r · 7 + 4r · (–t) + s · 7 + s · (–t) = 28r – 4rt + s7 – st,

geordnet: 28r – 4rt + 7s – st

a)          (a + 3) (9 – b)

· 9 + a · (–b) + 3 · 9 + 3 · (–b) = a9 – ab + 27 – 3b,

geordnet: 9a – ab – 3b + 27

b)           (5a + 7b) (7b – 2c)

5a · 7b + 5a · (–2c) + 7b · 7b + 7b · (–2c) = 35ab – 10ac + 49b² – 14bc

Achte hier wiederum besonders darauf, dass 

7b · 7b = 7b1 · 7b1 = 49b1+1 = 49b2

ist.

b)           (7x + 3) (6x – 1)

7x · 6x + 7x · (–1) + 3 · 6x + 3 · (–1) = 42x² – 7x + 18x – 3 = 42x² + 11x – 3

Beachte hier wiederum das hier geltende Potenzgesetz, dass

7x · 6x = 7x1 · 6x1 = 42x1+1 = 42x2

gilt.

b)           (4a – 4b) (5 + 3c)

4a · 5 + 4a · 3c + (–4b) · 5 + (–4b) · 3c = 20a + 12ac – 20b – 12bc

3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse richtig die Klammern auf und fasse gegebenenfalls gleichartige Terme zusammen.

a)           (5a – b) (a – 3b)

5a · a + 5a · (–3b) + (–b) · a + (–b) · (–3b) = 5a² – 15ab – ab + 3b² =

5a² – 16ab + 3b²

a)          (6w – 5x) (2y – 2z)

6w · 2y + 6w · (–2z) + (–5x) · 2y + (–5x) · (–2z) = 12wy – 12wz – 10xy + 10xz

a)          (–7 + st) (8 – u²)

(–7) · 8 + (–7) ·  (–u²) + st · 8 + st · (–u²) = –56 + 7u² + 8st – stu²,

geordnet: 8st – stu² + 7u² – 56

b)          (–x + 9y) (8x – 12)

(–x) · 8x + (–x) · (–12) + 9y · 8x + 9y · (–12) = –8x² + 12x + 72xy – 108y

b)          (–s – t²) (s – 6)

(–s) · s + (–s) · (–6) + (–t²) · s + (–t²) · (–6) = –s² + 6s – st² + 6t²

b)          (3x + 5y) (6y – 3x)

3x · 6y + 3x · (–3x) + 5y · 6y + 5y · (–3x) = 18xy – 9x² + 30y² – 15xy = 3xy – 9x² + 30y²,

geordnet:–9x² + 3xy + 30y²

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