Bei Ungleichungen in Mathe ist eine Rechenregel überaus entscheidend! Diese lautet: Immer wenn man bei einer Ungleichung eine Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl durchführt, dann dreht sich das Vorzeichen der Ungleichung um. Hierbei handelt sich um eine Äquivalenzumformung. Alle anderen Lösungsschritte, die zur Lösung der Ungleichung führen, macht man genauso wie man das beim Lösen von Gleichungen bereits gelernt hat. Das ist sicherlich auch der Grund, warum Ungleichungen im Fach Mathematik heutzutage nur noch ein Randthema sind. Kann man nämlich Gleichungen lösen, so kann man auch Ungleichungen lösen – vorausgesetzt man beherzigt die einzige Ausnahme mit dem „Vorzeichen-Wechsel“ bei der Multiplikation und Division von negativen Zahlen.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Ungleichungen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Entscheide, was größer oder kleiner ist. Setze hierfür das richtige Zeichen (< oder >) ein!
a) –1,5 __ 0,2
1,5 __ –0,2
b) [latexpage] ${\frac{1}{6}$ __ [latexpage] ${\frac{1}{5}$
[latexpage] –${\frac{1}{6}$ __ [latexpage] –${\frac{1}{5}$
c) x > 4
–x __ –4
d) –x < [latexpage] –${\frac{1}{4}$
x __ [latexpage] ${\frac{1}{4}$
e) –x < 0
x __ 0
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der Ungleichung.
a) 17 + 5x < 61 + 9x
b) 38a + 31 > 36a + 25
c) –35x + 1564 > –2356
d) 6,8z > 7,7z + 13,52 + 9,5z
e) –1509 + 11,7x < 16,6x + 1088
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Überlege zur der Ungleichung ein passendes Zahlenrätsel. Ermittle anschließend die Lösungsmenge der Ungleichung.
a) x + 18 > 52
b) x – 8 < 20
c) 15 – x > 4
d) 8x < 40
e) [latexpage] ${\frac{x}{4}$ > –5
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle, welche Ungleichung die leere Menge als Lösungsmenge vorweist und welche Ungleichung die Menge [latexpage] ${\mathbb Q}$ als Lösungsmenge.
a) x < 1 + x
b) –1 + x < x
c) x > x
d) 4x ≥ x
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Ungleichungen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Setze das richtige Zeichen (< oder >) ein!
a) –1,5 __ 0,2
1,5 __ –0,2
Die negative Zahl ist hier kleiner als die positive. Daher gilt hier:
–1,5 < 0,2
Die positive Zahl ist natürlich größer als die negative. Deshalb ist hier:
1,5 > –0,2
b) [latexpage] ${\frac{1}{6}$ __ [latexpage] ${\frac{1}{5}$
[latexpage] –${\frac{1}{6}$ __ [latexpage] –${\frac{1}{5}$
Hier ist[latexpage] ${\frac{1}{6}$ kleiner als[latexpage] ${\frac{1}{5}$. Daher gilt hier:
[latexpage] ${\frac{1}{6}$ <[latexpage] ${\frac{1}{5}$
Hier ist[latexpage] –${\frac{1}{6}$ größer als[latexpage] –${\frac{1}{5}$. Deshalb ist hier:
[latexpage] –${\frac{1}{6}$ >[latexpage] –${\frac{1}{5}$
Wandle, um sicher zu gehen, die Brüche einfach in eine Dezimalzahl um.
c) x > 4
–x __ –4
Hier ist x > 4. Alle x, die darunter eingesetzt werden, sind daher –5 und kleiner (–6, –7, –8 usw.). Daher ist hier das Kleiner-als-Zeichen richtig.
–x < –4
d) –x < [latexpage] –${\frac{1}{4}$
x __ [latexpage] ${\frac{1}{4}$
Hier ist –x < [latexpage] –${\frac{1}{4}$. Daher ist jede Zahl für x größer[latexpage] ${\frac{1}{4}$, da die Zahlen[latexpage] ${\frac{1}{3}$, [latexpage] ${\frac{1}{2}$, [latexpage] ${\frac{1}{1}$ usw. sind.
x > [latexpage] ${\frac{1}{4}$
e) –x < 0
x __ 0
Setzt man in das x eine positive Zahl ein, so ergibt sich eine negative Zahl, diese ist dann kleiner null. Daher ist eine positive Zahl größer null.
x > 0
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung.
a) 17 + 5x < 61 + 9x | – 5x <=>
Eine Ungleichung löst man genauso auf wie eine Gleichung.
17 < 61 + 4x | – 61 <=>
–44 < 4x | : 4 <=>
–11 < x
L = {x | x > –11}
b) 38a + 31 > 36a + 25 | – 36a <=>
2a + 31 > 25 | – 31 <=>
2a > –6 | : 2 <=>
a > –3
L = {a | a > –3}
c) –35x + 1564 > –2356 | – 1564 <=>
–35x > –3920 | : (–35) <=>
x < 112
L = {x | x < 112}
d) 6,8z > 7,7z + 13,52 + 9,5z <=>
6,8z > 17,2z + 13,52 | – 17,2z <=>
–10,4z > 13,52 | : (–10,4) <=>
z < –1,3
L = {z | z < –1,3}
e) –1509 + 11,7x < 16,6x + 1088 | – 11,7x <=>
–1509 < 4,9x + 1088 | – 1088 <=>
–2597 < 4,9x | : 4,9 <=>
–530 < x
L = {x | x > –530}
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Stelle zu jeder Ungleichung ein Zahlenrätsel auf. Bestimme anschließend die Lösungsmenge der Ungleichung.
a) x + 18 > 52
Wenn man zu einer Zahl 18 addiert, so erhält man mehr als 52.
x + 18 > 52 | – 18 <=>
x > 34
L = {x | x > 34}
b) x – 8 < 20
Wenn man von einer Zahl 8 subtrahiert, so erhält man weniger als 20.
x – 8 < 20 | + 8 <=>
x < 28
L = {x | x < 28}
c) 15 – x > 4
Wenn man von 15 eine Zahl subtrahiert, so erhält man mehr als 4.
15 – x > 4 | + x <=>
15 > 4 + x | – 4 <=>
11 > x
L = {x | x < 11}
d) 8x < 40
Wenn man das 8-Fache einer Zahl nimmt, erhält man weniger als 40.
8x < 40 | : 8 <=>
x < 5
L = {x | x < 5}
e) [latexpage] ${\frac{x}{4}$ > –5
Wenn man eine Zahl durch 4 dividiert, erhält man mehr als –5.
[latexpage] ${\frac{x}{4}$ > –5 | · 4 <=>
x > –20
L = {x | x > –20}
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme, welche Ungleichung als Lösungsmenge die leere Menge hat und welche die [latexpage] ${\mathbb Q}$ als Lösungsmenge.
a) x < 1 + x | – x <=>
0 < 1
Die Aussage der Ungleichung ist immer wahr, 0 ist immer kleiner als 1. Daher gibt es für die Lösungsmenge keine Einschränkung.
L =[latexpage] ${\mathbb Q}$
b) –1 + x < x | – x <=>
–1 < 0
Auch diese Aussage der Ungleichung ist immer wahr, –1 ist immer kleiner als 0. Deshalb gilt hier für die Lösungsmenge:
L =[latexpage] ${\mathbb Q}$
c) x > x | – x <=>
0 > 0
Diese Aussage ist immer unwahr, 0 ist niemals größer als 0. Daher ist hier die Lösungsmenge:
L = { } bzw. [latexpage] ${\varnothing}$
d) 4x ≥ x | – x <=>
3x ≥ 0 | : 3 <=>
x ≥ 0
Diese Aussage ist immer wahr, da 0 größer gleich 0 ist. Demzufolge ist hier die Lösungsmenge:
L = { } bzw. [latexpage] ${\varnothing}$