Neben dem Gleichsetzungsverfahren lernt man in Mathe noch ein weiteres Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme kennen: das Einsetzungsverfahren. Im Gegesatz zum Gleichsetzungsverfahren setzt man hier nicht beide Gleichungen gleich, sondern setzt eine Gleichung in die andere Gleichung ein – daher der Name Einsatzungsverfahren. Das geht natürlich nur, wenn man die einzusetzende Gleichung nach einer Variablen (x oder y) hin separiert hat. Ebenso kann man die einzusetzende Gleichung nach einem Vielfachen der Variablen (z. B. 2x, 3y usw.) hin umformen – vorausgesetzt natürlich, dass dieses Vielfache der Variable (z. B. 2x, 3y usw.) auch bei der Gleichung, in der man die dergestalt aufgelöste Gleichung einsetzt, dort auch haargenau so vorhanden ist. Den Rest kennt man dann bereits. Die daraufhin nur noch eine Variable vorweisende Gleichung löst man nach dieser Unbekannten hin auf. Das Ergebnis setzt man in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein und ermittelt hierdurch das zweite Lösungspaar des linearen Gleichungssystems.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Lineare Gleichungssysteme
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle bei dem linearen Gleichungssystem die Lösung mittels des Einsetzungsverfahrens.
a) I. 2x + 0,5y = 20
II. y = 5x – 3
b) I: 3x – 4y = 49
II. y = –5(x – 1)
c) I. 11y – 15x = 4
II. x = 3y – 15
d) I. 5,4x – 3,5y = 9,2
II. y = 5x – 13
e) I. [latexpage] 4${\frac{1}{2}$x + 2${\frac{2}{3}$y = 17
II. x = 3y – 7
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle mittels des Einsetzungsverfahrens die Lösungsmenge. Wende das Einsetzungsverfahren möglichst sinnvoll an.
a) I. 6x + 11y = 34
II. 6x = 5y + 2
b) I. 45a – 17b = 73
II. 45a – 25b = 65
c) I. 10x – 7y = 44
II. 7y = 3x – 23
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse das Zahlenrätsel.
Addiert man zwei Zahlen miteinander, so erhält man 3,3. Zieht man zwei Zahlen voneinander ab, dann erhält man 7,9. Bestimme rechnerisch die beiden Zahlen.
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Die genaue Anzahl von Hühnern und Kaninchen soll ermittelt werden.
In einem großen Gehege befinden sich insgesamt 35 Hühner und Kaninchen. Alle Tiere weisen 94 Beine auf. Bestimme wie viel Hühner und wie viel Kaninchen im Gehege sind.
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Lineare Gleichungssysteme
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme mittels des Einsetzungsverfahrens die Lösung des linearen Gleichungssystems.
a) I. 2x + 0,5y = 20
II. y = 5x – 3
II. in I. 2x + 0,5(5x – 3) = 20
II. in I. 2x + 2,5x – 1,5 = 20
II. in I. 4,5x – 1,5 = 20 | + 1,5
II. in I. 4,5x = 21,5 | : 4,5
II. in I. x = ${\frac{43}{9}$
II. y = 5(${\frac{43}{9}$) – 3
II. y = ${\frac{215}{9}$ – 3
II. y = ${\frac{188}{9}$
L = {${\frac{43}{9}$/${\frac{188}{9}$}
b) I: 3x – 4y = 49
II. y = –5(x – 1)
II. in I. 3x – 4[–5 (x – 1)] = 49
II. in I. 3x – 4(–5x + 5) = 49
II. in I. 3x + 20x – 20 = 49
II. in I. 23x – 20 = 49 | + 20
II. in I. 23x = 69 | : 23
II. in I. x = 3
II. y = –5(3 – 1)
II. y = –5(2)
II. y = –10
L = {3/–10}
c) I. 11y – 15x = 4
II. x = 3y – 15
II. in I. 11y – 15(3y – 15) = 4
II. in I. 11y – 45y + 225 = 4
II. in I. –34y + 225 = 4 | – 225
II. in I. –34y = –221 | : (–34)
II. in I. y = 6,5
II. x = 3(6,5) – 15
II. x = 19,5 – 15
II. x = 4,5
L = {4,5/6,5}
d) I. 5,4x – 3,5y = 9,2
II. y = 5x – 13
II. in I. 5,4x – 3,5(5x – 13) = 9,2
II. in I. 5,4x – 17,5x + 45,5 = 9
II. in I. –12,1x + 45,5 = 9,2 | – 45,5
II. in I. –12,1x = –36,3 | : (–12,1)
II. in I. x = 3
II. y = 5(3) – 13
II. y = 15 – 13
II. y = 2
L = {3/2}
e) I. [latexpage] 4${\frac{1}{2}$x + 2${\frac{2}{3}$y = 17
II. x = 3y – 7
II. in I. 4${\frac{1}{2}$(3y – 7) + 2${\frac{2}{3}$y = 17
II. in I. ${\frac{27}{2}$y – ${\frac{63}{2}$ + 2${\frac{2}{3}$y = 17
II. in I. ${\frac{97}{6}$y – ${\frac{63}{2}$ = 17 | + ${\frac{63}{2}$
II. in I. ${\frac{97}{6}$y =´${\frac{97}{2}$ | : ${\frac{97}{6}$
II. in I. y = 3
II. x = 3(3) – 7
II. x = 9 – 7
II. x = 2
L = {2/3}
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems. Wende hierfür das Einsetzungsverfahren an.
a) I. 6x + 11y = 34
II. 6x = 5y + 2
II. in I. 5y + 2 + 11y = 34
II. in I. 16y + 2 = 34 | – 2
II. in I. 16y = 32 | : 2
II. in I. y = 2
II. 6x = 5(2) + 2
II. 6x = 10 + 2
II. 6x = 12 | : 2
II. x = 2
L = {2/2}
b) I. 45a – 17b = 73
II. 45a – 25b = 65
II. 45a – 25b = 65 | + 25b
II. 45a = 65 + 25b
II. in I. 65 + 25b – 17b = 73
II. in I. 65 + 8b = 73 | – 65
II. in I. 8b = 8 | : 8
II. in I. b = 1
I. 45a – 17(1) = 73
I. 45a – 17 = 73 | + 17
I. 45a = 90 | : 2
I. a = 2
L = {2/1}
c) I. 10x – 7y = 44
II. 7y = 3x – 23
II. in I. 10x – (3x – 23) = 44
II. in I. 10x – 3x + 23 = 44
II. in I. 7x + 23 = 44 | – 23
II. in I. 7x = 21 | : 7
II. in I. x = 3
II. 7y = 3(3) – 23
II. 7y = 9 – 23
II. 7y = –14 | : 7
II. y = –2
L = {3/–2}
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wenn man zwei Zahlen miteinander addiert, so ergibt sich 3,3. Zieht man zwei Zahlen voneinander ab, dann ergibt sich 7,9. Ermittle die beiden Zahlen über ein lineares Gleichungssystem.
Die beiden Gleichungen des linearen Gleichungssystems müssen wie folgt aussehen:
I. x + y = 3,3
II. x – y = 7,9
Das Einsetzungsverfahren bietet sich hier als Lösungsverfahren an, da es am schnellsten zur Lösung führt.
II. x – y = 7,9 | + y
II. x = 7,9 + y
II. in I. 7,9 + y + y = 3,3
II. in I. 7,9 + 2y = 3,3 | – 7,9
II. in I. 2y = –4,6 | : 2
II. in I: y = –2,3
I. x – 2,3 = 3,3 | + 2,3
I. x = 5,6
L = {5,6/–2,3}
Die beiden Zahlen sind –2,3 und 5,6.
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wie ist die genaue Anzahl von Kaninchen und Hühnern?
Es befinden sich in einem Gehege 35 Kaninchen und Hühner. Zusammen haben die Tiere 94 Beine. Wie viel Kaninchen und wie viel Hühner sind im Gehege?
Die erste Gleichung des linearen Gleichungssystems kann man recht leicht aufstellen.
I. x + y = 35
Die Anzahl an Kaninchen (x) + die Anzahl an Hühnern (y) ergibt 35.
Die zweite Gleichung ist etwas schwieriger aufzustellen. Aber der Hinweis mit den Beinen sollte zum richtigen Ziel führen! Kaninchen haben ja 4 Beine und Hühner 2.
II. 4x + 2y = 94
Es bietet sich hier an, wieder das Einsetzungsverfahren anzuwenden.
I. x + y = 35 | – y
I. x = 35 – y
I. in II. 4(35 – y) + 2y = 94
I. in II. 140 – 4y + 2y = 94
I. in II. 140 – 2y = 94 | – 140
I. in II. –2y = –46 | : (–2)
I. in II. y = 23
I. x + 23 = 35 | – 23
I. x = 12
L = {12/23}
Im Gehege befinden sich 12 Kaninchen und 23 Hühner.