1. Allgemeines zu Bruchgleichungen
Brüche können auch im Nenner Variablen vorweisen. Ist das in Mathe der Fall, so liegt ein Bruchterm vor. Darüber hinaus können aber auch bei Gleichungen Variablen im Nenner auftreten. Ist das bei einer Gleichung der Fall, dann handelt es sich in der Mathematik um eine Bruchgleichung.
Beispiele für Bruchgleichungen:
${\frac{15}{x~+~10}}$ = 5
${\frac{2}{x}}$ = ${\frac{7}{x~-~5}}$
${\frac{1}{x}}$ + ${\frac{x^2~+~x~+~1}{x(x~+~1)}}$ = 1
${\frac{x~-~2}{x~+~1}}$ + ${\frac{x~-~6}{x~-~1}}$ = ${\frac{2x^2}{x^2~-~1}}$
Das Besondere an Bruchgleichungen ist nun, dass ihre Definitionsmenge eine Einschränkung beinhalten kann. Da ja die Variable bei Bruchgleichungen sich im Nenner befindet, müssen von vornherein alle Zahlen von der Lösungsmenge ausgeschlossen werden, die den Nenner gleich null werden lassen. Wie man bereits vom Bruchrechnen weiß, ist nämlich ein Bruch mit einer Null im Nenner nicht definiert. Das gilt natürlich auch für Bruchterme und ebenso für Bruchgleichungen. Bevor man Bruchgleichungen nach der Variablen hin auflöst, bestimmt man daher immer ihre Definitionsmenge.
2. Die Definitionsmenge einer Bruchgleichung
Es ist folgende Bruchgleichung gegeben:
${\frac{5}{x~+~2}}$ = ${\frac{2}{x}}$
Zur Bestimmung der Definitionsmenge muss man jeden Nenner der Bruchgleichung, der eine Variable vorweist, für sich betrachten. Jeden Nenner, auf das dieses zutrifft, setzt man dann als nächstes gleich null. Die hierdurch sich ergebende Gleichung löst man darauf nach der Variablen hin auf. Das ist notwendig, um schließlich genau herauszufinden, welche Zahl den Nenner eventuell gleich null werden lässt.
Bei dem ersten Bruchterm ist im Nenner ein: x + 2; beim zweiten Bruchterm ein: x. Setzt man nun beide gleich null, so kann man die Definitionsmenge der Bruchgleichung ermitteln.
1. Bruchterm mit Variable im Nenner:
x + 2 = 0 | – 2
x = –2
2. Bruchterm mit Variable im Nenner:
x = 0
Die beiden Zahlen, die aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden müssen, sind also: –2 und 0.
D = ℚ \ {–2; 0}
Die Definitionsmenge einer Bruchgleichung stellt eine Menge dar, durch die alle in der Bruchgleichung vorkommenden Terme definiert sind.
Jede Lösungsmenge eine Bruchgleichung ist stets eine Teilmenge ihrer Definitionsmenge.
Nicht jeder Nenner mit einer vorweisenden Variablen ist an einer bestimmten Stelle nicht definiert. Besteht nämlich beispielsweise der Nenner aus einem x² und einer negativen Zahl, so ist dieser trotz Variable im Nenner stets definiert.
3. Die Lösungsmenge einer Bruchgleichung
Hat man bei einer Bruchgleichung die Definitionsmenge ermittelt, so löst man sie als nächstes nach der gegeben Variablen hin auf.
${\frac{5}{x~+~2}}$ = ${\frac{2}{x}}$
Als Erstes muss man hierbei den Nenner und somit den Bruch eliminieren, indem man den Hauptnenner der Bruchgleichung bildet.
Siehe hierzu auch ergänzend unter dem Reiter Bruchterme 3. Das Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen an.
Der Hauptnenner ist hier: (x + 2) · x
Der Hauptnenner muss nun mit beiden Seiten der Bruchgleichung multipliziert werden.
Hierbei ist es wichtig, dass Folgendes gilt: (x + 2) · x ≠ 0. Nur dann liegt auch wirklich eine Äquivalenzumforumg vor. Schließlich gilt ja für den Definitionsbereich der Bruchgleichung: D = ℚ \ {–2; 0}. Daher können unabhängig vom Ergebnis der Gleichung auf jeden Fall x = –2 und x = 0 keine Lösung der Bruchgleichung sein.
${\frac{5}{x~+~2}}$ = ${\frac{2}{x}}$ | · (x + 2) · x
${\frac{5\ {\cdot}\ (x~+~2)\ {\cdot}\ x}{x~+~2}}$ = ${\frac{2\ {\cdot}\ (x~+~2) \ {\cdot}\ x}{x}}$
Jetzt kann man die gleichen Terme im Zähler und Nenner herauskürzen. Dadurch lösen sich die Bruchterme auf.
5 · x = 2 · (x + 2)
Jetzt löst man die Gleichung Schritt für Schritt weiter nach der gegeben Variablen hin auf.
5x = 2x + 4 | – 2x
3x = 4 | : 3
x = ${\frac{4}{3}}$
L = { ${\frac{4}{3}}$ }
Probe:
${\frac{5}{\ {\frac{4}{3}} + 2}}$ = ${\frac{2}{\ {\frac{4}{3}}}}$
${\frac{5}{\ {3\frac{1}{3}}}}$ = ${\frac{2}{\ {\frac{4}{3}}}}$
${1\frac{1}{2}}$ = ${1\frac{1}{2}}$
Die Probe bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.