Ableitungsregeln

1. Ableitungen von Funktionen und deren Ableitungsregeln

Eine zentraler Teil der Analysis befasst sich mit dem Untersuchen von besonderen Merkmalen einer Funktion, die sich nur ganz genau mittels Ableitungen rechnerisch bestimmen lassen. Diese Merkmale umfassen die Steigung an einer bestimmten Stelle, Extremwerte/Extrema und Wendepunkte. Hierbei muss man in der Regel eine Funktion 3-mal ableiten, um alle geforderten Funktionsuntersuchungen rechnerisch durchführen zu können.

Ist eine Funktion f differenzierbar, so wird die Ableitung solch einer Funktion f als f‘ bezeichnet. Die Ableitung von f‘ ist f“ und die Ableitung von f“ dann f“‘, immer vorausgesetzt die Ableitungsfunktion ist weiter differenzierbar. f‘ heißt hierbei 1. Ableitung, f“ 2. Ableitung und f“‘ 3. Ableitung.

Für jede Funktion, die im Fach Mathe bei der Analysis behandelt wird, gibt es nun klare Ableitungsregeln.

2. Die Potenzregel

Für jede Funktion f(x) = xn mit n Є  gilt f'(x) = n · x^{n – 1}

Diese Gesetzmäßigkeit wird in der Mathematik die Potenzregel genannt.

1. Beispiel:

Gegeben ist folgende Funktion: f(x) = x⁵. Bilde hiervon die 1. Ableitung.

f'(x) = 5 · x^{5 – 1} =

5 · x⁴ 

= 5x⁴

2. Beispiel: 

Bestimme von dieser Funktion die Ableitung:

f(x) = $\frac{1}{\mathrm{x}^4}$

f(x) = $\frac{1}{\mathrm{x}^4}$ = x^–4

f'(x) = –4 · x^{–4 – 1} = 

–4x^–5 = 

–4${\frac{1}{\mathrm x^5}}$

Siehe zur algebraischen Umwandlung einer Potenz, die in einem Bruch auftritt, auch unter Rechenoperationen, das Stoffgebiete Potenzen an, und dort den Punkt 1. Bestandteile und Besonderheiten einer Potenz

3. Die Summenregel und die Faktorregel

Sind innerhalb eines Intervalls I die beiden Funktionen g und h definiert und ebenso an der Stelle x Є I differenzierbar, so gilt folgende Gesetzmäßigkeit:

a)  

f = g + h ist an der Stelle x differenzierbar sowie f‘(x) = g‘(x) + h‘(x)

Diese Gesetzmäßigkeit nennt man in Mathe die Summenregel.

1. Beispiel

Bestimme bei folgender Funktion die Ableitung:

f(x) = x⁶ + x⁴

f'(x) = 6 · x^{6 – 1} + 4 · x^{4 – 1} =

6x⁵ + 4x³

2. Beispiel:

Gegeben ist folgende Funktion: x⁴ + x^–5. Bestimme die 1. Ableitung.

f'(x) = 4 · x^{4 – 1}+ (–5) · x ^{–5 – 1} 

= 4x³ – 5x ^–6

b)  

f = c · g mit c Є ℝ ist an der Stelle x differenzierbar sowie f‘(x) = c · g‘(x)

Diese Gesetzmäßigkeit nennt man in der Mathematik die Faktorregel.

1. Beispiel:

Bestimme die 1. Ableitung der Funktion: f(x) = 4x².

f'(x) = 4 · 2 · x² – 1 =

8x¹ =

8x

2. Beispiel: 

Gebe für folgende Funktion die 1. Ableitung an: f(x) =  –3x^–5.

f'(x) = (–3) · (–5) · x^{–5 – 1} =

15x^–6

Bei jeder ganzrationalen Funktion f, deren Grad n ≥ 1 ist, kann man eine Ableitung durchführen bzw. diese ist differenzierbar. Der Grad jener abgleiteten ganzrationalen Funktion ist n –1.

Daher gilt zum Ableiten jeder ganzrationalen Funktion die Summenregel und die Faktorregel.

4. Die Produktregel

Gilt bei den Funktionen u und v, dass diese beide Funktionen differenzierbar sind, dann ist auch die Funktion f = u · v differenzierbar. Hierbei tritt folgende Mathe-Gesetzmäßigkeit beim Ableiten auf: f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) + v'(x).

Diese Gesetzmäßigkeit nennt man die Produktegel.

1. Beispiel: Leite folgende Funktion ab: f(x) = x ·[latexpage] $\sqrt{\ {\mathrm x}$

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Um einen Wurzel-Term ableiten zu können, formt man diesem immer zunächst in die Potenzschreibweise um.

f(x) = x ·[latexpage] $\sqrt{\ {\mathrm x}$

f(x) = x  · [latexpage] $\mathrm x^{\frac{1}{2}}$

f(x) = x¹  · [latexpage] $\mathrm x^{\frac{1}{2}}$

f'(x) = (1 · x1 – 1)  ·[latexpage] $\mathrm x^{\frac{1}{2}}$ + (x) ·[latexpage] ${\frac{1}{2}$ ·[latexpage] $\mathrm x^{\frac{1}{2}\ -1}$

Die Produktregel wendet man nun dahingehend richtig an, indem man die einzelnen Faktoren jeweils ableitet. Hierfür benutzt man jeweils die Potenzregel (teilweise in Kombination mit der Summen- und Faktorregel).

f'(x) = (1 · x⁰) ·[latexpage] $\mathrm x^{\frac{1}{2}}$ + (x) ·[latexpage] ${\frac{1}{2}$ ·[latexpage] $\mathrm x^-^{\frac{1}{2}}$

f'(x) = (1 · 1) ·[latexpage] $\mathrm x^{\frac{1}{2}}$ + ${\frac{1}{2}$x ·[latexpage] $\mathrm x^-^{\frac{1}{2}}$

f'(x) = [latexpage] $\mathrm x^{\frac{1}{2}}$ + ${\frac{1}{2}$x ·[latexpage] $\mathrm x^-^{\frac{1}{2}}$

f'(x) = [latexpage] $\sqrt{\ {\mathrm x}$ +[latexpage] ${\frac{0,5\mathrm x}{\sqrt{\mathrm x}}$

2. Beispiel: Bilde von der Funktion f(x) = (3x + 1) (1 – 2x) die 1. Ableitung.

f'(x) = (x) · (1 – 2x) + (3x + 1) · (–2x)

f'(x) = x – 2×2 – 6×2 – 2x

f'(x) = –8×2  – x

Bei der Funktion hätte man auch mittels des Distributivgesetzes/Verteilungsgesetztes das Produkt auflösen können und danach mittels der Potenz-, Faktor- und Summenregel ableiten können.

5. Die Quotientenregel

Gilt bei den Funktionen u und v, dass diese beiden differenzierbar sind, mit v (x) ≠ 0, dann ist auch die Funktion f: x[latexpage] ${\mapsto}$[latexpage] ${\frac{\mathrm u(\mathrm x)}{\mathrm v(\mathrm x)}$ differenzierbar. Diese Mathematik-Gesetzmäßigkeit gilt dann für die Ableitung der Funktion: f'(x) = [latexpage] ${\frac{\mathrm u'(\mathrm x)\ {\cdot}\ \mathrm v(\mathrm x)~-~\mathrm u(\mathrm x)\ {\cdot}\ \mathrm v'(\mathrm x)}{\mathrm v^2(\mathrm x)}$.

Jene Gesetzmäßigkeit wird in Mathe als Quotientenregel bezeichnet.

1. Beispiel: Nehme an dieser Funktion die 1. Ableitung vor: f(x) = [latexpage] ${\frac{2\mathrm x}{\mathrm x~+~1}$.

f(x) = [latexpage] ${\frac{2\mathrm x}{\mathrm x~+~1}$

f(x) = [latexpage] ${\frac{2\mathrm x^1}{\mathrm x^1~+~1}$

f'(x) = [latexpage] ${\frac{(2\ {\cdot}\ 1\ {\cdot}\ \mathrm x^1^-^1)\ {\cdot}\ (\mathrm x~+~1)~-~(2\mathrm x)\ {\cdot}\ (1\ {\cdot}\ \mathrm x^1^-^1)}{(\mathrm x^1~+~1)^2}$

f'(x) = [latexpage] ${\frac{(2\mathrm x^0)\ {\cdot}\ (\mathrm x+1)~-~(2x)\ {\cdot}\ \mathrm x^0}{(\mathrm x~+~1)^2}$

f'(x) = [latexpage] ${\frac{(2)\ {\cdot}\ (\mathrm x+1)~-~2\mathrm x}{(\mathrm x~+~1)^2}$

f'(x) = [latexpage] ${\frac{2\mathrm x~+~2~-~2\mathrm x}{(\mathrm x~+~1)^2}$

f'(x) = [latexpage] ${\frac{2}{(\mathrm x~+~1)^2}$

Um die Quotientenregel richtig anwenden zu können, muss man auch die Potenz-, Faktor- und Summenregel beherrschen.

2. Beispiel: Führe an der Funktion f(x) = [latexpage] ${\frac{\mathrm x^2}{1~+~3\mathrm x^2}$ die 1. Ableitung durch.

f(x) =  [latexpage] ${\frac{\mathrm x^2}{1+3\mathrm x^2}$

f'(x) = [latexpage] ${\frac{(2\ {\cdot}\ \mathrm x^2^-^1)\ {\cdot}\ (1~+~3\mathrm x^2)~-~(\mathrm x^2)\ {\cdot}\ (2\ {\cdot}\ 3\mathrm x^2^-^1)}{(1~+~3\mathrm x^2)^2}$

f'(x) = [latexpage] ${\frac{(2\mathrm x)\ {\cdot}\ (1~+~3\mathrm x^2)~-~(\mathrm x^2)\ {\cdot}\ (6\mathrm x)}{(1~+~3\mathrm x^2)^2}$

f'(x) = [latexpage] ${\frac{2\mathrm x~+~6\mathrm x^3~-~6\mathrm x^3}{(1~+~3\mathrm x^2)^2}$

f'(x) = [latexpage] ${\frac{2\mathrm x}{(1~+~3\mathrm x^2)^2}$

6. Die Kettenregel

Wenn f = [latexpage] $u \circ v$ eine Verkettung zweier Funktionen u und v ist, die beide differenzierbar sind, dann ist auch f differenzierbar. Es tritt dann folgende Gesetzmäßigkeit auf: f'(x) = u'(v(x)) · v'(x).

Jene Gesetzmäßigkeit nennt man in Mathe die Kettenregel.

1. Beispiel:

f(x) = (6 + 4x)⁵

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Wenn man die Kettenregel neu anwendet, sollte man sich vorab die innere und die äußere Funktion extra aufschreiben und einzeln ableiten.

Innere Funktion:    v(x) = 6 + 4x;   v'(x) = 4

Äußere Funktion:   u(v) = v⁵;   u'(v) = 5v⁴

f'(x) = u'(v(x)) · v'(x) = 5 · (6 + 4x)⁴ · 4 = 20 · (6 + 4x)⁴

2. Beispiel: 

f(x) = [latexpage] $\sqrt{\ {\mathrm x^3+1}$

Innere Funktion: v(x) = x³  + 1; v'(x) = 3x²

Äußere Funktion: u(v) = [latexpage] $\sqrt{\ {\mathrm v}$ = $\mathrm v^{\frac{1}{2}}$; u'(v) = ${\frac{1}{2}$ · $\mathrm v^-^{\frac{1}{2}}$

f'(x) = ${\frac{1}{2}$ · $(\mathrm x^3 + 1)^-^{\frac{1}{2}}$ · 3x² = ${\frac{3}{2}$ ·[latexpage] ${\frac{\mathrm x^2}{\sqrt{\mathrm x^3~+~1}}$