Kategorie: Gleichungen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Stoffgebiet Funktionen, Teil 4

Eine lineare Funktion als Graph dargestellt © Honina

Funktionen sind eindeutige Zuordnungen. Das ist ihr Charakteristikum. Ist das bei einer Funktion der Fall, dass eine eindeutige Zuordnung vorliegt, so kann man in Mathe hierzu einen Funktionsterm aufstellen. Dieser Funktionsterm gibt ganz allgemein die Zuordnung wieder. Man kann solch eine eindeutige Zuordnung jedoch nicht nur algebraisch durch einen Term bestimmen, sondern auch graphisch. Eine Funktion kann schließlich immer auch in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden und ihr Verlauf sichtbar gemacht werden. Das nennt man den Graph einer Funktion. Daher kann man auch immer sowohl algebraisch als auch mittels eines Koordinatensystems eindeutig sagen, ob wirklich eine Funktion vorliegt – oder nicht. Es gibt in der Mathematik ja nicht nur Funktionen, das heißt, eindeutige Zuordnungen, sondern auch Relationen, uneindeutige Zuordnungen.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Gleichungen, Teil 10

Schule und insbesondere Mathe sind nicht schön. © Alexandra H. / PIXELIO

Bei quadratischen Gleichungen kann man mittels der p-q-Formel, der Mitternachtsformel oder eines quadratischen Ergänzens deren Lösungen ermitteln. Das sind ja alles bekanntermaßen Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen. „Was aber, wenn die Lösung bereits vorliegt?“, sagt der Mathematik-Lehrer. „Schön“, sagt hier ein nicht so interessierter Mathe-Schüler. „Dann muss ich erst gar nicht rechnen.“ „Moment, das kann aber nicht sein,“ sagt hingegen eine an Mathematik eine Freude habende Schülerin. „Stimmt“, sagt schließlich der Lehrer. „Liegt eine Lösung einer quadratischen Gleichungen bereits vor, so soll man mittels eines Lösungsverfahren deren Normalform ermitteln!“, fährt dieser weiter. „Das macht man dann über den sogenannte Satz von Vieta, und zwar …“ „Mathe ist doch nie schön“, denkt sich schlussendlich der an dem Fach nicht interessierte Schüler.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Ungleichungen, Teil 6

Schritt für Schritt © Jan Wattjes / PIXELIO

Bei linearen Ungleichungen gilt es, Schritt für Schritt – wie übrigens auch bei allen Stoffgebieten in Mathe – die Aufgabe zu lösen. Die einzelnen Lösungsschritte sind hierbei natürlich je nach Aufgabe verschieden. Das ist natürlich ebenfalls bei allen Mathematik-Stoffgebieten so! Es gibt aber immer bei jedem Stoffgebiet Standartaufgaben. Daher auch bei linearen Ungleichungen. Eine Standartaufgabe ist hier, dass eine komplette lineare Ungleichung dasteht und man diese lösen muss. Zunächst fasst man alle gleichen Einzelterme rechts und links des Ungleichheitszeichens zusammen. Dann separiert man den Einzelterm mit der Variablen von dem Einzelterm ohne die Variable. Steht schließlich die Variable alleine, d. h. nur mit der Zahl/dem Faktor 1 vor der Variablen, auf einer Seite der Ungleichung und auf der anderen Seite der Einzelterm ohne Variable – dann hat man die lineare Ungleichung gelöst.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu quadratischen Funktionen, Teil 2

Die Normalparabel

Der bekannteste Graph einer quadratischen Funktion ist die sogenannte Normalparabel. Da es hierfür in Mathe extra eine Schablone gibt, kennt man die Normalparabel normalerweise sehr gut – und deren möglichen Verläufe im Koordinatensystem. Hierfür muss man sich zuvor nur die quadratischen Funktionen genau anschauen. Dann weiß man auch, wo man die Normalparabel im Koordinatensystem einzeichnen muss. Man orientiert sich hierbei an der Funktion y = x². Das stellt die nach oben geöffnete Normalparabel, vom Koordinatenursprung ausgehend, dar. Heißt die Funktion jedoch y = x² + 4, so muss man die Funktion um vier Längeneinheiten nach oben verschieben (entlang der y-Achse). Bei der Funktion y = (x – 4)² um vier Längeneinheiten nach rechts (entlang der x-Achse). Bei der Funktion y = (x – 4)² + 4 um vier Längeneinheiten nach rechts und vier Längeneinheiten nach oben.

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zu Gleichungen mit Parametern, Teil 1

Gleichungen mit Parametern (Formvariablen) © Claudia Hautumm / PIXELIO

In Mathe können Gleichungen nicht nur eine Variable vorweisen, sondern auch zwei (oder noch mehr). Solch eine Gleichung nennt man dann Gleichung mit Parameter oder Formvariable. Hierbei ist es wichtig zu wissen: Was ist die Lösungsvariable und was ist die Formvariable? Davon hängt ja entscheidend ab, nach welcher Variablen hin man die Gleichung auflösen muss (klingt logisch, oder?). Bei Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts von Vielecken oder dem Volumen von Prismen muss man mittels Äquivalenzumformungen die Gleichung immer nach der Lösungsvariablen hin umformen. Das ist dann später eine praktische Anwendung von Gleichungen mit Parametern/Formvariablen. Hier zeigt sich aber dann auch: Jede Variable kann die Lösungsvariable sein. Je nach Aufgabenstellung kann das deshalb variieren. 😉

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