Lineare Gleichungen stellen Gleichungen dar, die eine Variable oder mehrere Variablen vorweisen, die die Potenz 1 besitzen wie beispielsweise x + 7 = 0 oder 5x + 3x – 7 = 0. Bei linearen Ungleichungen verhält es sich genauso. Lineare Ungleichungen bestehen immer aus einer Variablen mit der Potenz 1 wie zum Beispiel x + 7 > 0 oder 5x + 3x > 0. Aufgrund des nahezu gleichen Aufbaus zu linearen Gleichungen löst man lineare Ungleichungen auch fast genauso auf. Das ist das Schöne an der Mathematik, es gibt viele Stoffgebiete, die mit einem anderen zusammenhängen. Obzwar man etwas Neues lernt, „fühlt“ sich das dann in Mathe oftmals wie bereits „gelernt“ an.
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Lineare Ungleichungen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösungsmenge der Ungleichung.
a) –3x ≤ 12 + 4x
b) –3x + 7 – x ≥ 0
c) –x ≤ –2x + 4
d) –${\frac{1}{2}}$x ≥ –${\frac{2}{3}}$x + 1
e) –x ≥ 4x – 1
f) –5x ≤ –4x – 10
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Gebe die Lösungsmenge mit Worten wieder. Veranschauliche die Lösungsmenge ebenso auf einer Zahlengeraden.
a) {x Є ℚ | x < 1,5}
b) {x Є ℚ | x < –2}
c) {x Є ℚ | x > 2,5}
d) {x Є ℚ | x > –3}
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Stelle für das Zahlen-Rätsel eine Ungleichung auf und ermittle die Lösung.
a) Verringert man eine Zahl um 11 und nimmt man die Differenz mit 7 mal, so erhält man weniger als die Zahl 42.
b) Dividiert man eine Zahl durch 3, so erhält man weniger als die Zahl –10.
c) Vermehrt man eine Zahl um 12 und teilt diese Summe mit 5, so erhält man mehr als die Zahl 4.
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Für welche Ungleichung gilt, dass die Lösungsmenge die leere Menge ist, und für welche, dass die Lösungsmenge ℚ ist.
a) x – 0 ≥ x
b) 41x – 5 < 41x + 5
c) x + ${\frac{7}{99}}$ ≤ x
d) 0,2x + 2 > ${\frac{1}{5}}$x
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Lineare Ungleichungen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung.
a)
–3x ≤ 12 + 4x | – 4x
–7x ≤ 12 | : (–7)
x ≥ –${\frac{12}{7}}$
L = {x | x ≥ –${\frac{12}{7}}$}
Achte hierbei, dass bei einer Division mit einem Zahl mit negativem Vorzeichen sich das Vorzeichen eine Ungleichung umdreht. Siehe hierzu auch unter dem Reiter Ungleichungen 3. Das Umdrehen des Ungleichheitszeichens bei Ungleichungen an.
b)
–3x + 7 – x ≥ 0
–4x + 7≥ 0 | + 4x
7 ≥ 4x | : 4
${\frac{7}{4}}$ ≥ x
L = {x | x ≤ –${\frac{7}{4}}$}
c)
–x ≤ –2x + 4 | + 2x
x ≤ 4
L = {x | x ≤ 4}
d)
–${\frac{1}{2}}$x ≥ –${\frac{2}{3}}$x + 1 | + ${\frac{2}{3}}$x
${\frac{1}{6}}$x ≥ 1 | : ${\frac{1}{6}}$
x ≥ 6
L = {x | x ≥ 6}
e)
–x ≥ 4x – 1 | – 4x
–5x ≥ –1 | : (–5)
x ≤ ${\frac{1}{5}}$
L = {x | x ≤ ${\frac{1}{5}}$}
f)
–5x ≤ –4x – 10 | + 4x
–x ≤ –10 | : (–1)
x ≥ 10
L = {x | x ≥ 10}
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Lese die Lösungsmenge ab. Die Lösungsmenge soll ebenfalls an einer Zahlengeraden veranschaulicht werden.
a) {x Є ℚ | x < 1,5}
Für alle x aus der Menge der rationalen Zahlen gilt: x ist kleiner 1,5.
Siehe hierzu auch unter dem Reiter Ungleichungen 2. Die Bestimmung der Lösungsmenge einer reinen Ungleichung an.
b) {x Є ℚ | x < –2}
Für alle x aus der Menge der rationalen Zahlen gilt: x ist kleiner –2.
c) {x Є ℚ | x > 2,5}
Für alle x aus der Menge der rationalen Zahlen gilt: x ist größer 2,5.
d) {x Є ℚ | x > –3}
Für alle x aus der Menge der rationalen Zahlen gilt: x ist größer –3.
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Für folgende Zahlenrätsel soll jeweils eine Ungleichung aufgestellt werden und anschließend die Lösung bestimmt werden.
a) Subtrahiert man eine Zahl um 11 und nimmt die Differenz mit 7 mal, dann erhält man weniger als 42.
(x – 11) · 7 < 42
7x – 77 < 42 | + 77
7x < 119 | : 7
x < 17
L = {x | x < 17}
Jede Zahl, die kleiner 17 ist, erfüllt das Zahlenrätsel.
b) Für man bei einer Zahl eine Division mit 3 durch, dann erhält man weniger als –10.
x : 3 < –10 | · 3
x < –30
L = {x | x < –30}
Jede Zahl, die kleiner –30 ist, erfüllt das Zahlenrätsel.
c) Addiert man zu einer Zahl 12 und dividiert diese durch 5, dann erhält man weniger als 4.
(x + 12) : 5 < 4 | · 5
x + 12 < 20 | – 12
x < 8
L = {x | x < 8}
Jede Zahl kleiner 8 erfüllt das Zahlenrätsel.
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bei welcher Ungleichung ist die Lösungsmenge die leere Menge, für welche Ungleichung ist die Lösungsmenge ℚ?
a)
x – 0 ≥ x | – x
0 ≥ 0
Die Ungleichung ist unabhängig von einer Variable immer wahr.
L = ℚ
b)
41x – 5 < 41x + 5 | – 41x
–5 < 5 | + 5
0 < 10
Die Ungleichung ist immer wahr.
L = ℚ
c)
x + ${\frac{7}{99}}$ ≤ x | – x
${\frac{7}{99}}$ ≤ 0
Die Ungleichung ist immer unwahr.
L = { } bzw. Ø
d) 0,2x + 2 > ${\frac{1}{5}}$x | – 0,2x
2 > 0
Die Ungleichung ist immer wahr.
L = ℚ