In der Realität wird man unentwegt mit Flächen konfrontiert. Schon alleine der Boden, auf dem man sich zuhause bewegt, stellt eine Fläche dar. Die Wände ebenso. Spätestens in der Schule bekommt man ein Flächen-Déjà-vu. Dort befindet man sich ja auch in Räumen und diese bestehen ja wie das eigene Zuhause aus Böden und Wänden. Jede ebene Abgrenzung besteht nämlich aus Flächen, die man auch – und nun kommt der Switch zu Mathe – natürlich berechnen kann. In der Mathematik nennt man eine zu berechnende Fläche Flächeninhalt. Die Berechnung des Flächeninhalts hängt hierbei maßgeblich davon ab, um welche Fläche es sich handelt. Mit der richtigen Formel, je nach Vieleck, sollte das aber in Mathe kein großes Problem darstellen, den Flächeninhalt zu berechnen. Genauso verhält es sich übrigens mit dem Umfang. Der Umfang ist ja bei der Fläche deren Begrenzung bzw. „der Weg, den man darum gehen kann“.
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Flächeninhalt bei Vielecken
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne jeweils den Flächeninhalt AR und dem Umfang UR des Rechtecks mit den Seitenlängen a und b.
a) a = 4 cm, b = 6 cm
b) a = 7 cm, b = 3 cm
c) a = 3 dm, b = 2 dm
d) a = 5 m, b = 3 m
e) a = 30 cm, b = 7 dm
f) a = 50 dm, b = 4 m
g) 3 cm, b = 4,5 dm
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Wandle in die Maßeinheit um, die in der Klammer steht.
a) 530 ha (a)
70 a (m2)
6400 ha (km2)
7500 m2 (a)
b) 500 a (ha)
500 a (m2)
700 ha (a)
700 ha (km2)
c) 5 km2 (m2)
32 km2 (a)
3400 m2 (cm2)
40000 m2 (ha)
d) 35000 dm2$ (cm2)
350000 dm2 (mm2)
35 mm2 (cm2)
350 mm2 (dm2)
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zeichne folgende Parallelogramme ABCD und berechne anschließen deren Flächeninhalt.
a) a = 5 cm, b = 4 cm, α = 50°
b) a = 6 cm, d = 2,5 cm, α = 72°
c) a = 4,2 cm, b = 4,7 cm, β = 115°
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle jeweils die fehlende Größe des Dreiecks.
a) Seitenlänge g = 6 cm, Höhe h = 5 cm, Flächeninhalt AD = ?
b) Seitenlänge g = 9 cm, Höhe h = ?, Flächeninhalt AD = 54 cm2
c) Seitenlänge g = 66 cm, Höhe h = ?, Flächeninhalt AD = 11 cm2
d) Seitenlänge g = ?, Höhe h = 6 cm, Flächeninhalt AD = 36 cm2
e) Seitenlänge g = 3,6 cm, Höhe h = 7,3 cm, Flächeninhalt AD = ?
f) Seitenlänge g = ?, Höhe h = 6,5 m, Flächeninhalt AD = 39 m2
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Flächeninhalt von Vielecken
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle bei allen Rechtecken mit den Seitenlängen a unb b sowohl den Flächeninhalt AR als auch den Umfang UR
Bei einem Rechteck ermittelt man den Flächeninhalt folgendermaßen: AR = a · b.
Zur Berechnung des Flächeninhalts von Rechtecken siehe auch unter Geometrie/Flächeninhalt 3. Flächeninhalt bei einem Rechteck an.
Der Umfang bei einem Rechteck berechnet man derart:
UR = a + a + b + b = 2a + 2b
Zur Berechnung des Umfangs von Rechtecken siehe auch unter Geometrie das Unterkapitel Umfang und dort 3.2 Der Umfang bei einem Rechteck an.
a) a = 4 cm, b = 6 cm
AR = a · b = 4 cm · 6 cm = 24 cm2
UR = 2a + 2b = 2 · 4 cm + 2 · 6 cm = 8 cm + 12 cm = 20 cm
b) a = 7 cm, b = 3 cm
AR = a · b = 7 cm · 3 cm = 21 cm$^2$
UR = 2a + 2b = 2 · 7 cm + 2 · 3 cm = 14 cm + 6 cm = 20 cm
c) a = 3 dm, b = 2 dm
AR = a · b = 3 dm · 2 dm = 6 dm2
UR = 2a + 2b = 2 · 3 dm + 2 · 2 dm = 6 dm + 4 dm = 10 dm
d) a = 5 m, b = 3 m
A$_R$ = a · b = 5 m · 3 m = 15 dm$^2$
UR = 2a + 2b = 2 · 5 m + 2 · 3 m = 10 m + 6 m = 16 m
e) a = 30 cm, b = 7 dm
Bevor man hier den Flächeninhalt und den Umfang ausrechnen kann, muss man eine der beiden Längenangaben auf die andere hin anpassen. Entweder man rechnet cm in dm um oder dm in cm.
Zum Umrechnen von Längenangaben siehe auch unter Größen das Unterkapitel Umrechnen von Größen an.
30 cm (geteilt durch 10) = 3 dm, 7 dm (mal 10) = 70 cm
AR = a · b = 3 dm · 7 dm = 21 dm2
UR = 2a + 2b = 2 · 3 m + 2 · 7 m = 6 dm + 14 dm = 20 dm
f) a = 50 dm, b = 4 m
50 dm (geteilt durch 10) = 5 m, 4 m (mal 10) = 40 dm
AR = a · b = 5 m · 4 dm = 20 m2
UR = 2a + 2b = 2 · 5 m + 2 · 4 m = 10 m + 8 m = 18 m
g) 3 cm, b = 4,5 dm
3 cm (geteilt durch 10) = 0,3 dm, 4,5 dm (mal 10) = 45 cm
AR = a · b = 3 cm · 45 cm = 135 cm2
UR = 2a + 2b = 2 · 3 cm + 2 · 45 cm = 6 cm + 90 cm = 96 cm
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Berechne die Maßeinheit in der Klammer.
Beim Flächeninhalt kommen auch viele verschiedene Größen dran, die man oftmals umrechnen muss. Daher sollte man das Umrechnen von Flächeneinheiten auch gut beherrschen.
Zum Umrechnen von Flächeneinheiten siehe auch unter Größen das Umrechnen von Größen an.
a) 530 ha (a)
Hektar ist die nächst größere Flächeneinheit zu Ar. Daher muss man hier mal 100 nehmen.
530 ha · 100 = 53000 a
a) 70 a (m2)
Ar ist die nächst größere Flächeneinheit zu Quadratmeter. Deshalb muss man hier mal 100 nehmen.
70 a · 100 = 7000 m2
a) 6400 ha (km2)
Hektar ist die nächst kleinere Flächeneinheit zu Quadratkilometer. Daher muss man hier geteilt durch 100 machen.
6400 ha : 100 = 64 km2
a) 7500 m2 (a)
Quadratmeter ist die nächst kleinere Flächeneinheit zu Ar. Deshalb muss man hier geteilt durch 100 machen.
7500 m2 : 100 = 75 a
b) 500 a (ha)
Ar ist die nächst kleinere Flächeneinheit zu Hektar. Deshalb muss man hier geteilt durch 100 machen.
500 a : 100 = 5 ha
b) 500 a (m2)
Ar ist die nächst größere Flächeneinheit zu Quadratmeter. Deshalb muss man hier geteilt durch 100 machen.
500 a : 100 = 5 m2
b) 700 ha (a)
Hektar ist die nächst größere Flächeneinheit zu Ar. Daher muss man hier mit 100 malnehmen.
700 ha · 100 = 70000 a
b) 700 ha (km2)
Hektar ist die nächst kleinere Flächeneinheit zu Quadratkilometer. Daher muss man hier durch 100 teilen.
700 : 100 = 7 km2
c) 5 km2 (m2)
Von Quadratkilometer über Hektar, Ar kommt man zu Quadratmeter. Daher muss man hier mal 100, mal 100, mal 100 nehmen.
5 km · 100 · 100 · 100 = 5000000 m2
c) 32 km2 (a)
Von Quadratkilometer über Hektar kommt man zu Ar. Daher muss man hier mal 100, mal 100 nehmen.
32 km2 · 100 · 100 = 320000 a
c) 3400 m2 (cm2)
Von Quadratmeter über Quadratdezimeter kommt man zu Quadratzentimeter. Daher muss man hier mal 100, mal 100 nehmen.
3400 m2 · 100 · 100 = 34000000 cm2
c) 40000 m2 (ha)
Von Quadratmeter über Ar kommt man zu Hektar. Deshalb muss man hier mal 100, mal 100 nehmen.
40000 m · 100 · 100 = 400000000 ha
d) 35000 dm2 (cm2)
Von Quadratdezimeter hin zu Quadratzentimeter muss man mal 100 machen. Denn Quadratzentimeter ist die nächst kleinere Flächeneinheit zu Quadratdezimeter.
35000 dm2 · 100 = 3500000 cm2
d) 350000 dm2 (mm2)
Von Quadratdezimeter über Quadratzentimeter gelangt man zu Quadratmillimeter. Daher muss man hier mal 100, mal 100 nehmen.
350000 dm2 · 100 · 100 = 3500000000 mm2
d) 35 mm2 (cm2)
Quadratzentimeter ist die nächst größere Flächeneinheit zu Quadratmillimeter. Deshalb muss man hier geteilt durch 100 machen.
35 mm2 : 100 = 0,35 cm2
d) 350 mm2 (dm2)
Von Quadratmillimeter über Quadratzentimeter kommt man zu Quadratdezimeter. Daher muss man hier geteilt durch 100, geteilt durch 100 machen.
350 mm2 : 100 = 3,5 cm2 : 100 = 0,035 dm$^2$
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zeichne das Parallelogramm ABCD und berechne seinen Flächeninhalt.
Zur Berechnung der Flächeninhalts bei einem Parallelogramm siehe auch unter Geometrie/Flächeninhalt 5. Flächeninhalt bei einem Parallelogramm an.
a) a = 5 cm, b = 4 cm, α = 50°
AP = g · h
g = a = 5 cm, h (gemessen) = 3,1 cm
AP = 5 cm · 3,1 cm = 15,5 cm2
b) a = 6 cm, d = 2,5 cm, α = 72°
AP = g · h
g = a = 6 cm, h (gemessen) = 2,4 cm
AP = 6 cm · 2,4 cm = 14,4 cm2
c) a = 4,2 cm, b = 4,7 cm, β = 115°
AP = g · h
g = a = 4,2 cm, h (gemessen) = 4,3 cm
AP = 4,2 cm · 4,3 cm = 18,06 cm2
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme bei dem Dreieck die fehlende Größe.
a) Seitenlänge g = 6 cm, Höhe h = 5 cm, Flächeninhalt A$_D$ = ?
Flächeninhalt AD = $\frac{g\ {\cdot}\ h}{2}$ = $\frac{6~cm\ {\cdot}\ 5~cm}{2}$ = 15 cm$^2$
b) Seitenlänge g = 9 cm, Höhe h = ?, Flächeninhalt AD = 54 cm2
Hier muss man die Flächeninhaltsformel nach der Höhe h hin auflösen. Das geht mittels Äquivalenzumforumgen, da ja diese Formel nichts anderes als eine Gleichung ist.
Zum Auflösen einer Gleichung mittels Äquivalenzumformungen siehe auch unter Gleichungen 3. Äquivalenzumformungen bei Gleichungen an.
AD = $\frac{g\ {\cdot}\ h}{2}$ | · 2
2 · A$_D$ = g · h | : g
$\frac{2\ {\cdot}\ A_D}{g}$ = h
h = $\frac{2\ {\cdot}\ A_D}{g}$
h = $\frac{2\ {\cdot}\ 54~cm^2}{9~cm}$
c) Seitenlänge g = 66 cm, Höhe h = ?, Flächeninhalt AD = 11 cm2
h = $\frac{2\ {\cdot}\ A_D}{g}$
h = $\frac{2\ {\cdot}\ 11~cm^2}{66~cm}$
h = $\frac{1}{3}$ cm
d) Seitenlänge g = ?, Höhe h = 6 cm, Flächeninhalt A$_D$ = 36 cm$^2$
A$_D$ = $\frac{g\ {\cdot}\ h}{2}$ | · 2
2 · AD = g · h | : h
$\frac{2\ {\cdot}\ A_D}{h}$ = g
g = $\frac{2\ {\cdot}\ A_D}{h}$
g = $\frac{2\ {\cdot}\ 36~cm^2}{6~cm}$
g = 12 cm
e) Seitenlänge g = 3,6 cm, Höhe h = 7,3 cm, Flächeninhalt A$_D$ = ?
A$_D$ = $\frac{g\ {\cdot}\ h}{2}$ = $\frac{3,6~cm\ {\cdot}\ 7,3~cm}{2}$ = 13,14 cm$^2$
f) Seitenlänge g = ?, Höhe h = 6,5 m, Flächeninhalt AD = 39 m$^2$
g = $\frac{2\ {\cdot}\ A_D}{h}$ = $\frac{2\ {\cdot}\ 39~m^2}{6,5~m}$ = 12 m