Bei dem Umformen und Auflösen von Potenzen sollte man sehr fit sein, da in der Oberstufe bei der Analysis das „Jonglieren mit Potenzen“ einen großen Stellenwert einnimmt. Gerade bei den Ableitungen, die man bei verschiedenen Funktionen vornehmen muss, treten nämlich ständig auch wieder Potenzen auf. Das zeigt sich aber auch schon exemplarisch an einer Ableitungsregel: der Potenzregel. Hier steckt ja das Wort Potenz schon in der Mathe-Gesetzmäßigkeit drin. Daher wird mein Mathematik Nachhilfe Blog auch noch des Öfteren Potenzen aufgreifen. Schließlich kann man „mit Potenzen immer besser jonglieren“ – wenn man Potenz-Übungen, Potenz-Übungen, Potenz-Übungen … macht. Dann ist es auch nur eine Frage der Zeit, bis man ein „Potenzen-Jongleur“ ist – und man damit genauso gut jonglieren kann wie beispielsweise mit Bällen.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet: Potenzen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Führe dir den Unterschied vor Augen.
a) (–4)2; – 42
b) (–5)2; – 52
c) (–4)3; – 43
d) (–5)3; – 53
e) ($\sqrt{6}$)4; ($\sqrt{6}$) · 4
f) ($\sqrt{5}$) · 8; ($\sqrt{5}$)8
g) ($\sqrt{4}$)6; (–$\sqrt{4}$)6
h) (–$\sqrt{6}$)7; –$\sqrt{6^7}$
i) $(2^{3})^{2}$; $2^{(3^2)}$
j) (–3)2; (–2)3
k) – 23; – 32
l) $(2^{2})^{3}$; $2^{(2^3)}$
2. Mathematik–Nachhilfe-Aufgabe: Forme in die Potenzschreibweise um. Manchmal gibt es mehrere Möglichkeiten.
a) $\frac{32}{243}$
b) $\frac{1}{81}$
c) –$\frac{243}{32}$
d) 0,125
e) –$\frac{64}{343}$
f) 6,25
g) 0,0256
h) 1,4641
i) 0,000001
j) 10,24
k) 2,43
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Nenne die größte Zahl, die man mit 2 und mit 3 Ziffern schreiben kann.
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Forme den Bruch zu einer Potenz mit negativem Exponenten um. Manchmal gibt es hierfür mehrere Möglichkeiten.
a) $\frac{1}{25}$
b) $\frac{1}{64}$
c) $\frac{1}{16}$
d) $\frac{1}{27}$
e) $\frac{1}{900}$
f) $\frac{1}{256}$
g) $\frac{1}{625}$
h) $\frac{1}{10000}$
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Potenzen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zeige, dass du den Unterschied bei den Potenzen verstanden hast.
a) (–4)2; – 42
a)
(–4)2 = (–4) · (–4) = 16;
– 42 = – (4 · 4) = –16
b) (–5)2; – 52
b)
(–5)2 = (–5) · (–5) = 25;
– 52 = – (5 · 5) = –25
c) (–4)3; – 43
c)
(–4)3 = (–4) · (–4) · (–4) = –64;
– 43 = – (4 · 4 · 4) = –64
d) (–5)3; – 53
d)
(–5)3 = (–5) · (–5) · (–5) = –125;
– 53 = – (5 · 5 · 5) = –125
e) ($\sqrt{6}$)4; ($\sqrt{6}$) · 4
e)
($\sqrt{6}$)4 = $\sqrt{6}$ · $\sqrt{6}$ · $\sqrt{6}$ · $\sqrt{6}$ = 6 · 6 = 36;
$\sqrt{6}$ · 4 ≈ 9,8
(gerundet auf zwei Nachkommastellen)
f) ($\sqrt{5}$) · 8; ($\sqrt{5}$)8
f)
$\sqrt{5}$ · 8 ≈ 17,89
(gerundet auf zwei Nachkommastellen);
($\sqrt{5}$)8 = $\sqrt{5}$ · $\sqrt{5}$ · $\sqrt{5}$ · $\sqrt{5}$ · $\sqrt{5}$ · $\sqrt{5}$ · $\sqrt{5}$ · $\sqrt{5}$ =
5 · 5 · 5 · 5 = 625
g) ($\sqrt{4}$)6; (–$\sqrt{4}$)6
g)
($\sqrt{4}$)6 = $\sqrt{4}$ · $\sqrt{4}$ · $\sqrt{4}$ · $\sqrt{4}$ · $\sqrt{4}$ · $\sqrt{4}$ = 4 · 4 · 4 = 64;
(–$\sqrt{4}$)6 = (–$\sqrt{4}$) · (–$\sqrt{4}$) · (–$\sqrt{4}$ · (–$\sqrt{4}$) · (–$\sqrt{4}$) · (–$\sqrt{4}$) = 4 · 4 · 4 = 64
h) (–$\sqrt{6}$)7; –$\sqrt{6^7}$
h)
(–$\sqrt{6}$) · (–$\sqrt{6}$) · (–$\sqrt{6}$) · (–$\sqrt{6}$) · (–$\sqrt{6}$) · (–$\sqrt{6}$) · (–$\sqrt{6}$) =
(–$\sqrt{6}$) · 6 · 6 · 6 = (–$\sqrt{6}$) · 216 ≈ 529,09
(gerundet auf zwei Nachkommastellen);
–$\sqrt{6^7}$ = – [($\sqrt{6}$) · ($\sqrt{6}$) · ($\sqrt{6}$) · ($\sqrt{6}$) · ($\sqrt{6}$) · ($\sqrt{6}$) · ($\sqrt{6}$)}] =
– [($\sqrt{6}$) · 6 · 6 · 6] = (–$\sqrt{6}$) · 216 ≈ 529,09
i) $(2^{3})^{2}$; $2^{(3^2)}$
i)
$(2^{3})^{2}$ = $2^{3~ \cdot~ 2}$ = 26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64;
$2^{(3^2)}$ = 29 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 512
j) (–3)2; (–2)3
j)
(–3)2 = (–3) · (–3) = 9;
(–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8
k) – 23; – 32
k)
– 23 = – (2 · 2 · 2) = –8;
– 32 = – (3 · 3) = –9
l) $(2^{2})^{3}$; $2^{(2^3)}$
l)
$(2^{2})^{3}$ = $2^{2~ \cdot~ 3}$ = 26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64
$2^{(2^3)}$ = 28 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 256
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wandle in eine Potenz um. Zum Teil gibt es mehrere Möglichkeiten.
a)
$\frac{32}{243}$ = $\frac{2^{5}}{3^{5}}$
denn:
$\frac{2~ \cdot~2~ \cdot~2~ \cdot~2~ \cdot~2}{3~ \cdot~3~ \cdot~3~ \cdot~3~ \cdot~3}$ = $\frac{32}{243}$
b)
$\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{9^{2}}$
denn:
$\frac{1}{9~\cdot ~9}$ = $\frac{1}{81}$
oder:
$\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{3^{4}}$
denn:
$\frac{1}{3~\cdot ~3~\cdot ~3~\cdot ~3}$ = $\frac{1}{81}$
Ebenfalls gilt hier:
$\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{(-9)^{2}}$
sowie:
$\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{(-3)^{4}}$
c)
–$\frac{243}{32}$ = –$\frac{3^{5}}{2^{5}}$
denn:
–$\frac{3^{5}}{2^{5}}$ = –($\frac{3~ \cdot~3~ \cdot~3~ \cdot~3~ \cdot~3}{2~ \cdot~2~ \cdot~2~ \cdot~2~ \cdot~2}$) = –$\frac{32}{243}$
d)
0,125 = 0,53
denn:
0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125
e)
–$\frac{64}{343}$ = –$\frac{8^{2}}{7^{3}}$
denn:
–($\frac{8~ \cdot~8}{7~ \cdot~7~ \cdot~7}$) = –$\frac{64}{343}$
oder:
–$\frac{64}{343}$ = –$\frac{2^{6}}{7^{3}}$
denn:
–($\frac{2~ \cdot~2~ \cdot~2~ \cdot~2~ \cdot~2~ \cdot~2}{7~ \cdot~7~ \cdot~7}$) = –$\frac{64}{343}$
Ebenfalls gilt hier:
–$\frac{64}{343}$ = –$\frac{(–8)^{2}}{7^{3}}$
sowie:
–$\frac{64}{343}$ = –$\frac{(–2)^{6}}{7^{3}}$
f)
6,25 = 2,52
denn:
2,5 · 2,5 = 6,25
Ebenfalls gilt hier:
6,25 = (–2,5)2
g)
0,0256 = 0,162
denn:
0,16 · 0,16 = 0,0256;
oder:
0,0256 = 0,44
denn:
0,4 · 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,0256
Ebenfalls gilt hier:
0,0256 = (–0,16)2
sowie:
0,0256 = (–0,4)4
h)
1,4641 = 1,212
denn:
1,21 · 1,21 = 1,4641;
oder:
1,4641 = 1,14
denn:
1,1 · 1,1 · 1,1 · 1,1 = 1,4641
Ebenfalls gilt hier:
1,4641 = (–1,21)2
sowie:
1,4641 = (–1,1)4
i)
0,000001 = 0,0012
denn:
0,001 · 0,001 = 0,000001;
oder:
0,000001 = 0,16
denn:
0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,000001
Ebenfalls gilt hier:
0,000001 = (–0,001)2
sowie:
0,000001 = (–0,1)6
j)
10,24 = 3,22
denn:
3,2 · 3,2
Ebenfalls gilt hier:
10,24 = (–3,2)2
k)
2,43
Für diese Zahl gibt es keine exakte Potenzschreibweise, da keine Faktoren gefunden werden können, deren Produkt genau diese Zahl ergibt. Man kann aber eine Annäherung machen:
2,43 ≈ 1,55882
Ebenfalls gilt hier:
2,43 ≈ (–1,5588)2
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Was ist die größtmögliche Zahl mit zwei Ziffern und mit drei Ziffern?
Bei dieser Aufgabe sollte man sich zunächst im Klaren sein, dass eine Ziffer immer auch eine Zahl ist. Darauf sollte man wissen, dass man in der Potenzschreibweise mit den wenigsten Ziffern die größten Zahlen erzeugen kann. Bei einer Potenz gilt hierbei: Je höher die Basis und der Exponent, desto höher ist die Zahl.
Daher ist die größtmögliche zweiziffrige Zahl: 99 = 387420489 und die größtmögliche dreiziffrige Zahl: 999 = eine riesige, riesige, riesige, riesige Zahl: 2,9512665 · 1094.
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Wandle den Bruch in eine Potenz mit negativem Exponenten um. Zum Teil gibt es mehrere Möglichkeiten.
a)
$\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5~\cdot ~5}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5–2
Ebenfalls gilt hier:
$\frac{1}{25}$ = (–5)–2
b)
$\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{8~\cdot ~8}$ = $\frac{1}{8^{2}}$ = 8–2
oder:
$\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{2~\cdot ~2~\cdot ~2~\cdot ~2~\cdot ~2~\cdot ~2}$ = $\frac{1}{2^{6}}$ = 2–6
Ebenfalls gilt hier:
$\frac{1}{64}$ = (–8)–2
sowie:
$\frac{1}{64}$ = (–2)–6
c)
$\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4~\cdot ~4}$ = $\frac{1}{4^{2}}$ = 4–2
oder:
$\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2~\cdot ~2~\cdot ~2~\cdot ~2}$ = $\frac{1}{2^{4}}$ = 2–4
Ebenfalls gilt hier:
$\frac{1}{16}$ = (–4)–2
sowie:
$\frac{1}{16}$ = (–2)–4
d)
$\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3~\cdot ~3~\cdot ~3}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3–3
e)
$\frac{1}{900}$ = $\frac{1}{30~\cdot ~30}$ = $\frac{1}{30^{2}}$ = 30–2
Ebenfalls gilt hier:
$\frac{1}{900}$ = (–30)–2
f)
$\frac{1}{256}$ = $\frac{1}{16~\cdot ~16}$ = $\frac{1}{16^{2}}$ = 16–2
oder:
$\frac{1}{256}$ = $\frac{1}{4~\cdot ~4~\cdot ~4~\cdot ~4}$ = $\frac{1}{4^{4}}$ = 4–4
oder:
$\frac{1}{256}$ = $\frac{1}{2~\cdot ~2~\cdot ~2~\cdot ~2~\cdot ~2~\cdot ~2~\cdot ~2~\cdot ~2}$ = $\frac{1}{2^{8}}$ = 2–8
Ebenfalls gilt hier:
$\frac{1}{256}$ = (–16)–2
sowie:
$\frac{1}{256}$ = (–4)–4
sowie:
$\frac{1}{256}$ = (–2)–8
g)
$\frac{1}{625}$ = $\frac{1}{25~\cdot ~25}$ = $\frac{1}{25^{2}}$ = 25–2
oder:
$\frac{1}{625}$ = $\frac{1}{5~\cdot ~5~\cdot ~5~\cdot ~5}$ = $\frac{1}{5^{4}}$ = 5–4
Ebenfalls gilt hier:
$\frac{1}{625}$ = (–25)–2
sowie:
$\frac{1}{625}$ = (–5)–4
h)
$\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{100~\cdot ~100}$ = $\frac{1}{100^{2}}$ = 100–2
oder:
$\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{10~\cdot ~10~\cdot ~10~\cdot ~10}$ = $\frac{1}{10^{4}}$ = 10–4
Ebenfalls gilt hier:
$\frac{1}{10000}$ = (–100)–2
sowie:
$\frac{1}{10000}$ = (–10)–4
Hier gibt es die Aufgaben inkl. Lösungen als PDF zum Herunterladen: